Winkel zweier Ebenen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Delia00 |
Hallo Zusammen,
wenn man zwischen zwei Ebenen den Winkel berechnet, wieso muss man dann eigentlich - wenn der Winkel größer als 90° ist, 180° minus den errechneten Winkel berechnen?
Es gilt ja laut Formel, dass für den Winkel zweier Ebenen gelten soll:
[mm] 0°\le \alpha \le [/mm] 90°
danke für eure hilfe
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Hallo Delia,
> wenn man zwischen zwei Ebenen den Winkel berechnet, wieso
> muss man dann eigentlich - wenn der Winkel größer als
> 90° ist, 180° minus den errechneten Winkel berechnen?
> Es gilt ja laut Formel, dass für den Winkel zweier Ebenen
> gelten soll:
> [mm]0°\le \alpha \le[/mm] 90°
Das ist keine Formel, das ist eine Definition. Und sie ist auch der einzige Grund, warum man Winkel aus anderen Bereichen dann "umrechnet". So wird die Winkelangabe nämlich eindeutig.
Zwei Ebenen schließen ja immer zwei Winkel ein. Diese beiden Winkel addieren sich zu 180°. Wenn Du also einen Winkel gefunden hast, der zwischen 90° und 180° liegt, musst Du den Gegenwinkel berechnen - und zwar so, wie Du es oben richtig angibst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Delia00 |
Und wenn der eine Winkel genau 90° beträgt, kann der zweite Winkel nur den Wert 90° annehmen.
Wenn aber der Wert größer als 90° ist, muss man 180°- den Winkel berechnen.
oder?
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> Und wenn der eine Winkel genau 90° beträgt, kann der
> zweite Winkel nur den Wert 90° annehmen.
Hallo,
ja, weil's zusammen 180° sind.
>
> Wenn aber der Wert größer als 90° ist, muss man 180°-
> den Winkel berechnen.
Genau. Weil man den kleineren der beiden Winkel angeben möchte.
LG Angela
>
> oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Delia00 |
Wieso nimmt man bei zwei Ebenen den Cosinus und bei dem Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebenen eigentlich den Sinus????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 20.05.2013 | | Autor: | pits |
Das hängt damit zusammen, dass du bei dem Vergleich zweier Ebenen die Normalenvektoren betrachtest. Der Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren ist gleich dem Winkel zwischen den beiden Ebenen, also berechnet man einfach den Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren mit dem Skalarprodukt nach der Definition
[mm] \vec{a}\cdot \vec{b}=| \vec{a}|\cdot |\vec{b}| \cdot [/mm] cos [mm] (\alpha) \Leftrightarrow [/mm] cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{| \vec{a}|\cdot |\vec{b}|}
[/mm]
Beim Vergleich zweier Geraden betrachtest du aber den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ist nicht gleich dem Schnittwinkel von Gerade und Ebene. Dazu musst du dir einfach bildlich vorstellen, wie die Gerade durch die Ebene stößt, nun stellst du dir den Richtungsvektor der Geraden ausgehend vom Durchstoßpunkt und den Normalenvektor der Ebene ausgehend vom Durchstoßpunkt vor und dann "sieht" man, dass der Winkel zwischen diesen beiden, nicht gleich dem Schnittwinkel ist. Dies wird durch Verwendung des Sinus "geradegebügelt"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mo 20.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wieso nimmt man bei zwei Ebenen den Cosinus und bei dem
> Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebenen eigentlich
> den Sinus????
Diese Sache ist für die meisten Schüler in der Tat sehr verwirrend.
Ich würde mir merken, dass du den Schnitwinkel zwischen Vektoren immer mit dem Cosinus berechnest.
Dann musst du nur genau aufpassen, welchen Winkel du berechnest, in den meisten Fällen ist der zu berechnende Winkel in der Tat der Winke zwischen den beteiligten Vektoren
In dem Fall Gerade-Ebene, wenn du also (mit dem Cosinus) den Schnittwinkel [mm] \varphi [/mm] zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden berechnest, hast du aber den falschen Vektor berechnet, der Schnittwinkel zwischen der Gerade und der Ebene ist [mm] 90-\varphi
[/mm]
Das kannst du dir auch an einer Skizze recht schnell deutlich machen.
Marius
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