Winkelhalbierender Vektor < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Raiden28 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren a = (1|-4|2)T und b = (-1|0|1)T
des IR3. Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors der Länge 1 in Richtung der Winkelhalbierenden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
mein vorgehen hierbei war die Einheitsvektoren von a und b zu addieren und von dem neuen Vektor den Einheitsvektor zu bilden. Ich kam auf das Ergebnis w = (0.1481|-0.8565|0.4944), allerdings hab ich die Lösung hier und es ist eine andere. Wo liegt der (Denk)fehler?
Ich hab auch ein Lösungsweg hier, aus dem ich aber nicht schlau werde. Und zwar wurde zuerst der Winkel [mm] \alpha [/mm] (Winkelhablierende) berechnet und dann ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen geschaffen wo ich aber nicht weiß wo diese herkommen:
I) [mm] w_{x}-4w_{y}+2w_{z}=\wurzel{21}*cos(\alpha)
[/mm]
II) [mm] -w_{x}+w_{z}=\wurzel{2}*cos(\alpha)
[/mm]
[mm] III)-4w_{x}-3w_{y}-4w_{z}=0
[/mm]
Wenn mir da einer die Logik erklären könnte, wär ich auch dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
I und II gehen beide aus der Definition des Skalarproduktes hervor.
Es wurde dort [mm] \vec{w}*\vec{a} [/mm] und [mm] \vec{w}*\vec{b} [/mm] berechnet, mit [mm] |\vec{w}|=1.
[/mm]
Also z.B.:
[mm] \vec{w}*\vec{a}=|\vec{w}|*|\vec{a}|*cos\alpha
[/mm]
Wo III herkommen soll, weiß ich allerdings auch nicht. Sieht mir auch wie ein Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren mit einem eingeschlossenen Winkel von 90° aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Raiden28 |
Ah, alles klar. Jetzt wird mir die Logik dahinter klar. Die 3. Gleichung dann wohl aus dem Kreuzprodukt zwischen Vektor [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] und da dieser ja auch senkrecht zu [mm] \vec{w} [/mm] ist folgt die 3. Gleichung.
Dann fehlt mir blos noch der Fehler bei meinem Lösungsweg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Ich weiß nicht, wo dein Fehler liegt, aber die Methode sollte klappen und du hast dich sicher nur verrechnet.
Ich komme nämlich auf einen anderen Vektor!
Gerundet:
[mm] \vec{w}=\vektor{-0,49 \\ -0,87 \\ 1,14}
[/mm]
Stimmt das ca. mit dem Ergebnis überein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Raiden28 |
Also die eigentliche Lösung ist [mm] \vektor{-0.322 \\ -0.575 \\ 0.753}. [/mm] Wenn man den Betrag von deinem Vektor ausrechnet kommt auch nicht 1 raus. Also musst du dich verrechnet haben ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Achso, klar ;) mein Vektor ist nur noch kein Einheitsvektor, aber Richtung stimmt. Musst nur noch durch den Betrag von teilen und dann kommst du auf das Ergebnis!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Raiden28 |
Ach bin ich dumm ^^. Hab jetzt mein Fehler gefunden. Dann ist ja jetzt alles klar. Danke nochmal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hat doch nichts mit Dummheit zutun :P Aber kein Problem!
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Hallo!
Ohne die Aufgabe lösen zu wollen:
Die Pfeile der Vektoren spannen ein Parallelogramm auf.
Normiert man die Vektoren, so bilden die Pfeile eine Raute.
Die Summe der beiden Vektoren halbiert den einen Winkel zwischen den Pfeilen, die Differenz der beiden Vektoren den anderen Winkel zwischen den Pfeilen zu den normierten Vektoren.
Wesentlich ist die Eigenschaft der RAUTE.
Gruß
mathemak
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Do 27.12.2007 | | Autor: | weduwe |
(unter bezug auf die raute)
[mm] \vec{w}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\pm\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}
[/mm]
und damit
[mm] \vec{w}_0=\frac{|\vec{b}|\vec{a}\pm|\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{b}|\vec{a}\pm|\vec{a}|}
[/mm]
und im konkreten fall daher
[mm] \vec{w}_0=\frac{1}{\sqrt{84+2\sqrt{21}}}\vektor{\sqrt{2}\mp\sqrt{21}\\-4\sqrt{2}\\2\sqrt{2}\pm\sqrt{21}}
[/mm]
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