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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Winkel zwischen Vektoren
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Winkel zwischen Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Sa 22.10.2016
Autor: knowhow

Aufgabe
Seien [mm] v_1,...,v_{n+1} [/mm] von Null verschiedene Vektoren im euklidischen Vektorraum [mm] \IR^n, [/mm] s.d. der Winkel zw. [mm] v_i [/mm] und [mm] v_j [/mm] für alle [mm] i\not=j [/mm] den gleichen Wert [mm] \alpha [/mm] hat. Bestimme [mm] cos\alpha [/mm]

Hallo,

mir fehlt der gewisse Ansatzpunkt und ich hoffe Ihr könnt mir dabei helfen.

Durch durchstöbern im Internet bin ich auf folgende Formel gestoßen für die Bestimmung der Winkel von Vektoren:

[mm] cos\alpha\bruch{\overrightarrow{v_i}*\overrightarrow{v_j}}{|\overrightarrow{v_i}|*|\overrightarrow{v_j}|} [/mm]

aber ab da hört leider mein Latein auf. Ich bin für jeden Tipp dankbar.

        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Ausrechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Sa 22.10.2016
Autor: Infinit

Hallo knowhow,
Du bist ja schon auf die richtige Formel gestoßen, wenn man noch hinter dem Kosinusausdruck das Gleichheitszeichen setzt. Damit kannst Du den Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen.
Das Skalarprodukt im Zähler egibt sich durch das komponentenweise Ausmultiplizieren der Vektoren und anschließende Addition. Im Nenner steht der Betrag der beiden Vektoren.
Hier ist ein Minibeispiel im Zweidimensionalen.
Der eine Vektor ist der Einheitsvektor in x-Richtung, der zweite Vektor liegt auf der Winkelhalbierenden.
Damit ist [mm] v_1 = \vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm] v_2=\vektor{1 \\ 1} [/mm]. Das Skalarprodukt beider Vektoren ist [mm] 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 [/mm] und der Betrag des ersten Vektors beträgt 1 (kein Wunder, es ist ja der Einheitsvektor) und der des zweiten Vektors [mm] \wurzel{1^2 + 1^2} = \wurzel{2} [/mm]

Damit kommen wir nach der Formel auf [mm] \cos (\alpha) = \bruch{1}{\wurzel{2} [/mm] und dazu gehören 45 Grad.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:33 Sa 22.10.2016
Autor: tobit09

Hallo Infinit,

offenbar betrachtest du den Spezialfall $n=2$. Dann musst du $n+1=3$ Vektoren betrachten, von denen je zwei verschiedene den gleichen Winkel haben. Damit scheiden die von dir genannten [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] aus.

Der Weg von hippias lässt sich in der Tat zum Erfolg führen.

Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Sa 22.10.2016
Autor: hippias

Meine Idee ist nicht ausgearbeitet:
1. Mache Dir klar, dass man davon ausgehen kann, dass die Vektoren den Betrag $1$ haben

2. die Vektoren sind linear abhängig, also oBdA [mm] $v_{n+1}= \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}v_{i}$. [/mm]

3. Nun bilde Skalarprodukte mit [mm] $v_{j}$ [/mm] und  [mm] $v_{n+1}$ [/mm] für [mm] $j=1,\ldots [/mm] n+1$ und hoffe, dass etwas passiert
  

Bezug
                
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 So 23.10.2016
Autor: knowhow

hallo,

danke für den Tipp.
Meine Frage zu 1. warum kann man annehmen, dass alle Vektoren den Betrag 1 haben? das würde heißen dass alle Vektoren Einheitsvektoren sind.

2. die Vektoren sind lin. abh. da wir uns im [mm] \IR^n [/mm] befinden und wir n+1-Vektoren also d.h. dass sich ein Vektor von anderen Vektoren als Linearkombination darstellen lässt. ist es auch so dass ein Vektor doppelt vorkommt da wir annehmen dass alle den Betrag 1 haben.


und bei 3. müsste es nicht heißen [mm] v_j [/mm] für j=1,...,n und nicht j=1,...,n+1 (aber ich kann mich auch irren) wenn man jeweils den skalarprodukt dann erhalte ich(n-1) mal für [mm] cos\alpha=\bruch{v_j*v_{n+1}}{|v_j|*|v_{n+1}|}=0 [/mm] und einmal [mm] cos\alpha=\bruch{v_j*v_{n+1}}{|v_j|*|v_{n+1}|}=1 [/mm] (wegen 2.)

stimmt es?

Bezug
                        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 So 23.10.2016
Autor: hippias


> hallo,
>  
> danke für den Tipp.
>  Meine Frage zu 1. warum kann man annehmen, dass alle
> Vektoren den Betrag 1 haben? das würde heißen dass alle
> Vektoren Einheitsvektoren sind.

Verändert man die Länge der Vekroren, bleiben die Winkel zwischen ihnen gleich. Dass Du mit Einheitsvektoren rechnst, ist aber nicht wesentlich, es spart nur Tinte.

>  
> 2. die Vektoren sind lin. abh. da wir uns im [mm]\IR^n[/mm] befinden
> und wir n+1-Vektoren
> also d.h. dass sich ein Vektor von
> anderen Vektoren als Linearkombination darstellen lässt.

Toller Satz; schätze Du meinst es richtig.

> ist es auch so dass ein Vektor doppelt vorkommt da wir
> annehmen dass alle den Betrag 1 haben.

Nein.

>  
>
> und bei 3. müsste es nicht heißen [mm]v_j[/mm] für j=1,...,n und
> nicht j=1,...,n+1 (aber ich kann mich auch irren)

Es gibt keinen Grund nicht auch mit [mm] $v_{n+1}$ [/mm] zu multiplizieren.

> wenn man
> jeweils den skalarprodukt dann erhalte ich(n-1) mal für
> [mm]cos\alpha=\bruch{v_j*v_{n+1}}{|v_j|*|v_{n+1}|}=0[/mm] und einmal
> [mm]cos\alpha=\bruch{v_j*v_{n+1}}{|v_j|*|v_{n+1}|}=1[/mm] (wegen
> 2.)

Tja, wenn man jeweils den Skalarprodukt, dann mag das schon sein: erkläre mir Normalsterblichen doch einmal, wie Du von 2. auf die Gleichungen [mm] $cos\alpha=\bruch{v_j*v_{n+1}}{|v_j|*|v_{n+1}|}=0$ [/mm] und [mm] $cos\alpha=\bruch{v_j*v_{n+1}}{|v_j|*|v_{n+1}|}=1$ [/mm] kommst.

>  
> stimmt es?


Bezug
                        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:15 So 23.10.2016
Autor: fred97


> hallo,
>  
> danke für den Tipp.
>  Meine Frage zu 1. warum kann man annehmen, dass alle
> Vektoren den Betrag 1 haben? das würde heißen dass alle
> Vektoren Einheitsvektoren sind.

Dazu hat hippias das Entscheidende gesagt.


>  
> 2. die Vektoren sind lin. abh. da wir uns im [mm]\IR^n[/mm] befinden
> und wir n+1-Vektoren also d.h. dass sich ein Vektor von
> anderen Vektoren als Linearkombination darstellen lässt.

Du kannst also annehmen:

[mm] v_{n+1}=t_1v_1+...+t_nv_n [/mm] mit [mm] t_1,...,t_n \in \IR. [/mm]


> ist es auch so dass ein Vektor doppelt vorkommt da wir
> annehmen dass alle den Betrag 1 haben.

Verboten ist das laut Aufgabenstellung nicht, dann ist aber der Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen den Vektoren =0 und damit ist die Aufgabe in diesem Fall fertig


>  
>
> und bei 3. müsste es nicht heißen [mm]v_j[/mm] für j=1,...,n und
> nicht j=1,...,n+1 (aber ich kann mich auch irren) wenn man
> jeweils den skalarprodukt dann erhalte ich(n-1) mal für
> [mm]cos\alpha=\bruch{v_j*v_{n+1}}{|v_j|*|v_{n+1}|}=0[/mm] und einmal
> [mm]cos\alpha=\bruch{v_j*v_{n+1}}{|v_j|*|v_{n+1}|}=1[/mm] (wegen


Auch dazu hat hippias etwas gesagt.

Statt cos( [mm] \alpha) [/mm] schreibe ich im Folgenden einfach c.

Wir können [mm] \alpha \ne [/mm] 0 annehmen.

Aus [mm] v_{n+1}=t_1v_1+...+t_nv_n [/mm] folgt:

  1= [mm] v_{n+1}* v_{n+1}=c(t_1+....+t_n) [/mm]

Dann ist

c= [mm] v_{n+1}*v_1=t_1+c(t_2+....+t_n)=t_1+c(t_1+....+t_n)-ct_1=t_1+1-ct_1 [/mm]

Daher: [mm] 1+t_1=c(1+t_1). [/mm]

Da c [mm] \ne [/mm] 1 ist (warum ?), folgt [mm] t_1=-1. [/mm]

Mach Du weiter.

FRED


> 2.)
>  
> stimmt es?


Bezug
                                
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 23.10.2016
Autor: knowhow



[mm] c\not=1 [/mm] da sonst [mm] v_{n+1}=v_1 [/mm] ist, oder?

müsste ich es für alle vektoren machen, wie [mm] c=v_{n+1}*v_2, c=v_{n+1}*v_3,... [/mm]

falls es der Fall ist, würde ich jeweils für die Koeffizienten [mm] t_1=t_2=....=t_n=-1 [/mm] erhalten.

und eine Frage zu [mm] 1=c(t_1+...+t_n). [/mm] Wie bist du auf das Ergebnis gekommen? ich habe folgendes herausgekommen:

[mm] v_{n+1}*v_{n+1}=(t_1v_1+...+t_nv_n)*(t_1v_1+...+t_nv_n)=(t_1^2+...+t_n^2)+c(t_1t_2+....) [/mm] da kommt ein sehr großer Ausdruck.

heißt es ich habe am Ende [mm] c=-\bruch{1}{n}? [/mm]

Aufjedenfall bin ich für eure Hilfe bis jetzt sehr dankbar.

Bezug
                                        
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Winkel zwischen Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 So 23.10.2016
Autor: leduart

hallo [mm] v_n_1*v_n+1=1 [/mm] weil wir ja einheitsvektoren genommen haben, 2, was Fred mit [mm] v_1 [/mm] gemacht hat widerholst du einfach mit [mm] v_2 [/mm] oder irgendeinem [mm] v_i [/mm]
Gruß leduart


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Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Di 25.10.2016
Autor: knowhow

aber kommt dann nicht für [mm] t_1=...=t_n=-1 [/mm] ?

müsste ich auch nicht erstmal zeigen, dass ich o.B.d.A die normierten Vektoren nehmen kann?
WIe zeig ich das am besten?

Würde es dann auch heißen das der Winkel [mm] cos(\alpha)=-\bruch{1}{n} [/mm] oder ist es [mm] cos(\alpha)=0? [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Di 25.10.2016
Autor: tobit09


> aber kommt dann nicht für [mm]t_1=...=t_n=-1[/mm] ?

Ja, das erhält man im Falle [mm] $\alpha\not=0$. [/mm]


> müsste ich auch nicht erstmal zeigen, dass ich o.B.d.A die
> normierten Vektoren nehmen kann?
> WIe zeig ich das am besten?

Ja, das ist zu überlegen.

Wenn wir im Spezialfall normierter Vektoren [mm] $v_1,\ldots,v_{n+1}$ [/mm] bewiesen haben, dass [mm] $\cos(\alpha)=-\frac1n$ [/mm] oder [mm] $\cos(\alpha)=1$ [/mm] gilt, können wir den allgemeinen Fall wie folgt darauf zurückführen:

Gegeben seien also nun beliebige (nicht notwendig normierte) Vektoren [mm] $v_1,\ldots,v_n+1\in\IR^n\setminus\{0\}$ [/mm] und [mm] $\alpha\in[0,\pi]$, [/mm] so dass für jedes [mm] $i\not=j$ [/mm] jeweils der Winkel zwischen [mm] $v_i$ [/mm] und [mm] $v_j$ [/mm] gerade Weite [mm] $\alpha$ [/mm] hat.
Zeigen wollen wir [mm] $\cos(\alpha)=1$ [/mm] oder [mm] $\cos(\alpha)=-\frac{1}{n}$. [/mm]

Dazu normieren wir [mm] $v_1,\ldots,v_{n+1}$, [/mm] d.h. wir betrachten die Vektoren

       [mm] $v_i':=\frac{1}{||v_i||}\cdot v_i\in\IR^n$ [/mm]

für alle [mm] $i=1,\ldots,n$. [/mm]

Überlege dir nun:
a) Für alle i gilt [mm] $||v_i'||=1$. [/mm]
b) Für alle i gilt [mm] $v_i'\not=0$. [/mm]
c) Für alle [mm] $i\not=j$ [/mm] hat der Winkel zwischen [mm] $v_i'$ [/mm] und [mm] $v_j'$ [/mm] die Weite [mm] $\alpha$. [/mm]

Nach dem Spezialfall angewandt auf [mm] $v_1',\ldots,v_{n+1}'$ [/mm] gilt somit tatsächlich [mm] $\cos(\alpha)=-\frac1n$ [/mm] oder [mm] $\cos(\alpha)=1$. [/mm]


> Würde es dann auch heißen das der Winkel
> [mm]cos(\alpha)=-\bruch{1}{n}[/mm] oder ist es [mm]cos(\alpha)=0?[/mm]  

Es gilt [mm] $\cos(\alpha)=-\frac1n$ [/mm] oder [mm] $\alpha=0$ [/mm] (und somit [mm] $\cos(\alpha)=1$). [/mm]
Ich glaube, damit ist der Aufgabensteller zufriedengestellt.
(Z.B. im Falle $n=1$ oder $n=2$ sind auch beide Fälle tatsächlich möglich. Für allgemeines n habe ich dies nicht geprüft. Ich vermute aber, dass auch für beliebiges n beide Fälle tatsächlich möglich sind.)

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