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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Wirbelfluss mit/ohne Stokes
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Wirbelfluss mit/ohne Stokes: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 So 14.12.2014
Autor: CAKL

Aufgabe
Gegeben sei das Geschwindigkeitsfeld [mm] F(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}^{2}*x_{2}^{2} \\ -x_{3} \\ x_{2}^{2} + \bruch{1}{x_{1}-x_{3}} } [/mm] einer turbulenten Strömung sowie die Schnittfläche S des Zylinders Z mit der Ebene E, wobei
Z={x aus [mm] R^3: x_{1}^2+x_{2}^2 [/mm] ≤ 9} und E: [mm] x_{1}-x_{3} [/mm] = 1
(a) Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch S (d.h. berechnen Sie [mm] \integral_{S}^{}{rot(F ) dA} [/mm] ) ohne Verwendung des Integralsatzes von Stokes.
(b) Man berechne nun den Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch S unter Verwendung des Integralsatzes von Stokes und bestätige das Ergebnis aus Teil (a). Wählen Sie dazu den Umlaufsinn der Randkurve passend zur in (a) gewählten Normale der Fläche S.

Hallo zusammen,

ich bin gerade bei der Bearbeitung der obigen Aufgabe und meine Ergebnisse passen nicht zusammen.

Bei der a) habe ich die Fläche wie folgt parametrisiert:

x(u,v) = [mm] \vektor{u\\ v \\ u-1} [/mm] u [mm] \in [/mm] [-3,3], v [mm] \in [-\wurzel{9-u^2},\wurzel{9-u^2}] [/mm]

Der Normalenvektor ist [mm] \vektor{-1\\0\\1} [/mm]

Ich erhalte also:

[mm] \integral_{-3}^{3}{\integral_{-\wurzel{9-u^2}}^{\wurzel{9-u^2}}{\vektor{2v+1\\1\\-2*u^2*v}*\vektor{-1\\0\\1}dv du}} [/mm]

Bei der b) habe ich die Randkurve wie folgt parametrisiert:

[mm] y(t)=\vektor{3*cos(t)\\3*sin(t)\\3*cos(t)-1} [/mm] u [mm] \in [0,2\pi] [/mm]

Ich erhalte für das Kurvenintegral 2.Art also:

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\vektor{9*cos(t)*sin(t)\\9*cos(t)^2-3*cos(t)\\6*cos(t)-2}*\vektor{-3*sin(t)\\3*cos(t)\\-3*sin(t)}dt} [/mm] = [mm] -9*\pi [/mm]


Die Ergebnisse passen nicht überein.

Sieht jemand den Fehler? Sind meine Parametrisierungen richtig?

Ich bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!!

_________________

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Wirbelfluss mit/ohne Stokes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 So 14.12.2014
Autor: MathePower

Hallo CAKL,


> Gegeben sei das Geschwindigkeitsfeld [mm]F(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1}^{2}*x_{2}^{2} \\ -x_{3} \\ x_{2}^{2} + \bruch{1}{x_{1}-x_{3}} }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> einer turbulenten Strömung sowie die Schnittfläche S des
> Zylinders Z mit der Ebene E, wobei
>   Z={x aus [mm]R^3: x_{1}^2+x_{2}^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

≤ 9} und E: [mm]x_{1}-x_{3}[/mm] =

> 1
>  (a) Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch
> S (d.h. berechnen Sie [mm]\integral_{S}^{}{rot(F ) dA}[/mm] ) ohne
> Verwendung des Integralsatzes von Stokes.
>  (b) Man berechne nun den Wirbelfluss des Vektorfeldes F
> durch S unter Verwendung des Integralsatzes von Stokes und
> bestätige das Ergebnis aus Teil (a). Wählen Sie dazu den
> Umlaufsinn der Randkurve passend zur in (a) gewählten
> Normale der Fläche S.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich bin gerade bei der Bearbeitung der obigen Aufgabe und
> meine Ergebnisse passen nicht zusammen.
>  
> Bei der a) habe ich die Fläche wie folgt parametrisiert:
>  
> x(u,v) = [mm]\vektor{u\\ v \\ u-1}[/mm] u [mm]\in[/mm] [-3,3], v [mm]\in [-\wurzel{9-u^2},\wurzel{9-u^2}][/mm]
>  
> Der Normalenvektor ist [mm]\vektor{-1\\0\\1}[/mm]
>  
> Ich erhalte also:
>  
> [mm]\integral_{-3}^{3}{\integral_{-\wurzel{9-u^2}}^{\wurzel{9-u^2}}{\vektor{2v+1\\1\\-2*u^2*v}*\vektor{-1\\0\\1}dv du}}[/mm]
>  


Siehe hier.


> Bei der b) habe ich die Randkurve wie folgt
> parametrisiert:
>  
> [mm]y(t)=\vektor{3*cos(t)\\3*sin(t)\\3*cos(t)-1}[/mm] u [mm]\in [0,2\pi][/mm]
>  
> Ich erhalte für das Kurvenintegral 2.Art also:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\vektor{9*cos(t)*sin(t)\\9*cos(t)^2-3*cos(t)\\6*cos(t)-2}*\vektor{-3*sin(t)\\3*cos(t)\\-3*sin(t)}dt}[/mm]
> = [mm]-9*\pi[/mm]
>  


Der erste Vektor stimmt nicht,
jedoch stimmt das Ergebnis.


>
> Die Ergebnisse passen nicht überein.
>  
> Sieht jemand den Fehler? Sind meine Parametrisierungen
> richtig?
>  
> Ich bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!!
>  
> _________________
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
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