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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Di 06.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Schreibe [mm] $[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}$ [/mm] für die Äquivalenzklassen von [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$
[/mm]
Definiere auf der Relation [mm] $E_2$ [/mm] die Addition wie folgt:
[mm] $[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}+[(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}$
[/mm]
Es gilt:
[mm] $((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}) \in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n$ [/mm] Nullfolge |
Hi,
also um die Wohldefiniertheit zu zeigen muss ich ja zeigen, dass die Addition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.
Für [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] schreibe ich im Folgenden [mm] $x_n$
[/mm]
Ich würde wie folgt vorgehen:
[mm] $[x_n]_{E_2}+[y_n]_{E_2}=[x_n+y_n]_{E_2}$
[/mm]
[mm] $(x_n,x'_n)\in E_2$ [/mm] und [mm] $(y_n,y'_n)\in E_2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow x'_n-x_n$ [/mm] Nullfolge und [mm] $y'_n-y_n$ [/mm] Nullfolge
Wenn ich beides addiere:
[mm] x'_n-x_n+y'_n-y_n [/mm] Nullfolge
[mm] $(x'_n+y'_n)-(x_n+y_n)$ [/mm] Nullfolge [mm] $\in E_2\Leftrightarrow$ $[(x_n+y_n,x'_n+y'_n)]_{E_2}$
[/mm]
Ehrlich gesagt kommt mir das gerade ein wenig falsch vor. Ich denke ich ignoriere ein wenig, dass es sich hier um Äquivalenzklassen handelt, aber ich wüsste dann auch nicht was ich falsch bzw. wie ich es besser machen könnte.
Über Hilfe freue ich mich.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Di 06.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Definiere auf der Relation [mm]E_2[/mm] die Addition wie folgt:
>
> [mm][(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}+[(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}) \in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n[/mm]
> Nullfolge
Die Aufgabenstellung ist sicher unvollständig, denn die Definition, von der da die Rede ist, ist doch noch gar keine. Sicherlich steht da
$ [mm] [(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}+[(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}= [(x_n+y_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2} [/mm] $
Du meinst bestimmt das Richtige, schreibst es aber sehr unglücklich (das heißt "falsch") auf. Ich wähle als Beispiel mal die Zeile
> $ [mm] (x'_n+y'_n)-(x_n+y_n) [/mm] $ Nullfolge [mm] $\in E_2 \Leftrightarrow [/mm] $ $ [mm] [(x_n+y_n,x'_n+y'_n)]_{E_2} [/mm] $
Wenn das erste ein Satz sein soll, so fehlt ihm das Verb, also besser $ [mm] (x'_n+y'_n)-(x_n+y_n) [/mm] $ ist eine Nullfolge.
Dann kommt [mm] \in E_2 [/mm] . Das ist nicht richtig, denn [mm] E_2 [/mm] enthält keine Folgen, sondern Paare von Folgen.
Dann kommt ein Äquivalezpfeil, der zwischen Aussagen stehen kann, rechts davon steht aber gar keine Aussage.
> also um die Wohldefiniertheit zu zeigen muss ich ja zeigen, dass die
> Addition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.
Genau das ist zu tun.
Nimm dir also zwei Folgen a und b aus [mm] [x]_E_2 \; [/mm] (zur Not kannst du auch x statt a und x' statt b schreiben, aber ich finde das so klarer) sowie u und v aus [mm] [y]_E_2 [/mm] her und zeige, dass [mm] [a]_E_2+[u]_E_2=[b]_E_2+[v]_E_2 [/mm] ist.
Benutze dazu die oben vervollständigte Definition der Addition von Äquivalenzklassen und mache insbesondere deutlich, an welcher Stelle des Beweises du Grenzwertsätze benutzt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 06.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, da ist mir oben die hälfte der Definition verloren gegangen, weiß auch nicht wie mir das passiert ist...
Du hast sie natürlich richtig ergänzt.
Zweiter Versuch:
Seien [mm] $a_n, b_n\in[x_n]_{E_2}$ [/mm] und [mm] $u_n, v_n\in[y_n]_{E_2}$
[/mm]
Dann ist [mm] $(a_n, u_n)_{E_2}\Leftrightarrow u_n-a_n$ [/mm] ist eine Nullfolge
und
[mm] $(b_n, v_n)_{E_2}\Leftrightarrow v_n-b_n$ [/mm] ist eine Nullfolge
Nach den Grenzwertsätzen ist dann auch
[mm] $u_n-a_n+b_n-v_n$ [/mm] eine Nullfolge, also
[mm] $u_n+b_n-(a_n+v_n)$ [/mm] ebenfalls eine Nullfolge, was gleichbedeutend mit
[mm] $(a_n+v_n,b_n+u_n)\in E_2$ [/mm] ist.
Die Addition ist somit Wohldefiniert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 06.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Zweiter Versuch:
>
gleich kommt der dritte, wenn du nämlich erkannt haben wirst, dass
> Seien [mm]a_n, b_n\in[x_n]_{E_2}[/mm] und [mm]u_n, v_n\in[y_n]_{E_2}[/mm]
>
> Dann ist [mm](a_n, u_n)_{E_2}\Leftrightarrow u_n-a_n[/mm] ist eine
> Nullfolge
Unsinn ist.
[mm]a_n, b_n\in[x_n]_{E_2}[/mm] impliziert vielmehr, dass [mm] (a_n-x_n) [/mm] und auch [mm] (b_n-x_n) [/mm] Nullfolgen sind und somit auch [mm] (a_n-b_n) [/mm] eine Nullfolge ist und daher [mm] (a_n,b_n)\in E_2 [/mm] gilt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 06.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Aber dann reicht es doch nicht einfach zwei Folgen aus [mm] $[x_n]_{E_2}$ [/mm] und [mm] $[y_n]_{E_2}$
[/mm]
zu nehmen, die Folgen müssen doch auch gleich sein.
Also [mm] $a_n=b_n$ [/mm]
[mm] $u_n=v_n$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Di 06.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Aber dann reicht es doch nicht einfach zwei Folgen aus
> [mm][x_n]_{E_2}[/mm] und [mm][y_n]_{E_2}[/mm]
>
> zu nehmen, die Folgen müssen doch auch gleich sein.
>
> Also [mm]a_n=b_n[/mm]
> [mm]u_n=v_n[/mm]
nein.
[mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] müssen nicht gleich sein, sondern äquivalent (bzgl. der Äquivalenzrelation [mm] E_2), [/mm] d.h. sie müssen in derselben Äquivalenzklasse liegen (nämlich in derjenigen, in der [mm] (x_n) [/mm] liegt).
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 06.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, okay. Aber irgendwie bin ich gerade verwirrt. Ich weiß zwar was ich zeigen soll, aber irgendwie nicht wie.
War die Vorgehensweise oben denn vom Ansatz her korrekt?
Für einen dritten Versuch reicht es gerade nicht. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Di 06.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
um zu zeigen, dass aus [mm] a_n\equiv b_n [/mm] und [mm] u_n\equiv v_n [/mm] die Gleichheit [mm] [a_n]+[u_n]=[b_n]+[v_n] [/mm] folgt, sind die drei Gleichheitszeichen in
[mm] [a_n]+[u_n]=[a_n+u_n]=[b_n+v_n]=[b_n]+[v_n] [/mm] zu begründen.
Das erste und das dritte ergeben sich einfach aus der Definition der Addition von Äquivalenzklassen.
Für das zweite hast du schon die richtige Idee gehabt.
[mm] [a_n+u_n]=[b_n+v_n]
[/mm]
[mm] \gdw (a_n+u_n)_n-(b_n+v_n)_n [/mm] ist Nullfolge (Definition der Äquivalenzklassen)
[mm] \gdw (a_n+u_n-b_n-v_n)_n [/mm] ist Nullfolge (Definition der Addition von Folgen)
[mm] \gdw (a_n-b_n+u_n-v_n)_n [/mm] ist Nullfolge
Die letzte Aussage folgt nun aus der Tatsache, dass nach Voraussetzung [mm] (a_n-b_n)_n [/mm] und [mm] (u_n-v_n)_n [/mm] Nullfolgen sind und dass gemäß Grenzwertdatz die Summe von Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist.
Weil die vierte Zeile richtig ist, ist auch die erste Zeile richtig und die Behauptung somit bewiesen.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Di 06.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah okay, vielen Dank.
Ich glaube ich habe mich ein wenig von den Äquivalenzklassen verwirren lassen und diese nicht so wirklich beachtet.
Aber deine Erklärung habe ich nachvollzogen.
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