Wsl summe augen >100 mind 0.9 < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 So 30.11.2014 | | Autor: | fxk14i |
| Aufgabe | | Wie oft muss man würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen größer als 100 ist, mindestens 0.9 beträgt? |
Hallo,
nach meiner Suche fand ich zwar einen ziemlich ähnlichen Beitrag , allerdings hat mir dieser nicht wirklich weitergeholfen, da die erklärte Lösung sowieso mein Ansatz war, also muss sich irgenwo bei mir ein Fehler eingeschlichen haben.
Mein Ansatz:
Nach dem Zentralen Grenzwertsatz, ist ja der Erwartungswert von [mm] $\mathbb{E}(S_n) [/mm] = [mm] n*\mu$, [/mm] wobei [mm] $S_n=X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n$ [/mm] und $ [mm] \mu [/mm] = [mm] \mathbb{E}(X_1) [/mm] = [mm] \mathbb{E}(X_2)=\ldots$ [/mm]
also im Falle des Würfels [mm] $\mathbb{E}(S_n) [/mm] = [mm] \mu [/mm] = [mm] 3.5\cdot [/mm] n$
Die Variant dementsprechend [mm] $\mathbb{V}(S_n) [/mm] = [mm] \sigma^2 [/mm] = 2.916 [mm] \cdot [/mm] n$
Nun suche ich:
[mm] \mathbb{P}(S_n > 100) = 1 - \mathbb{P}(S_n <= 100) = 1 - \Phi\left( \dfrac{x - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \right)= 1 - \Phi\left( \dfrac{100 - 3.5n}{\sqrt{2.916n}} \right) = 0.9 \text{ = Wahrscheinlichkeit fürs eintreten} [/mm]
[mm] \Phi\left( \dfrac{100 - 3.5n}{\sqrt{2.916n}} \right) = 0.1[/mm]
Das passiert laut ![[]](/images/popup.gif) Tabelle genau bei [mm] $\Phi(-1.285)$
[/mm]
Setze ich nun den inneren Teil gleich $-1.285$ führt mich das auf $n = 8.84$
Das kann aber nicht stimmen, da das Ergebnis ziemlcih sicher zwischen [mm] $\lceil [/mm] 100/6 [mm] \rceil [/mm] = 17$ und $100 / 3.5 [mm] \approx [/mm] 29$ liegt
Ich hoffe jemand kann mir einen Tipp geben, was ich falsch gemacht habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 So 30.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wie oft muss man würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit,
> dass die Summe der Augenzahlen größer als 100 ist,
> mindestens 0.9 beträgt?
> Hallo,
> nach meiner Suche fand ich zwar einen
> ziemlich ähnlichen Beitrag
> , allerdings hat mir dieser nicht wirklich weitergeholfen,
> da die erklärte Lösung sowieso mein Ansatz war, also muss
> sich irgenwo bei mir ein Fehler eingeschlichen haben.
>
> Mein Ansatz:
> Nach dem Zentralen Grenzwertsatz, ist ja der
> Erwartungswert von [mm]\mathbb{E}(S_n) = n*\mu[/mm], wobei [mm]S_n=X_1 + X_2 + \ldots + X_n[/mm]
> und [mm]\mu = \mathbb{E}(X_1) = \mathbb{E}(X_2)=\ldots[/mm]
> also im Falle des Würfels [mm]\mathbb{E}(S_n) = \mu = 3.5\cdot n[/mm]
>
> Die Variant dementsprechend [mm]\mathbb{V}(S_n) = \sigma^2 = 2.916 \cdot n[/mm]
>
> Nun suche ich:
> [mm]\mathbb{P}(S_n > 100) = 1 - \mathbb{P}(S_n <= 100) = 1 - \Phi\left( \dfrac{x - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \right)= 1 - \Phi\left( \dfrac{100 - 3.5n}{\sqrt{2.916n}} \right) = 0.9 \text{ = Wahrscheinlichkeit fürs eintreten}[/mm]
>
> [mm]\Phi\left( \dfrac{100 - 3.5n}{\sqrt{2.916n}} \right) = 0.1[/mm]
>
> Das passiert laut
> Tabelle
> genau bei [mm]\Phi(-1.285)[/mm]
> Setze ich nun den inneren Teil gleich [mm]-1.285[/mm] führt mich
> das auf [mm]n = 8.84[/mm]
Ob diese Werte stimmen, habe ich nicht nachgerechnet, aber
[mm] \frac{100-3,5n}{\sqrt{2,916n}}=-1,285
[/mm]
führt mich nicht zu deiner Lösung [mm] n\approx8,84
[/mm]
Du hast:
[mm] \frac{100-3,5n}{\sqrt{2,916n}}=-1,285
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 3,5n-100=1,285\cdot\sqrt{2,916n}
[/mm]
Quadrieren, beachte, dass ist keine Äquivalenzumformung
[mm] 12,25n^{2}-700n+10.000=4,815n
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow n^{2}-57,536n+816,327=0
[/mm]
Die Lösungsformel führt zu [mm] n_{1}\approx25,41 [/mm] und [mm] n_{2}\approx32,13
[/mm]
>
> Das kann aber nicht stimmen, da das Ergebnis ziemlcih
> sicher zwischen [mm]\lceil 100/6 \rceil = 17[/mm] und [mm]100 / 3.5 \approx 29[/mm]
> liegt
Dann passen die Ergebnisse von oben ja.
>
> Ich hoffe jemand kann mir einen Tipp geben, was ich falsch
> gemacht habe.
Du hast irgendwo falsch umgeformt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 So 30.11.2014 | | Autor: | fxk14i |
Vielen Dank, ich hab meinen blöden Fehler gefunden, ich hab einmal nicht den Taschenrtechner verwendet und [mm] 100^2 [/mm] falsch im im Kopf gerechnet, sehr ärgerlich
Da ich hier neu bin, wie kann ich die Frage auf beantwortet setzen?
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