Winkel zweier Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Do 19.11.2015 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Gegeben sind die zwei Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = (6, -4, 2) und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = (-3, -24, 6)
Der Winkel zwischen den Vektoren soll berechnet werden |
Guten Abend zusammen,
Den Winkel kann ich schon berechnen, keine Frage. Es ist das Skalarprodukt [mm] \overrightarrow{a} [/mm] * [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = (6, -4, 2) * (-3, -24, 6) = -18 + 96 + 12 = 90
und das Produkt der Beträge der beiden Vektoren (6² + [mm] 4^{2} [/mm] + [mm] 2^{2}) [/mm] * [mm] (3^{2} [/mm] + [mm] 24^{2} [/mm] + 6²) = 56 * 621 = 34776.
Und [mm] \alpha [/mm] = arccos(90/34776) = 89,8517 Grad.
Vereinfache ich nun aber die Vektoren, indem ich sie verkürze, so erhalte ich folgendes: [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = (3, -2, 1) und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = (-1, -8, 2). Das Skalarprodukt hier von ist -3 + 16 + 2 = 15 und das Produkt der Beträge [mm] (3^{2} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + 1) * (1 + [mm] 8^{2} [/mm] + [mm] 2^{2}) [/mm] = 14 * 69 = 966.
Somit folgt für den Winkel: [mm] \alpha [/mm] = arccos(14/966) = 89,17 Grad
Meine Frage nun: Wieso bekomme ich zwei leicht verschiedene Winkel heraus? Ich verkürze doch jeweils nur die Vektoren, aber behalte doch damit die Winkel bei?! Ich bin das jetzt zweimal durchgegangen und komme trotzdem auf verschiedene Werte.
Würde mich über eure Antworten freuen! 
Viele Grüße,
X³nion
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Do 19.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast jeweils die Wurzeln bei den Beträgen vergessen:
Bei den Originalvektoren also:
[mm] \left|\vektor{6\\-4\\2}\right|=\sqrt{6^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{56}
[/mm]
und
[mm] \left|\vektor{-3\\-24\\6}\right|=\sqrt{(-3)^2+(-24)^2+6^2}=\sqrt{621}
[/mm]
Also gilt:
[mm] \alpha=\arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)=\arccos\left(\frac{90}{\sqrt{56}\cdot\sqrt{621}}\right)\approx61,14^{\circ}
[/mm]
Bei den verkürzten Vektoren kommst du dann auch auf diesen Wert.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Do 19.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Vermutlich ist der Formeleditor ausgefallen, ich werde mal nachhaken.
Marius
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