Wohldefiniert, isomorph < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 So 18.12.2011 | | Autor: | Lola292 |
| Aufgabe | Es sei V= [mm] \IR^3[/mm] und L: [mm] \IR^3[/mm]->[mm] \IR^3[/mm] gegeben durch L([mm] \xi_1,\xi_2,\xi_3[/mm])=[mm]3*\xi_1+2*\xi_2-\xi_3[/mm]. Weiterhin sei [mm] E={x\in\IR^3: L(x)=0}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]\IR^3[/mm]/E [mm] \rightarrow \IR[/mm] (über dem Pfeil ist noch ein L, weiß aber nicht, wie man das hier macht) mit a+E [mm] \rightarrow [/mm] L(a) eine wohldefinierte lineare Abbildung ist.
b)Zeigen Sie, dass die Abbildung aus a) ein Isomorphimus ist. |
Hallo,
bei a muss ich ja zeigen, dass die Abbildung nicht vom Repräsentanten abhängt. Leider ist mir nicht klar, wie ich damit anfangen soll. Kann ich mit der Behauptung anfangen, dass für alle x und y aus a+E gilt L(x)=L(y)? Und wenn ja, wie mache ich dann da weiter? Stehe gerade total auf dem Schlauch.
Zu b) habe ich leider auch nicht viel mehr Ahnung. Ich weiß, dass ein Isomorphimus ein bijektiver Homomorphismus ist. Das heißt dann wohl, dass ich nachweisen muss, dass die Abbildung bijektiv ist, aber wie genau fange ich damit an?
Viele Grüße
Lola
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 So 18.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lola!
> Es sei V= [mm]\IR^3[/mm] und L: [mm]\IR^3[/mm]->[mm] \IR^3[/mm]
Hier soll $L : [mm] \IR^3 \to \IR$ [/mm] stehen.
> gegeben durch L([mm] \xi_1,\xi_2,\xi_3[/mm])=[mm]3*\xi_1+2*\xi_2-\xi_3[/mm].
> Weiterhin sei [mm]E=\{x\in\IR^3: L(x)=0\}.[/mm]
(Wenn du \{ \} anstelle { } verwendest, werden die Klammern auch angezeigt.)
> a) Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]\IR^3[/mm]/E [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> (über dem Pfeil ist noch ein L, weiß aber nicht, wie man
> das hier macht) mit a+E [mm]\rightarrow[/mm] L(a) eine
> wohldefinierte lineare Abbildung ist.
Das macht man z.B. durch [mm] $\IR^3/E \overset{L}{\rightarrow} \IR$.
[/mm]
> b)Zeigen Sie, dass die Abbildung aus a) ein Isomorphimus
> ist.
>
> bei a muss ich ja zeigen, dass die Abbildung nicht vom
> Repräsentanten abhängt. Leider ist mir nicht klar, wie
> ich damit anfangen soll. Kann ich mit der Behauptung
> anfangen, dass für alle x und y aus a+E gilt L(x)=L(y)?
Nun, das musst du zeigen! Das darfst du nicht annehmen!
> Und wenn ja, wie mache ich dann da weiter? Stehe gerade
> total auf dem Schlauch.
Du faengst an mit $x, y [mm] \in \IR^3$ [/mm] mit $x + E = y + E$. Du musst jetzt zeigen, dass $L(x) = L(y)$ ist.
Dazu beachte, dass $x + E = y + E$ bedeutet, dass $x - y [mm] \in [/mm] E$ ist. Also fang doch mal an mit $L(x) = L(y + (x - y))$. Verwende jetzt, dass $L$ linear ist und verwende die Definition von $E$.
> Zu b) habe ich leider auch nicht viel mehr Ahnung. Ich
> weiß, dass ein Isomorphimus ein bijektiver Homomorphismus
> ist. Das heißt dann wohl, dass ich nachweisen muss, dass
> die Abbildung bijektiv ist, aber wie genau fange ich damit
> an?
Zeige zuerst, dass sie surjektiv ist. Bei linearen Abbildungen nach [mm] $\IR$ [/mm] reicht es dazu aus, ein $v$ anzugeben so dass dieses $v$ auf ein Element [mm] $\neq [/mm] 0$ abgebildet wird.
Um zu zeigen, dass es injektiv ist, nimmst du ein $x + E [mm] \in \IR^3/E$ [/mm] mit $L(x) = 0$, und zeigst, dass $x + E = 0 + E$ ist. Damit hast du gezeigt, dass der Kern nur aus dem Nullelement in [mm] $\IR^3/E$ [/mm] besteht, und du solltest wissen dass daraus folgt, dass die Abbildung injektiv ist.
LG Felix
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