Wird Untervektorraum gebildet < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Di 21.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Man zeige, dass die Teilmenge der symmetrischen Matrizen einen Untervektorraum von M(2x2, K) bildet und gebe eine Basis dieses Untervektorraums an.
(Zusatz: Man ergänze diese Basis zu einer Basis von M(2x2, K) ). |
HalliHallo!
Eine symmetrische Matrix hat doch die folgende Form, oder?
[mm] \pmat{ a & b \\ b & c }
[/mm]
und jetzt soll ich prüfen ob M einen Untervektorraum bildet, d.h. wie üblich prüfen auf abgeschlossenheit bzgl. Addition und skalarer Multiplikation.
Wir nehmen also 2 Elemente und addieren sie, und sehn, dass das ergebnis wieder in M liegt bzw. wir nehmen ein Element aus M und multiplizieren es mit einem λ ∈ K ??
Bitte um Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Di 21.10.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
> HalliHallo!
> Eine symmetrische Matrix hat doch die folgende Form,
> oder?
> [mm]\pmat{ a & b \\ b & c }[/mm]
richtig!
>
> und jetzt soll ich prüfen ob M einen Untervektorraum
> bildet, d.h. wie üblich prüfen auf abgeschlossenheit bzgl.
> Addition und skalarer Multiplikation.
genau
> Wir nehmen also 2 Elemente und addieren sie, und sehn,
> dass das ergebnis wieder in M liegt bzw. wir nehmen ein
> Element aus M und multiplizieren es mit einem [mm] \lambda \in [/mm] K ??
>
ganz genau!
und dann noch die Basis
also für eine Matrix ist es doch so, dass
die Matrizen [mm] A^{(i,j)} [/mm] die gerad an der Position (i,j) den Eintrag 1 und sonst nur null haben eine Basis bilden die dimension ist dann n*m
jetzt musst du dir halt noch überlgen was sich daran ändert, wenn du nur symmetrische matrizen betrachtest.
> Bitte um Hilfe :)
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Di 21.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Die Umsetzung scheint mir klar zu sein, immerhin etwas :)
Aber bei der Durchführung hapert es gerade gewaltig ... kannst du vllt Tipps zu einem Ansatz geben?
Was sind denn Elemente von diese symmetrischen Matrix?
Muss ich auch den Teilraum beweisen?
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> Die Umsetzung scheint mir klar zu sein, immerhin etwas :)
> Aber bei der Durchführung hapert es gerade gewaltig ...
> kannst du vllt Tipps zu einem Ansatz geben?
>
> Was sind denn Elemente von diese symmetrischen Matrix?
Hallo,
Du mußt, wenn Du einigermaßen erfolgreich Mathematik treiben möchtest, exakt lesen und sprechen.
Worum geht es hier?
Ihr habt in der Vorlesung gezeigt, daß die Menge M(2x2, K) der 2x2-Matrizen mit Einträgen aus K einen K-Vektorraum bildet (mit der Addition v. Matrizen und der Mult. mit Elementen aus K)
In dieser Aufgabe sollst Du nun eine Teilmenge der obigen Menge betrachten, nennen wir sie mal S(2x2, K).
Welche Teilmenge? Die Menge, die alle symmetrischen 2x2-Matrizen mit Einträgen aus K enthält.
Wie symmetrische Matrizen aussehen, weißt Du, Du hast es zuvor schon gesagt.
Zu zeigen ist nun, daß S(2x2, K) ein Untervektorraum von M(2x2, K) ist.
Du hast richtig festgestellt, daß Du hierfür die beiden Unterraumeigenschaften zeigen mußt, also die Abgeschlossenheit unter der Matrizenaddition und der Multiplikation mit Skalaren.
Du hast aber eine weitere, sehr wichtige (und einfache) Eigenschaft vergessen. (Schlag in Deinen Unterlagen nach.)
Du mußt nun also zeigen, daß zwei Elemente aus S(2x2, K), die addiert werden, wieder in S(2x2, K) liegen, also wieder symmetrische Matrizen sind.
Und hier bin ich bei der oben beanstandeten Formulierung: wir brauchen nicht Elemente ener symmetrischen Matrix, sondern wir brauchen Elemente aus der Menge der symmetrischen 2x2-Matrizen.
Wenn Du nun die Abgeschlossenheit unter der Addition zeigen möchtest, ist folgendes zu tun - wie Du auch selbst gesagt hast:
Du mußt zeigen, daß aus [mm] A,B\in [/mm] S(2x2,K) folgt A+B [mm] \in [/mm] S(2x2, K).
Jetzt geht's los:
Seien [mm] A,B\in [/mm] S(2x2,K).
Dann gibt es Körperelemente [mm] a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 [/mm] so, daß
[mm] A=\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3} [/mm] und [mm] B=\pmat{b_1&b_2\\b_2&b_3} [/mm]
Addiere nun A und B und weise nach, daß das Ergebnis wieder eine symmetrische Matrix ist.
Für die Multiplikation mit Skalaren entsprechend.
> Muss ich auch den Teilraum beweisen?
Teilraum ist ein anderes Wort für Untervektorraum, und das beweist Du mit den Maßnahmen von zuvor ja gerade.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 21.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> Du hast richtig festgestellt, daß Du hierfür die beiden
> Unterraumeigenschaften zeigen mußt, also die
> Abgeschlossenheit unter der Matrizenaddition und der
> Multiplikation mit Skalaren.
> Du hast aber eine weitere, sehr wichtige (und einfache)
> Eigenschaft vergessen. (Schlag in Deinen Unterlagen nach.)
---> Zeigen dass S eine nichtleere Teilmenge ist
Also:
(i) Nicht leer: 0+0=0+0 ==> 0=0 --> Also nicht leer.
(ii) Abgeschlossenheit: [mm] \pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3}+\pmat{b_1&b_2\\b_2&b_3} [/mm] = [mm] \pmat{a_1+b_1&a_2+b_2\\a_2+b_2&a_3+b_3} [/mm] --> Ist somit auch wieder eine symmetrische Matrize.
(iii) Multiplikation mit Skalaren: [mm] \lambda*a_{1}+\lambda*a_{2}=\lambda*b_{1}+\lambda*b_{2}
[/mm]
[mm] \lambda*(a_{1}+a_{2})=\lambda*(b_{1}+b_{2})
[/mm]
[mm] a_{1}+a_{2}=b_{1}+b_{2}
[/mm]
Ich hoffe mal, ich lieg nich völlig daneben :(
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> > Du hast richtig festgestellt, daß Du hierfür die beiden
> > Unterraumeigenschaften zeigen mußt, also die
> > Abgeschlossenheit unter der Matrizenaddition und der
> > Multiplikation mit Skalaren.
> > Du hast aber eine weitere, sehr wichtige (und einfache)
> > Eigenschaft vergessen. (Schlag in Deinen Unterlagen nach.)
>
> ---> Zeigen dass S eine nichtleere Teilmenge ist
Hallo,
genau.
>
> Also:
> (i) Nicht leer: 0+0=0+0 ==> 0=0 --> Also nicht leer.
Du meinst hier sicher das richtige, schreibe es deutlicher:
Da di Nullmatrix symmetrisch ist, liegt sie in S. Somit ist S nichtleer.
> (ii) Abgeschlossenheit:
> [mm]\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3}+\pmat{b_1&b_2\\b_2&b_3}[/mm] =
> [mm]\pmat{a_1+b_1&a_2+b_2\\a_2+b_2&a_3+b_3}[/mm] --> Ist somit auch
> wieder eine symmetrische Matrize.
Ogottogott! "Matrix" heißt das.
Aber recht hast Du ansonsten.
> (iii) Multiplikation mit Skalaren:
> [mm]\lambda*a_{1}+\lambda*a_{2}=\lambda*b_{1}+\lambda*b_{2}[/mm]
> [mm]\lambda*(a_{1}+a_{2})=\lambda*(b_{1}+b_{2})[/mm]
> [mm]a_{1}+a_{2}=b_{1}+b_{2}[/mm]
>
Du mußt hier vorrechnen, daß für jede symmetrische Matrix [mm] \pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3} [/mm] und für jedes [mm] \lambda \in [/mm] K auch [mm] \lambda*\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3} [/mm] eine symmetrische matrix ist.
Also.
es ist [mm] \lambda*\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3}= [/mm] ???, und die ist symmetrisch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 21.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> > (ii) Abgeschlossenheit:
> > [mm]\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3}+\pmat{b_1&b_2\\b_2&b_3}[/mm] =
> > [mm]\pmat{a_1+b_1&a_2+b_2\\a_2+b_2&a_3+b_3}[/mm] --> Ist somit auch
> > wieder eine symmetrische Matrize.
>
> Ogottogott! "Matrix" heißt das.
> Aber recht hast Du ansonsten.
Hups :D war beim Tippen grad nicht ganz bei der Sache.
> es ist [mm]\lambda*\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3}=[/mm] ???, und die ist
> symmetrisch.
[mm] \lambda*\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3}= \pmat{\lambda*a_1&\lambda*a_2\\\lambda*a_2&\lambda*a_3} \in [/mm] S
genügt das etwa schon?
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> > > (ii) Abgeschlossenheit:
> > > [mm]\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3}+\pmat{b_1&b_2\\b_2&b_3}[/mm] =
> > > [mm]\pmat{a_1+b_1&a_2+b_2\\a_2+b_2&a_3+b_3}[/mm] --> Ist somit auch
> > > wieder eine symmetrische Matrize.
> >
> > Ogottogott! "Matrix" heißt das.
> > Aber recht hast Du ansonsten.
>
> Hups :D war beim Tippen grad nicht ganz bei der Sache.
>
>
> > es ist [mm]\lambda*\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3}=[/mm] ???, und die ist
> > symmetrisch.
>
> [mm]\lambda*\pmat{a_1&a_2\\a_2&a_3}= \pmat{\lambda*a_1&\lambda*a_2\\\lambda*a_2&\lambda*a_3} \in[/mm]
> S
>
> genügt das etwa schon?
Hallo,
ja. Es muß ja nicht alles ein Hirnverknoter sein...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Di 21.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
vielen Dank :)
nur wie komme ich denn nun auf eine Basis dieses Untervektorraumes?
Und wie ergänze ich diese Basis dann zu einer Basis von M(2x2,K)?
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> vielen Dank :)
> nur wie komme ich denn nun auf eine Basis dieses
> Untervektorraumes?
Hallo,
guck Dir dazu an, wie symmetrische Matrizen aussehen, Du hast es ja schon gesagt:
wenn eine Matrix A symmetrisch ist (also in S liegt), dann gibt es a,b,c [mm] \in [/mm] K mit [mm] A=\pmat{a&b\\b&c}.
[/mm]
So, und nun überlege Dir mal, aus welchen Matrizen Du die per Linearkombination erzeugen kannst.
[mm] \pmat{a&b\\b&c}= [/mm] a* ??? +b*???+ c*???
Damit hast Du ein Erzeugendensystem der symmetrischen Matrizen gefunden.
Wenn Du nachweisen kannst, daß diese Matrizen auch noch linear unabhängig sind, hast Du eine Basis von S gefunden.
> Und wie ergänze ich diese Basis dann zu einer Basis von
> M(2x2,K)?
Da mußt Du scharf nachdenken. Die Dim von M(2x2,K) ist ja 4.
Du brauchst also noch zusätzlich eine Matrix, so daß Du mit den Vieren den kompletten Raum der 2x2-Matrizen erzeugen kanst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 21.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> So, und nun überlege Dir mal, aus welchen Matrizen Du die
> per Linearkombination erzeugen kannst.
>
> [mm]\pmat{a&b\\b&c}=[/mm] a* ??? +b*???+ c*???
[mm] \pmat{a&b\\b&c}=a*\pmat{1&0\\0&0}+b*\pmat{0&1\\1&0}+c*\pmat{0&0\\0&1} [/mm] ????
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> [mm]\pmat{a&b\\b&c}=a*\pmat{1&0\\0&0}+b*\pmat{0&1\\1&0}+c*\pmat{0&0\\0&1}[/mm]
> ????
>
Ja.
Siehst Du: schon wieder was Leichtes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Di 21.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
ich bin ja ganz begeistert :D soviel leichte Sachen auf einmal bin ich ja gar nich mehr gewohnt
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