Winkelberechnungen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Tharsis |
| Aufgabe | Berechne den kleinsten Winkel
a) zwischen g und h
b) zwischen g und E
c) zwischen E und E' |
gegeben:
[mm] g: \vec x \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm] h: \vec x \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
E= x+2y+3z=12
E'= 2x-3y+4z=12
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Hallo,
benötige dringend Hilfe bei der Aufgabe, ich weiß irgendwie nicht, wie ich das lösen soll.
Danke schon mal im Voraus für eure Antworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Tharsis |
Achso, meine Ansätze:
also ich glaube, dass man den kleinsten winkel zwischen g und h mit der kosinusformel mit dem skalarprodukt der beiden richtungsvektoren berechnet und den kleinsten winkel zwischen einer geraden und einer ebene indem man mit der kosinusformel den winkel zwischen normalenvektor und gerade ausrechnet und dann noch irgendetwas. nur wie komme ich da auf den normalenvektor? kann mir jemand bei den ansätzen helfen?
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> Achso, meine Ansätze:
> also ich glaube, dass man den kleinsten winkel zwischen g
> und h mit der kosinusformel mit dem skalarprodukt der
> beiden richtungsvektoren berechnet
Hallo,
Deine Ansätze sind doch gar nicht übel.
Den cos des Schnittwinkels [mm] \alpha [/mm] bekommst Du mit dem Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden,
es ist [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=||\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}|| [/mm] * [mm] ||\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}|| [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] .
Mit ||.|| meine ich den Betrag des Vektors.
und den kleinsten winkel
> zwischen einer geraden und einer ebene indem man mit der
> kosinusformel den winkel zwischen normalenvektor und gerade
> ausrechnet und dann noch irgendetwas.
Genau, mit dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden bekommst Du den cos des Winkels zwischen den beiden. Den gesuchten Winkel, den zwischen Ebene und Gerade, erhältst Du, wenn Du 90°- (Winkel zw. Normale und Gerade) rechnest.
Den Winkel zwischen den beiden Ebenen bekommst Du aus dem cos des Winkels zwischen den Normalen der Ebenen.
nur wie komme ich da
> auf den normalenvektor?
Das ist sehr einfach, wenn Du die Ebenen in der Koordinatenform vorliegen hast:
> E: x+2y+3z=12
<==> E: [mm] \vektor{1 \\ 2\\3}* \vektor{x \\ y\\z}=12,
[/mm]
es ist [mm] \vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] ein Nomalenvektor der Ebene.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Tharsis |
Danke schonmal für die schnelle Hilfe.
Zu a)
> Den cos des Schnittwinkels [mm]\alpha[/mm] bekommst Du mit dem
> Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden,
>
> es ist [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=||\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}||[/mm] * [mm]||\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}||[/mm] cos [mm]\alpha[/mm]
> Mit ||.|| meine ich den Betrag des Vektors.
Und was/wie rechne ich jetzt? Bin etwas verwirrt...
Bei b) habe ich ja jetzt den Normalenvektor [mm]\vektor{1 \\ 2\\3}[/mm] und den Richtungsvektor $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] $. Wie verfahre ich hiermit?
(mir ist das hier bewusst:
> Genau, mit dem Normalenvektor der Ebene und dem
> Richtungsvektor der Geraden bekommst Du den cos des Winkels
> zwischen den beiden. Den gesuchten Winkel, den zwischen
> Ebene und Gerade, erhältst Du, wenn Du 90°- (Winkel zw.
> Normale und Gerade) rechnest.
>
> Den Winkel zwischen den beiden Ebenen bekommst Du aus dem
> cos des Winkels zwischen den Normalen der Ebenen.
aber ich weiß jetzt nicht, was ich machen soll, obwohl es da ja steht. Was soll ich minus 90° rechnen? Ich hab da doch nur Vektoren!)
Und was muss ich eigentlich bei c) machen?
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> Danke schonmal für die schnelle Hilfe.
>
> Zu a)
> > Den cos des Schnittwinkels [mm]\alpha[/mm] bekommst Du mit dem
> > Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden,
> >
> > es ist [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=||\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}||[/mm]
> * [mm]||\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}||[/mm] cos
> [mm]\alpha[/mm]
> > Mit ||.|| meine ich den Betrag des Vektors.
>
> Und was/wie rechne ich jetzt? Bin etwas verwirrt...
Jetzt rechnest Du los: auf der linken Seite ist ein Skalarprodukt zu berechnen.
Für die rechte Seite brauchst Du die Beträge der Vektoren.
Schließlich hast Du eine Zahl= andere Zahl* [mm] cos\alpha.
[/mm]
Das löst Du nach cos [mm] \alpha [/mm] auf.
Ich hab's nicht ausgerechnet - ich vermute, daß ein Wert herauskommt, bei welchem man [mm] \alpha [/mm] dann automatisch weiß. Ansonsten arccos...
>
> Bei b) habe ich ja jetzt den Normalenvektor [mm]\vektor{1 \\ 2\\3}[/mm]
> und den Richtungsvektor [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm].
> Wie verfahre ich hiermit?
>
> (mir ist das hier bewusst:
> > Genau, mit dem Normalenvektor der Ebene und dem
> > Richtungsvektor der Geraden bekommst Du den cos des Winkels
> > zwischen den beiden. Den gesuchten Winkel, den zwischen
> > Ebene und Gerade, erhältst Du, wenn Du 90°- (Winkel zw.
> > Normale und Gerade) rechnest.
> >
> > Den Winkel zwischen den beiden Ebenen bekommst Du aus dem
> > cos des Winkels zwischen den Normalen der Ebenen.
> aber ich weiß jetzt nicht, was ich machen soll, obwohl es
> da ja steht. Was soll ich minus 90° rechnen? Ich hab da
> doch nur Vektoren!)
Du mußt es genau machen wie oben. Bekommst dann einen Winkel, welchen Du von 90° subtrahierst.
>
> Und was muss ich eigentlich bei c) machen?
Hatte ich schon geschrieben: dasselbe procedere mit den Normalenvektoren der Ebenen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Tharsis |
Danke, soweit alles verstanden.
Jedoch verstehe ich das hier noch nicht:
> Für die rechte Seite brauchst Du die Beträge der
> Vektoren.
Wie erhalte ich den Betrag eines Vektors (wahrscheinlich muss ich mich für diese Frage jetzt schämen, aber ich weiß es im Moment echt nicht)?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
[mm] |\vec a|=\wurzel{\vec a*\vec a}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mo 05.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
zu b)
Du kannst den Winkel [mm] \phi [/mm] immer über [mm] sin(\phi) [/mm] = [mm] \left| \bruch{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| *\left| \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}}{ \right| }\right| [/mm] , d.h. [mm] \phi [/mm] = [mm] \arcsin(\left| \bruch{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| *\left| \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}}{ \right| }\right|) [/mm] bestimmen.
LG
Heiko
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