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Wohldefiniertheit, Relation: Äquivalenzrelation
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Di 29.04.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Definiere [mm] $E\subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ [/mm] durch: [mm] $(x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Z}$ [/mm] für [mm] $x,y\in\mathbb{R}$. [/mm]

Für [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] sei sei [mm] $[x]_E=\{y\in\mathbb{R}: (y,x)\in E\}$. [/mm]
Für [mm] $x,y\in\mathbb{R}$ [/mm] sei [mm] $[x]_E+[y]_E=[x+y]_E$. [/mm]

Zeige, dass [mm] $[x]_E+[y]_E$ [/mm] wohldefiniert ist.

Hi,

ich habe gerade ein kleines Problem mit dieser Aufgabe, weil ich nicht genau weiß wie nun [mm] [x]_E [/mm] aussieht. Ich finde das irgendwie ein wenig eigenartig wie man es als Menge aufschreibt, habe also ein Problem mit der Aufgabenstellung.

Das $E$ eine Äquivalenzrelation ist, habe ich bereits gezeigt.
Nun ist

[mm] [x]_E=\{y\in\mathbb{R}: (y,x)\in E\}$ [/mm]

Heißt das einfach, dass [mm] $y-x\in\mathbb{Z}$ [/mm] ist?

In der Vorlesung hatten wir [mm] $[...]_E$ [/mm] als Quotienten definiert. Zum Beispiel [mm] $\mathbb{Z}/5$, [/mm] woher denke ich auch meine Verwirrung stammt.
Ich kann gerade nicht mit gewissheit sagen wie ich nun mit [mm] $[x]_E$ [/mm] umzugehen habe.

Könnte das vielleicht jemand für mich erläutern, was nun [mm] $[x]_E$ [/mm] genau meint?
Wie ich dann die Wohldefiniertheit zeige ist mir denke ich klar. Ich zeige einfach, dass

[mm] $[x]_E+[y]_E=[x+y]_E$ [/mm]

unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.

Vielen Dank.

        
Bezug
Wohldefiniertheit, Relation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Di 29.04.2014
Autor: fred97


> Definiere [mm]E\subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}[/mm] durch:
> [mm](x,y)\in E\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Z}[/mm] für
> [mm]x,y\in\mathbb{R}[/mm].
>  
> Für [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] sei sei [mm][x]_E=\{y\in\mathbb{R}: (y,x)\in E\}[/mm].
>  
> Für [mm]x,y\in\mathbb{R}[/mm] sei [mm][x]_E+[y]_E=[x+y]_E[/mm].
>  
> Zeige, dass [mm][x]_E+[y]_E[/mm] wohldefiniert ist.
>  Hi,
>  
> ich habe gerade ein kleines Problem mit dieser Aufgabe,
> weil ich nicht genau weiß wie nun [mm][x]_E[/mm] aussieht. Ich
> finde das irgendwie ein wenig eigenartig wie man es als
> Menge aufschreibt, habe also ein Problem mit der
> Aufgabenstellung.
>  
> Das [mm]E[/mm] eine Äquivalenzrelation ist, habe ich bereits
> gezeigt.
> Nun ist
>  
> [mm][x]_E=\{y\in\mathbb{R}: (y,x)\in E\}$[/mm]
>  
> Heißt das einfach, dass [mm]y-x\in\mathbb{Z}[/mm] ist?

Ja, es ist

[mm][x]_E=\{y\in\mathbb{R}:y-x \in \IZ\}$[/mm].


>  
> In der Vorlesung hatten wir [mm][...]_E[/mm] als Quotienten
> definiert. Zum Beispiel [mm]\mathbb{Z}/5[/mm], woher denke ich auch
> meine Verwirrung stammt.
> Ich kann gerade nicht mit gewissheit sagen wie ich nun mit
> [mm][x]_E[/mm] umzugehen habe.

[mm][x]_E[/mm] ist eine Menge. Für 2 solche Mengen wurde def.:



$ [mm] [x]_E+[y]_E=[x+y]_E [/mm] $

>  
> Könnte das vielleicht jemand für mich erläutern, was nun
> [mm][x]_E[/mm] genau meint?
>  Wie ich dann die Wohldefiniertheit zeige ist mir denke ich
> klar. Ich zeige einfach, dass
>  
> [mm][x]_E+[y]_E=[x+y]_E[/mm]
>  
> unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.

So ist es.

FRED

>  
> Vielen Dank.


Bezug
                
Bezug
Wohldefiniertheit, Relation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Di 29.04.2014
Autor: YuSul

Okay, also im Grunde die "einfachste" Art wie man [mm] [x]_E [/mm] in diesem Zusammenhang interpretieren kann. Wie gesagt war ich etwas verwirrt, weil wir in der Vorlesung die selbe Schreibweise erstmal für das teilen mit Rest eingeführt hatten.

Zu der Wohldefiniertheit:

Ich hätte es nun so gemacht:

[mm] $(x,x')\in [/mm] E$ und $(y, [mm] y')\in [/mm] E$

[mm] $\Rightarrow (x-x')\in\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $(y-y')\in\mathbb{Z}$ [/mm]

Somit auch

[mm] $(x-x')+(y-y')\in\mathbb{Z}$ [/mm] wegen der Abgeschlossenheit der ganzen Zahlen bezüglich der Addition.

[mm] $\Rightarrow (x+y)-(y'+x')\in\mathbb{Z}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow (x+y,y'+x')\in [/mm] E$

Also ist

[mm] $[x]_E+[y]_E=[x+y]_E$ [/mm]

wohldefiniert.

Würde das so passen?

Bezug
                        
Bezug
Wohldefiniertheit, Relation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Di 29.04.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

> Zu der Wohldefiniertheit:
>  
> Ich hätte es nun so gemacht:

seien x,x', y, [mm] y'\in \IR [/mm] mit [x]=[x'] und [y]=[y']

Dann ist

>  
> [mm](x,x')\in E[/mm] und [mm](y, y')\in E[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow (x-x')\in\mathbb{Z}[/mm] und [mm](y-y')\in\mathbb{Z}[/mm]

Es ist  folglich

(x+y)-(x'+y')=
  

> [mm](x-x')+(y-y')\in\mathbb{Z}[/mm] wegen der Abgeschlossenheit der
> ganzen Zahlen bezüglich der Addition.

> [mm]\Rightarrow (x+y,y'+x')\in E[/mm],

und somit [x+y]=[x'+y'].

>  
> Also ist
>  
> [mm][x]_E+[y]_E=[x+y]_E[/mm]
>  
> wohldefiniert.
>  
> Würde das so passen?

Ja.

LG Angela




Bezug
                                
Bezug
Wohldefiniertheit, Relation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Di 29.04.2014
Autor: YuSul

Vielen Dank euch zwei.

:-)

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