Wkt. der SZV Y berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:10 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | 4.(K) Es sei die Zva. [mm] $X\sim [/mm] g(p)$, [mm] $X_{1},...,X_{n}$ [/mm] unabhängig und identisch verteilt wie $X$ und [mm] $Y:=\overline{X}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von $Y$.
(b) Bestimmen Sie für $p=0,4$ und $n=100$ die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(-1\leq\tilde{Y}\leq1)$. [/mm]
Verwenden Sie, dass die Summe von unabhängig $g(p)$-verteilten Zufallsvariablen negativ binomialverteilt ist.
(c) Bestimmen Sie für $p = 0.4$ und $n = 100$ eine Annäherung für [mm] $P(-1\leq \tilde{Y} \leq [/mm] 1)$, indem Sie die Funktion [mm] $\Phi$ [/mm] aus dem Satz von Moivre-Laplace als Annäherung für die Verteilungsfunktion von [mm] $\tilde{Y}$ [/mm] verwenden.
Wie interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zum exakten Wert? |
Moin Freunde der Mathematik.
Ich versuche mich grade an dieser Aufgabe.
Den Aufgabenteil (a) habe ich bereits gelöst.
[mm] $E(Y)=\bruch{1}{n}\cdot n\cdot E(X)=\frac{1}{p}$
[/mm]
[mm] $V(Y)=\frac{1}{n^2}\cdot n\cdot [/mm] V(X) = [mm] \frac{1-p}{np^2}$
[/mm]
(b) Hier komme ich nun nicht mehr weiter.
Gesucht ist die Wkt. für $ [mm] P(−1\leq \tilde{Y} \leq [/mm] 1) $
Dabei ist [mm] $\tilde{Y}:=\frac{Y-E(Y)}{SD(Y)}$ [/mm] die Standardisierte Zufallsvariable.
[mm] $SD(Y):=\sqrt{V(Y)}$
[/mm]
Offensichtlich muss man dafür die Negative Binomialverteilung verwenden:
[mm] $P\left(X=k\right)=\binom{k-1}{r-1}\cdot\left(1-p\right)^{k-r}\cdot p^{r}$
[/mm]
Dafür bräuchte ich allerdings die Variable $r$. Diese habe ich hier jedoch garnicht gegeben.
Irgendwie stehe ich vollkommen auf dem Schlauch. Ich weiss garnicht was ich hier tun soll. Kann mir jemand weiterhelfen?
Mfg. Frosch
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Hiho,
> Dafür bräuchte ich allerdings die Variable [mm]r[/mm]. Diese habe ich hier jedoch garnicht gegeben.
Doch. Du addierst doch n unabhängige Zufallsvariablen.
Daher gilt für dich: r=n
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Frosch20 |
> Hiho,
>
> > Dafür bräuchte ich allerdings die Variable [mm]r[/mm]. Diese habe
> ich hier jedoch garnicht gegeben.
>
> Doch. Du addierst doch n unabhängige Zufallsvariablen.
> Daher gilt für dich: r=n
>
> Gruß,
> Gono
>
Okay, vielen dank leider komme ich immer noch nicht wirklich weiter.
Also in der vorangegangen Übung habe ich gezeigt, dass:
Es seien [mm] $X_1 ,X_2 ...,X_r$ [/mm] unabhängig und identisch $g(p)$ verteilt mit [mm] $p\in [/mm] [0,1]$.
Zeigen Sie, dass [mm] $X:=\sum_{i=1}^{r} X_i$ [/mm] der negativen Binomialverteilung mit Parametern $p$ und $r$ genügt.
Da habe ich dann [mm] $P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}\cdot (1-p)^{k-r}\cdot p^r$ [/mm] heraus
Nun habe ich hier aber den Fall das [mm] $P(-1\leq \tilde{Y}\leq [/mm] 1)$ sein soll.
Also hab ich erstmal eine Standardisierte Zufallsvariable. Deswegen wollte ich das ganze erstmal in einer Normalen Zufallsvariable umrechnen. Mit negativen Werten kann ich ja bei der negativen Binomialverteilung nicht viel anfangen.
Dafür hatte ich dann
[mm] $-1\cdot1,936+250 &\approx&248$
[/mm]
[mm] $1\cdot1,936+250&\approx&251$
[/mm]
Dann hätte ich:
$ [mm] P(248\leq [/mm] Y [mm] \leq [/mm] 251)= [mm] \sum_{k=248}^{251} \binom{k-1}{100-1} \cdot \left(1-0,4\right)^{k-100} \cdot0,4^{100} \approx [/mm] 0.0823750$
(c) Hier habe ich einfach nur:
[mm] $P\left(-1\leq\tilde{Y}\leq1\right)&\approx&\Phi\left(1\right)-\Phi\left(-1\right)\approx&0,68268$
[/mm]
gerechnet.
Wenn man die beiden Ergebnisse sich so anschaut kann da aber irgenwas nicht stimmen :/
Mfg. Frosch
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Hiho,
deine Ansätze sind allesamt ok, du hast dich wohl nur verrechnet.
> Dafür hatte ich dann
>
> [mm]-1\cdot1,936+250 &\approx&248[/mm]
>
> [mm]1\cdot1,936+250&\approx&251[/mm]
Wie kommst du auf die 1,936? Ich hätte da was um den Faktor 10 anderes....
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 14.06.2015 | | Autor: | Frosch20 |
> Hiho,
>
> deine Ansätze sind allesamt ok, du hast dich wohl nur
> verrechnet.
> > Dafür hatte ich dann
> >
> > [mm]-1\cdot1,936+250 &\approx&248[/mm]
> >
> > [mm]1\cdot1,936+250&\approx&251[/mm]
>
> Wie kommst du auf die 1,936? Ich hätte da was um den
> Faktor 10 anderes....
>
> Gruß,
> Gono
Ich habe dafür mein Ergebniss aus Aufgabenteil (a) verwendet.
Es sei die Zva. $ [mm] X\sim [/mm] g(p) $, $ [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] $ [mm] \underline{unabhängig} [/mm] und identisch verteilt wie $ X $ und $ [mm] Y:=\overline{X}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} [/mm] $
[mm] $V(Y)=V(\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}V(\summe_{i=1}^{n}X_i) [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}V(X_i)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{n^2}\cdot [/mm] n [mm] \cdot [/mm] V(X) $
[mm] $=\frac{1}{n} \cdot \frac{1-p}{p^2}$
[/mm]
Dann habe ich für die negativ binomialverteilte gerechnet:
[mm] $\sqrt{\frac{100\cdot (1-0,4)}{100\cdot 0,4^2}}\approx [/mm] 1,936$
mfg. Frosch
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Hiho,
> Ich habe dafür mein Ergebniss aus Aufgabenteil (a)
> verwendet.
> [...]
> [mm]=\frac{1}{n} \cdot \frac{1-p}{p^2}[/mm]
Bis hierhin ist alles ok.
> [mm]\sqrt{\frac{100\cdot (1-0,4)}{100\cdot 0,4^2}}\approx 1,936[/mm]
Na jetzt erkläre mal, wie obige Formel mit deinem Zähler zusammenpasst.... wo kommt die 100 im Zähler her?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 14.06.2015 | | Autor: | Frosch20 |
> Hiho,
>
> > Ich habe dafür mein Ergebniss aus Aufgabenteil (a)
> > verwendet.
> > [...]
> > [mm]=\frac{1}{n} \cdot \frac{1-p}{p^2}[/mm]
>
> Bis hierhin ist alles ok.
>
> > [mm]\sqrt{\frac{100\cdot (1-0,4)}{100\cdot 0,4^2}}\approx 1,936[/mm]
>
> Na jetzt erkläre mal, wie obige Formel mit deinem Zähler
> zusammenpasst.... wo kommt die 100 im Zähler her?
Mh ich habe mich wohl ursprünglich vertan. Irgendwie bin ich davon ausgegangen, dass ich in (a) den Erwartungswert und die Varianz für die geometrische Verteilung berechnet habe.
Für eine Negativbinomialverteilte Zufallsgröße X gilt:
[mm] $E(X)=\frac{r(1-p)}{p^2} [/mm] $
Denn im Vergleich zur geometrischen Verteilung sucht man hier ja die anzahl der $r$ erfolge.
Für $r=1$ hätte man ja die Geometrische Verteilung.
Daraufhin habe ich wohl die Formel aus (a) einfach mit $r$ multipliziert.
Das macht jedoch wohl keinen Sinn, da ich die $r=n$ bereits einmal rausgekürzt habe (aufgrund der [mm] $\frac{1}{n})$
[/mm]
Somit blieben dann aber nur
$ [mm] \sqrt{\frac{1-0,4}{100\cdot 0,4^2}}\approx [/mm] 0,1936 $
Dann wären aber auch die [mm] $E(Y)=\frac{r}{p}=250$ [/mm] falsch, da dort wieder durch den Mittelwert einmal durch n geteilt wird.
Es blieben dann nur noch $E(Y)=2,5$ übrig.
Es ist ja [mm] $E(Y)=E(\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n X_i) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n E(X_i) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\cdot n\cdot [/mm] E(X) = [mm] \frac{1}{p}$
[/mm]
Dann kriegt ich aber komische Werte heraus, die so keinen Sinn machen.
Jetzt bin ich irgendwie verwirrt.
Mich verwundert insgesamt, dass wir die negative binomialverteilung nie wirklich eingeführt haben. Wir haben in der Übung eine Aufgabe vorgerechnet bekommen und dann war sie auf einmal da.
Aber soweit ich das verstanden habe bezieht sich das r in der Formel im Vergleich zu der Geometrischen verteilung auf die $r$-unabhängigen Zufallsvariablen
mfg. Frosch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 So 14.06.2015 | | Autor: | Frosch20 |
> > Dann kriegt ich aber komische Werte heraus, die so keinen
> Sinn machen.
> Warum?
>
Edit: Habs nun doch hinbekommen
$Z:= [mm] \sum_{i=1}^{100}X_i$
[/mm]
[mm] $P(230\leq [/mm] Z [mm] \leq [/mm] 269)$
[mm] $=P(Z\leq [/mm] 269) - [mm] P(Z\leq [/mm] 230)$
$=0.843319312652331- 0.156386537999481$
$=0.6869328$
Das passt dann auch zu meinem Wert aus (c).
Mfg. Frosch
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Hiho,
> Edit: Habs nun doch hinbekommen
>
> [mm]Z:= \sum_{i=1}^{100}X_i[/mm]
>
> [mm]P(230\leq Z \leq 269)[/mm]
>
> [mm]=P(Z\leq 269) - P(Z\leq 230)[/mm]
Diese Gleichheit stimmt nicht ganz.
Es ist:
[mm]P(230\leq Z \leq 269) = P(Z\le 269) - P(Z < 230) = P(Z\leq 269) - P(Z\leq 229)[/mm]
Gruß,
Gono
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