Wkeit bei Zufallsvariablen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Do 24.06.2010 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig auf der Menge {1,...,n} gleichverteilt. Bestimmen Sie zu Z:=min{X,Y} die Verteilungsfunktion sowie die Wahrscheinlichkeiten P(Z=X) und P(Y=Z+1). |
Hallo,
also die ersten beiden Teile der Aufgabe habe ich, nur Probleme bereitet mir P(Y=Z+1) zu bestimmen.
In der Lösung steht nur:
P(X=Z+1) = [mm] \summe_{k=1}^{n-1}P(X=k, [/mm] Y=k+1) = [mm] \bruch{n-1}{n^2}
[/mm]
Hierbei verstehe ich net...
1) Warum man als Verteilung P(X=k, Y=k+1) schreibt?
2) Warum läuft die Summe bis n-1 udn nicht bis n?
3) P(X=k) = 1/n, wegen Gleichverteilung, wie kommt aber das Ergebnis [mm] \bruch{n-1}{n^2} [/mm] zustande?
Danke für jede Antwort!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Do 24.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig auf der
> Menge {1,...,n} gleichverteilt. Bestimmen Sie zu
> Z:=min{X,Y} die Verteilungsfunktion sowie die
> Wahrscheinlichkeiten P(Z=X) und P(Y=Z+1).
> Hallo,
>
> also die ersten beiden Teile der Aufgabe habe ich, nur
> Probleme bereitet mir P(Y=Z+1) zu bestimmen.
>
> In der Lösung steht nur:
>
> P(X=Z+1) = [mm]\summe_{k=1}^{n-1}P(X=k,[/mm] Y=k+1) =
> [mm]\bruch{n-1}{n^2}[/mm]
>
> Hierbei verstehe ich net...
> 1) Warum man als Verteilung P(X=k, Y=k+1) schreibt?
Z soll das Minimum von X und Y sein. Die kleinere der beiden Zahlen kann zunächst mal jede der beiden sein. Nun wird aber zusätzlich noch Y=Z+1 gefordert, also ist Y um 1 größer als die kleinere der beiden Zahlen.
Somit ist X die kleinere Zahl. Sie nimmt irgendeinen Wert k an, und Y ist um 1 größer.
> 2) Warum läuft die Summe bis n-1 udn nicht bis n?
X kann nicht den letzten Wert n annehmen - wie groß wäre denn dann Y ?!
> 3) P(X=k) = 1/n, wegen Gleichverteilung, wie kommt aber
> das Ergebnis [mm]\bruch{n-1}{n^2}[/mm] zustande?
Mögliche Fälle: X nimmt einen der Werte 1 bis n an, Y ebenfalls - das sind [mm] n^2 [/mm] Kombinationen.
Günstige Fälle: (X=1 und Y=2) oder (X=2 und Y=3) oder ....
Gruß Abakus
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> Danke für jede Antwort!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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