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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:08 Mi 07.11.2007 | | Autor: | DreamaMM |
| Aufgabe | Es seien m und n teilerfremde natürliche Zahlen. Dann gibt es ganze Zahlen u und v, so dass
um + vn = 1
Man zeige, dass folgende Abbildung wohldefiniert und bijektiv ist
[mm] \IZ/(m) [/mm] x [mm] \IZ/(n) \to \IZ(m*n)
[/mm]
(a,b) [mm] \mapsto [/mm] vna + umb |
Ich bin hier leider noch nicht sehr wiet gekommen, weiß aber, dass
a [mm] \equiv [/mm] c mod m und
b [mm] \equiv [/mm] d mod n
Ausserdem habe ich vn + um = 1 so umgeformt, dass ich weiß, dass
vna + umb = a - uma + umb ist.
Mir fehlt jetzt allerdings der grundsätzliche Schritt, wie ich vorzugehen habe.
Liebe Grüße, Marina
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> Es seien m und n teilerfremde natürliche Zahlen. Dann gibt
> es ganze Zahlen u und v, so dass
> um + vn = 1
>
> Man zeige, dass folgende Abbildung wohldefiniert und
> bijektiv ist
>
> [mm]\IZ/(m)[/mm] x [mm]\IZ/(n) \to \IZ / (m*n)[/mm]
>
> (a,b) [mm]\mapsto[/mm] vna + umb
> Ich bin hier leider noch nicht sehr wiet gekommen, weiß
> aber, dass
> a [mm]\equiv[/mm] c mod m und
> b [mm]\equiv[/mm] d mod n
>
> Ausserdem habe ich vn + um = 1 so umgeformt, dass ich
> weiß, dass
> vna + umb = a - uma + umb ist.
>
>
> Mir fehlt jetzt allerdings der grundsätzliche Schritt, wie
> ich vorzugehen habe.
Hallo,
wir haben in dieser Aufgabe also eine Funktion [mm] \Phi [/mm] zu betrachten, welche in einer bestimmten Weise
aus [mm] \IZ/(m) [/mm] x [mm] \IZ/(n) [/mm] nach [mm] \IZ [/mm] / (m*n) abbildet.
In den Paaren der Def.menge stehen Restklassen mod m bzw. n, wie Du richtig erkannt hast, und der Wertebereich sind die Restklassen mod mn.
Insofern finde ich die Funktionsvorschrift sehr undeutlich aufgeschrieben, ich schreibe das mal anders, und ich hoffe, daß sich die Schreibweise selbst erklärt:
[mm] \Phi: \IZ/(m) [/mm] x [mm] \IZ/(n) \to \IZ [/mm] / (m*n) mit
[mm] \Phi [/mm] ( [mm] [a]_m, [b]_n)= [/mm] [vna + [mm] umb]_{m*n} [/mm] f.a. ( [mm] [a]_m, [b]_n) \in \IZ/(m) [/mm] x [mm] \IZ/(n).
[/mm]
Zu zeigen sind nun Wohldefiniertheit und Bijektivität.
Wohldefiniertheit:
Hier ist zum einen zu sichern, daß es zu jedem Element des Definitionsbereichen tatsachlich eines im Wertebereich gibt, das ist hier kein Problem.
Wir haben hier aber ein mögliches Problem, welches typisch ist für Funktionen, die auf Restklassen definiert sind.
Wir müssen prüfen, ob für ( [mm] [a]_m, [b]_n)=( [a']_m, [b']_n) [/mm] auch die Funktionswerte übereinstimmen.
Denn es kann ja [mm] [a]_m=[a']_m [/mm] sein und a und a' trotzdem verschieden. Man muß also untersuchen, ob die Funktion unabhängig v. den Repräsentanten der Restklassen definiert ist.
Du mußt also starten mit: sei ( [mm] [a]_m, [b]_n)=( [a']_m, [b']_n), [/mm] dann mußt Du Dir überlegen, was diese Gleichheit für a, a' und b, b' bedeutet, und idealerweise darauf kommen, daß die Funktionswerte gleich sind.
Damit hast Du dann die Wohldefiniertheit gezeigt.
Für die Bijektivität sind Injektivität und Surjektivität zu zeigen, im Prinzip wie gewohnt.
Das Ungewohnte hierbei durfte sein, daß Du es jetzt mit Restklassen zu tun hast, und ich bin der Meinung, daß die von mir gewählte Schreibweise ein wenig hilt, den Überblick zu behalten.
Injektivität: Starte mit [mm] \Phi [/mm] ( [mm] [a]_m, [b]_n)= \Phi [/mm] ( [mm] [a']_m, [b']_n) [/mm] und zeige, daß folgt: ( [mm] [a]_m, [b]_n)=( [a']_m, [b']_n) [/mm]
Surjektivität: hier mußt Du zu jedem y mit [mm] 0\le y\le [/mm] mn-1 ein Restklassenpaar finden, welches auf [mm] [y]_{m*n} [/mm] abgebildet wird.
So. Nun kann ich mir vorstellen, daß das Ganze immer noch etwas verwirrend ist.
Ich helfe mir in solche Fällen erstmal durch ein konkretes Beispiel, welches natürlich keinerlei Beweiskraft hat, welches aber oft nützlich ist, um zu verstehen, was man eigentlich tut und zum Überprüfen der zu beweisenden Aussagen.
MIR war hier die Bijektivität z.B. gar nicht klar, und so habe ich einfach mal für m=2 und n=3 die Funktion aufgestellt, es sind ja nur 6 Elemente im Definitionsbereich, da kriegt man das noch ganz gut hin. (-1)*2+1*3=1, also ist mein u=-1 und mein v=1.
Vielleicht tust Du das auch zuvor, jedenfalls wenn Dir die Abbilderei zw.Restklassn noch etwas unheimlich ist.
Du kannst hier dann auch mal die Wohldefiniertheit an einem Beispiel testen: ist [mm] \Phi [/mm] ( [mm] [1]_2, [2]_3)= \Phi [/mm] ( [mm] [9]_2, [14]_3) [/mm] ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 07.11.2007 | | Autor: | DreamaMM |
Also...
Wohldefiniert und Injektiv ist die Abbildung schonmal, dabei ist ja nich viel zu machen.
Zur Wohldefiniertheit: Kann ich schreiben, dass die Abbildung wohldefiniert ist, wenn gilt: [mm] (\bruch{a'}{m})_{m} [/mm] = [mm] a_{m} [/mm] und [mm] (\bruch{b'}{m})b_{m} [/mm] = [mm] b_{m}
[/mm]
Allerdings verstehe ich bei der Surjektivität nicht ganz, wie du auf [mm] 0\le y\le [/mm] mn-1 kommst.
Zitat:
Surjektivität: hier mußt Du zu jedem y mit [mm] 0\le y\le [/mm] mn-1 ein Restklassenpaar finden, welches auf [mm] x_{mn} [/mm] abgebildet wird.
Meine erste Überlegung war es, das ganze jeweils nach a und b umzuformen und wieder einsetzten. Aber ich denke, dass das hier nicht so einfach geht...
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> Also...
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> Wohldefiniert und Injektiv ist die Abbildung schonmal,
> dabei ist ja nich viel zu machen.
Hallo,
bist Du Dir da so sicher, daß nicht viel zu machen ist?
Iich habe auch schon längere Beweise gesehen, aber ich finde nicht, daß das auf einen Blick klar ist.
> Zur Wohldefiniertheit: Kann ich schreiben, dass die
> Abbildung wohldefiniert ist, wenn gilt: [mm](\bruch{a'}{m})_{m}[/mm]
Nein.
Du mußt halt zeigen, daß für jedes a,a', b,b' mit ([a], [b])=([a'],[b']) dassselbe Erbenis herauskommt, wenn man die Funktion drauflosläßt. Wir haben keine Ansprüche an das a' zu stellen. Es muß es automatisch tun, und es tut es.
Du bekommst das heraus, wenn Du Dir a,a', b,b' alle mal als [mm] a=k_a*m+r [/mm] (die anderen analog) schreibst.
> = [mm]a_{m}[/mm] und [mm](\bruch{b'}{m})b_{m}[/mm] = [mm]b_{m}[/mm]
>
> Allerdings verstehe ich bei der Surjektivität nicht ganz,
> wie du auf [mm]0\le y\le[/mm] mn-1 kommst.
Du bildest doch in die Restklassen mod mn ab. die hat mn Elemente, nämlich [mm] [0]_{mn},[1]_{mn},...,[mn-1]_{mn}.
[/mm]
> Meine erste Überlegung war es, das ganze jeweils nach a und
> b umzuformen und wieder einsetzten. Aber ich denke, dass
> das hier nicht so einfach geht...
Ich fürchte auch, daß es so einfach nicht geht, aber vielleicht kommt man so ja auf Ideen.
Nützlich ist sicher auch um + vn = 1. Wenn ich mir's recht bedenke, mußt Du das verwenden.
Gruß v. Angela
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