Winkelsimetralen und Umkreis < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 28.12.2005 | | Autor: | sara_20 |
| Aufgabe | Die Winkelsimetralen des Dreiecks ABC schneiden den Umkreis dieses Dreiecks in Punkten A1,B1,C1. Sei S der Schnittpunkt der Winkelsimetralen. Es ist zu beweisen:
a) AB1=B1C=B1S
b) Gerade g(B1,C1) ist Simetrale von AS
[Hier bitte NUR eine EINZIGE EIGENSTÄNDIGE Aufgabenstellung EXAKT abtippen, SONST NICHTS (keine eigenen Formulierungen). Danke.] |
Ich habe hier versucht zu erst etwas mit den Simetralen der Seiten von ABC, kam aber damit nicht weiter.
Ich hoffe ihr koennt mir weiterhelfen.
Ich habe diese FRage in keinen anderen Foren gestellt.
Danke im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 28.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo sara_20
Dass $B_1A=B_1C$ ist folgt aus der Tatsache, dass zu gleichgrossen Peripheriewinkeln (hier [mm] $\beta/2$) [/mm] auf einem Kreis auch gleichlange Sehnen gehören (hier $B_1A$ und $B_1C$).
Sonst kann man es auch folgendermassen mit dem Peripheriewinkelsatz argumentieren:
[mm] $\sphericalangle B_1AC=\sphericalangle B_1BC=\beta/2$
[/mm]
[mm] $\sphericalangle B_1CA=\sphericalangle B_1CB=\beta/2$
[/mm]
daher ist [mm] $ACB_1$ [/mm] ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis AC und daher $B_1A=B_1C$
Weiter zeige ich, dass das Dreieck $SB_1C$ gleichschenlig ist mit Basis $SC$. Denn [mm] $\sphericalangle SB_1C=\sphericalangle BB_1C=\sphericalanlge BAC=\alpha$ [/mm] und [mm] $\sphericalangle SCB_1=\sphericalangle SCA+\sphericalangle ACB_1=\gamma/2+\beta/2$
[/mm]
Wegen der Winkelsumme im Dreieck $SB_1C$ muss dann [mm] $\sphericalangle B_1SC=180°-\alpha-(\beta/2+\gamma/2)=\beta/2+\gamma/2$. [/mm]
Daher gilt auch $B_1S=B_1C$. QED
mfG Moudi
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