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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Flock |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Forum,
ich habe eine Frage bezüglich der Wohldefiniertheit.
1) Ich habe zum Beispiel eine Abbildung f: {1,2,3} -> {1,2,3}
- Wann ist diese Abbildung wohldefiniert und wann nicht?
2) Sind g und f lineare Abbildungen. Wie zeige ich, dass g°f wohldefiniert ist?
Ist es deswegen, da f und g linear sind?
3) Wieso ist die Signumabbildung wohldefiniert? Folgt es daraus, dass die Anzahl der Fehlstände wohldefiniert ist?
4) Es existiert die Wohldefiniertheit in den Äquivalenzklassen: wie ich es verstanden habe, müsste man überprüfen, ob die Gesetzmäßigkeit auch für alle Repräsentanten gilt.
Ich habe über Wohldefiniertheit nur folgendes verstanden:
Beweise über Wohldefiniertheit sind meistens Existenz- oder Eindeutigkeitsbeweise. Aber dann frage ich mich: Man kann ja sich ein mathematisches Objekt ausdenken, und er wird existieren (zumindest abstrakt schon, irgendwo in der Vorstellung)... wie soll man das verstehen? wann existiert ein Objekt bzw. ein Element, eine Abbildung?
Eindeutigkeit verwirrt mich auch: Surjektive Abbildungen sind eindeutig, obwohl einem Element mehrere Elemente zugeordnet werden...
Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand das anschaulich erklären könnte...
Gruss
Flock
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo Forum,
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> ich habe eine Frage bezüglich der Wohldefiniertheit.
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> 1) Ich habe zum Beispiel eine Abbildung f: {1,2,3} ->
> {1,2,3}
> - Wann ist diese Abbildung wohldefiniert und wann nicht?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es geht hierbei darum, ob die Funktion, die definiert wurde, wirklich eine Funktion ist.
Von einer Funktion [mm] f:A\to [/mm] B verlangt man, daß jedem Element der Definitionsmenge A genau ein Element der Zielmenge B zugeordnet wird.
Abklopfen muß man also jede Definition auf folgende Punkte:
1. Wird wirklich jedem Element von A ein Funktionswert zugeordnet?
Bei [mm] f:\{1,2,3\}\to \IR [/mm] mit
[mm] f(x):=\bruch{1}{x-2}
[/mm]
hat man ein Problem.
2. Wird wirklich jedem Element nur ein Funktionswert zugeordnet?
Bei [mm] g:f:\{1,2,3\}\to \IR [/mm] mit
g(x):= y , wobei [mm] y^2=x
[/mm]
hat man ein Problem.
3. Liegt der zugeordnete Wert wirklich in der Zielmenge?
Bei [mm] h:\{1,2,3\}\to \{1,2,3\} [/mm] mit
h(x):=x-1
hat man ein Problem.
Oftmals verliert man über Wohldefiniertheit kein Wort, weil sie so sonnenklar ist.
Bei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x):=x^2 [/mm] gibt's halt keine Stolperstricke.
Probleme tauchen aber z.B. auf, wenn wie in meinem Beispiel 2. Funktionen umgekehrt werden sollen, oder wenn Funktionen auf Rest/Äquivalenzklassen erklärt werden. Bei letzteren muß man sicherstellen, daß die Funktionswerte gleich sind, auch wenn das Argument in verschiedenem Gewand daherkommt (Repräsentantenunabhängigkeit prüfen).
>
> 2) Sind g und f lineare Abbildungen. Wie zeige ich, dass
> g°f wohldefiniert ist?
> Ist es deswegen, da f und g linear sind?
Ich glaube, daß Du hier ein konkretes Beispiel im Hinterkopf hast.
Wenn Du es postest, müssen wir hier nicht in den blauen Dunst schwadronieren.
Die Linearität reicht keinesfalls aus. Es fängt doch schon damit an, daß der Definitionsbereich der einen Funktion zum Zielbereich der anderen passen muß...
>
> 3) Wieso ist die Signumabbildung wohldefiniert? Folgt es
> daraus, dass die Anzahl der Fehlstände wohldefiniert ist?
Die Anzahl der Fehlstände einer Permutation ist nicht wohldefiniert, es gibt ja verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation als Produkt von Transpositionen zu schreiben.
Wenn ich mich extrem dämlich anstelle, brauche ich vielleicht 7 Transpositionen, um [mm] \pmat{1&2&3&4&5\\2&1&3&4&5} [/mm] als Produkt von Transpositionen zu schreiben...
Aber etwas anderes ist eindeutig: die Parität.
Es ist nicht möglich, die obige Permutation als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen zu schreiben. Jede Permutation ist ein Produkt entweder einer geraden oder einer ungeraden Anzahl von Transpositionen.
Und diese Tatsache macht die Signumfunktion wohldefiniert.
> 4) Es existiert die Wohldefiniertheit in den
> Äquivalenzklassen:
"Es existiert" ist komisch ausgedrückt...
Wie oben erwähnt: dies ist ein typischer Fall, bei dem man über Wohldefiniertheit nachdenken muß.
> wie ich es verstanden habe, müsste man
> überprüfen, ob die Gesetzmäßigkeit auch für alle
> Repräsentanten gilt.
Ja. Nehmen wir an, wir hätten eine Funktion f auf den Restklassen modulo 5 definiert.
Man muß dann sicherstellen, daß z.B. [mm] f([3]_5) [/mm] dasselbe ist wie [mm] f([18]_5).
[/mm]
Allgemein: zu prüfen ist, ob aus [mm] [x]_5=[y]_5 [/mm] auch [mm] f([x]_5)=f([y]_5) [/mm] folgt.
>
> Aber dann frage ich mich: Man
> kann ja sich ein mathematisches Objekt ausdenken, und er
> wird existieren (zumindest abstrakt schon, irgendwo in der
> Vorstellung)... wie soll man das verstehen? wann existiert
> ein Objekt bzw. ein Element, eine Abbildung?
Eine Abbildung existiert, wenn sie die Eigenschaften einer Abbildung hat.
Allein die Tatsache, daß Du daherkommst und behauptest, daß ein von Dir definiertes Ding eine Abbildung ist, macht noch keine Abbildung.
Wenn ich auf meinen Raben Abraxas zeige und sage: "Das ist eine Katze", dann ist Abraxas noch lange keine Katze, und Du wirst mir auch nicht glauben, denn Du wirst bei einer kurzen Untersuchung schnell sehen, daß er nicht vier Beine hat.
Abraxas wird nur zu einer Katze, wenn wir ab sofort Raben "Katze" nennen - aber das wäre für die Kommunikation mit anderen nicht so praktisch.
> Eindeutigkeit verwirrt mich auch: Surjektive Abbildungen
> sind eindeutig, obwohl einem Element mehrere Elemente
> zugeordnet werden...
Bei der Wohldefiniertheit geht es darum, daß nicht einem Element des Definitionsbereiches zwei Funktionswerte zugeordnetwerden dürfen.
Gruß v. Angela
> Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand das anschaulich
> erklären könnte...
>
> Gruss
> Flock
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Di 08.02.2011 | | Autor: | Flock |
Hallo, Angela!
Vielen vielen Dank für so eine ausführliche Antwort! Es ist mir einiges klarer geworden. Mit den Abbildungen war es so gemeint: f°g wohldefiniert, falls g: V -> W und f: W -> Z. W gehört sowohl zu f als auch zu g, k-lineare Abbildung ist wohldefiniert, also ist das ganze wohldefiniert... Ich hoffe, dass es so korrekt ist.
Gruss
Flock
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