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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:28 Mo 08/10/2018
Author: Stefan92

Aufgabe
1) Geben sie die Erwartungswert und Verteilungsfuntion von x an.
2) Welche Summe müsste bei ansonsten gleichen Bedingungen beim Wurf einer 6 ausbezahlt werden, damit das Spiel gerecht, der Erwartungswert also null ist ?

Hallo hat eine Aufgabe nur Teilweise gelöst und hoffe auf Hilfe.

Im einem Casino wird ein Würfelspiel gespielt. Einsatz ist 2 Euro.
mit einer 6 bekommt man 4 euro ausbezahlt.
               5 bekommt man 3 euro ausbezahlt.
               4 bekommt man 0euro ausbezahlt.
               3 bekommt man 0 euro ausbezahlt.
               2 bekommt man 0 euro ausbezahlt.
               1 bekommt noch ein versuch zu würfeln.
gehe davon aus das 2 euro beim Einsatz sein Verlust ist also alle ausbezahlten betrage minus zwei euro.

mit dem hab ich gerechnet.
               6 bekommt man 2 euro ausbezahlt.
               5 bekommt man 1 euro ausbezahlt.
               4 bekommt man -2 euro Verlust.
               3 bekommt man -2 euro Verlust..
               2 bekommt man -2 euro Verlust.
               1 bekommt noch ein versuch zu würfeln

Meine Erfahrungswert E= [mm] \bruch{1}{6}*(2)+ \bruch{1}{6}*(1)+ \bruch{1}{6}*(-2)+ \bruch{1}{6}*(-2)+ \bruch{1}{6}*(-2) \bruch{1}{6}(\bruch{1}{6}*(2)+ \bruch{1}{6}*(1)+ \bruch{1}{6}*(-2)+ \bruch{1}{6}*(-2)+ \bruch{1}{6}*(-2) \bruch{1}{6}*0) [/mm]

so ergib es -0,58 Verlust also ein unfaires spiel.

welcher betrag müsste dan für Würfel 6 ausbezahlt werden damit die summe 0 ergibt.
das habe ich auch gelöst habe Würfel 6 betrag x gesetzt und umgeformt bis auf
[mm] \bruch{7*(x-5)}{36} [/mm]

also um auf 0 zu kommen müsste man den betrag 5 euro gewinnen wenn man eine 6 würfelt.


Jetzt kommt aber meine Frage wie gebe ich Verteilungsfuntion von X an ?
hab ich in der form noch nirgend gesehen.

danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
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Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:18 Di 09/10/2018
Author: luis52

Moin Stefan, leider kann ich deine Rechnungen nicht nachvollziehen, meine aber herauszulesen, dass du mit einer falschen Verteilung arbeitest:  Anscheinend berechnest du die Wsk fuer einen Gewinn 2 Euro mit $1/6$.  Das ist aber nicht korrekt, denn man gewinnt auch 2 Euro, wenn man im ersten Wurf eine Eins wuerfelt und im zweiten eine Sechs oder in den ersten beiden Wuerfen lauter Einsen und im dritten eine Sechs usw.  Fuer die Wsk dieses "zusammengefassten Ereignisses" berechne *ich* $1/5$ ...


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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:48 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

danke für die schnelle Reaktion.
Bin aber Fest der Meinung das Wenn man ein Würfel mit 6 Seiten hast also ein Standart Würfel in wirft hatt man ja eine chance von 1/6 hab sogar eine Ähnliche aufgäbe gesehen
da wird Verteilung und Erwartungswert in einer Tabelle eingetragen genau so mit gewinn und Verlust mit der Chance von 1/6 man hat ja die gleiche Chance eine 1 zu bekommen genau so wie eine 6 oder sei es 2,3,4 und 5.

und bei der aufgäbe Heist es ja wenn man eine 1 würfelt das man nochmal ein versuch hat zu würfeln.

das Heist das wenn ich gluck habe also 1 zu 6 (1/6) ich eine 1 Würfel und dan die Möglichkeit habe ein Würfel zu werfen was wiederum 6 Seiten hat ein Standartwürfel von 1 bis 6 nur das diesmal bei 1 einfach abgebrochen wird das spiel also kein dritten versuch.

kann deswegen 1/5 nicht ganz nachvollziehen.

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Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:52 Di 09/10/2018
Author: luis52

Ich verstehe die Aufgabe so, dass so lange gewuerfelt wird, bis eine 2,3,4,5 oder 6 erscheint. Also macht $1/5$ m.M. intuitiv Sinn.

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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:17 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

also die aufgäbe lautet :

Im casino wird ein einfaches Würfelspiel gespielt: Für einen Einsatz von 2 € darf man mit einem Standardwürfel einmal würfeln. Beim Wurf einer 6 bekommt man 4 € ausgezahlt, beim Wurf einer 5 erhält man 3 €. Beim Wurf einer 2, 3 oder 4 geht man leer aus. Wirft man eine 1, darf man kostenlos noch einmal würfeln, danach ist auf jeden Fall Schluss, auch wenn man noch einmal eine 1 würfelt.

Baumdiagramm gezeichnet wenn das hochladen klappt [a]Datei-Anhang

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Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:43 Di 09/10/2018
Author: luis52

Okay, bezeichne $Y$ die erzielte Augenzahl. Sie nimmt die Werte $1,2,3,4,5,6$ an. Dann gilt beispielsweise [mm] $P(Y=6)=P(\text{Sechs im ersten Wurf}\cup(\text{Eins im ersten Wurf}\cap\text{Sechs im zweiten Wurf}))=1/6+(1/6)\cdot(1/6)=7/36$ [/mm] usw.

Was wird ausgezahlt, wenn in beiden Wuerfen eine Eins erscheint?



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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:52 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

mhhh also beim ersten würfe eine 1 ist ja ein neuer versuch also keine Auszahlung würfelt er aber noch mal eine 1 wird das spiel gestoppt also gar keine Auszahlung somit hat er eine Verlust von seinem Einsatz also zwei euro.

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Würfel Erwartungswert: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Date: 11:09 Di 09/10/2018
Author: luis52


> mhhh also beim ersten würfe eine 1 ist ja ein neuer
> versuch also keine Auszahlung würfelt er aber noch mal
> eine 1 wird das spiel gestoppt also gar keine Auszahlung
> somit hat er eine Verlust von seinem Einsatz also zwei
> euro.

Also ist [mm] $\operatorname{E}[\text{Gewinn}]=2\cdot [/mm] (7/36) [mm] +\dots$ [/mm]


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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:45 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

genau wenn ich [mm] \bruch{7}{36}*2+\bruch{7}{36}*1+\bruch{7}{36}*-2+\bruch{7}{36}*-2+\bruch{7}{36}*-2 [/mm] Komme ich auf - 0,58

Genau das selbe Ergebnis bekomme ich mit der Langen form.

[mm] \bruch{1}{6}\cdot{}(2)+ \bruch{1}{6}\cdot{}(1)+ \bruch{1}{6}\cdot{}(-2)+ \bruch{1}{6}\cdot{}(-2)+ \bruch{1}{6}\cdot{}(-2) \bruch{1}{6}(\bruch{1}{6}\cdot{}(2)+ \bruch{1}{6}\cdot{}(1)+ \bruch{1}{6}\cdot{}(-2)+ \bruch{1}{6}\cdot{}(-2)+ \bruch{1}{6}\cdot{}(-2) \bruch{1}{6}\cdot{}0) [/mm] Ergebnis = -0,58

Dan sind wir schon mal der selben Meinung =)
Dan habe ich den Sechsten Würfel den Gewinn gegen X getauscht und umgestellt.
Damit ich Rausfinden kann welchen Betrag er gewinnen muss wenn er Sechs würfelt damit die Summe 0 ergibt also ein Spiel ohne Verlust. Aufgabe 2)

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Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:13 Di 09/10/2018
Author: luis52


> genau wenn ich
> [mm]\bruch{7}{36}*2+\bruch{7}{36}*1+\bruch{7}{36}*-2+\bruch{7}{36}*-2+\bruch{7}{36}*-2[/mm]
> Komme ich auf - 0,58

>  
> Dan sind wir schon mal der selben Meinung =)

Fast:

$ [mm] \bruch{7}{36}\cdot{}2+\bruch{7}{36}\cdot{}1+\bruch{7}{36}\cdot{}(-2)+\bruch{7}{36}\cdot{}(-2)+\bruch{7}{36}\cdot{}(-2) \red{+\bruch{1}{36}\cdot{}(-2)}$. [/mm]



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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:20 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

Ok fast.

dann hab ich dort irgendwo ein Denkfehler weil mir  [mm] \red{+\bruch{1}{36}\cdot{}(-2)} [/mm] Fehlt und ich genau nicht weis woher das herkommt ?? kann sein das der Teil vom zweiten Würfel kommt ?

$ [mm] \bruch{7}{36}\cdot{}2+\bruch{7}{36}\cdot{}1+\bruch{7}{36}\cdot{}(-2)+\bruch{7}{36}\cdot{}(-2)+\bruch{7}{36}\cdot{}(-2) \red{+\bruch{1}{36}\cdot{}(-2)} [/mm] $.

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Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:32 Di 09/10/2018
Author: luis52

Es gibt sechs Ausgaenge des Experiments.  In deinem Baumdiagramm musst du noch die Verzweigung 1 - 1 - Stop beruecksichtigen.  Dieser Pfad realisiert sich mit der Wsk $1/36$.  Bedenke:  die fuenf anderen Pfade realisieren sich jeweils mit $7/36$, und [mm] $5\cdot7/36+1/36=1$, [/mm] so wie es sein muss.


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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:50 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

Ah ok verstehe jetzt die Aufteilung.
die -2 in dem teil

[mm] \red{+\bruch{1}{36}\cdot{}(-2)} [/mm]

das Resultiert das er sein Einsatz verliert wenn er einmal eine Eins würfelt und noch mal eine Eins würfelt somit verliert er sein Einsatz was 2 Euro waren.


mhhh hab aber ja die 2 euro abgezogen schon ja von Anfang an ?

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Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:12 Di 09/10/2018
Author: luis52

Ich zitiere mal von oben:

mit dem hab ich gerechnet.
               6 bekommt man 2 euro ausbezahlt.
               5 bekommt man 1 euro ausbezahlt.
               4 bekommt man -2 euro Verlust.
               3 bekommt man -2 euro Verlust..
               2 bekommt man -2 euro Verlust.
               1 bekommt noch ein versuch zu würfeln

Das muss wohl korrigiert  heissen:

               6 im ersten oder 1 im ersten und 6 im zweiten: $+2$ euro.
               5 im ersten oder 1 im ersten und 5 im zweiten: $+1$ euro.  
               4,3,2,1 im ersten oder 1 im ersten und 4,3,2,1 im zweiten: $-2$ euro.    

Oder missverstehe ich die Aufgabe noch immer?
                

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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:26 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

Das muss wohl korrigiert  heissen:

               6 im ersten oder 1 im ersten und 6 im zweiten: $ +2 $ euro.
               5 im ersten oder 1 im ersten und 5 im zweiten: $ +1 $ euro.  
               4,3,2,1 im ersten oder 1 im ersten und 4,3,2,1 im zweiten: $ -2 $ euro.  

               6 im ersten oder 1 im ersten und 6 im zweiten: $ +2 $ euro.
               5 im ersten oder 1 im ersten und 5 im zweiten: $ +1 $ euro.
ja

     4,3,2,1 im ersten oder 1 im ersten und 4,3,2,1 im zweiten: $ -2 $ euro.

da meine ich wenn man 4,3,2 würfelt heißt -2 bei Ersten mal, wird nochmal gewürfelt
bei zweiten Wurf 4,3,2 ist -2 aber bei 1 stoppt das spiel da wird nix abgezogen.

Ich schicke ein Bild von der Tabelle
[a]Datei-Anhang


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Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:36 Di 09/10/2018
Author: luis52

Stefan, das musst du etwas deutlicher machen. Es bedeutet also, dass der Spieler seinen Einsatz zurueckbekommt, wenn er im ersten und im zweiten Wurf eine Eins wirft. Das steht nicht in deinem ersten Posting ...

Dann stimmt der von dir berechnete Erwartungswert. Und du hast auch die gesuchte Verteilung.

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:50 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

die Tabelle ist schon der Verlust eingerechnet. Sein Einsatz war ja 2 euro sonst wäre der Gewinn bei 1 Wurf 6er 4 euro 5er 3 euro 4.3.2 wäre dan 0 und 1er nochmalwürfeln und beim zweiten Wurf dan das selbe 6er 4 euro 5er 3 euro 4.3.2 wäre dan 0 und 1er stop.

Also ich habe schon in der Tabelle sein Einsatz abgezogen. vielleicht steck da ja unser Missverständnis.

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Bezug
Würfel Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:04 Di 09/10/2018
Author: luis52



> Also ich habe schon in der Tabelle sein Einsatz abgezogen.
> vielleicht steck da ja unser Missverständnis.

So wird es sein.

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:15 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

dan wird es schon stimmen das erste Ergebnis was ich hatte ohne den

[mm] \bruch{1}{6}*(-2) [/mm]

somit stimmt dan auch laut meiner Meinung  [mm] \bruch{7(x-5)}{36} [/mm] mit X wenn man gewinn 2 ersetzt.

[mm] \bruch{7}{36}\cdot{}2+\bruch{7}{36}\cdot{}1+\bruch{7}{36}\cdot{}(-2)+\bruch{7}{36}\cdot{}(-2)+\bruch{7}{36}\cdot{}(-2) [/mm]

somit stimmt dann mein X wenn ich in X wert 5 einsetze so das 0 rauskommt. danke für die Zeit. aber jetzt hab ich ja noch die frage offen wie gehe ich dann mit Verteilungsfuntion von X um soll ich ein X,Y Achse zeichnen wo ich es dann versuche einzutragen ?

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Bezug
Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:39 Di 09/10/2018
Author: luis52


>  aber jetzt hab ich ja
> noch die frage offen wie gehe ich dann mit
> Verteilungsfuntion von X um soll ich ein X,Y Achse zeichnen
> wo ich es dann versuche einzutragen ?

Orientiere dich z.B. []hier  an der Zeichnung auf Seite 26 rechts unten.

Es gibt vier Sprungstellen. Die erste liegt in $-2$ und hat die Hoehe [mm] $3\cdot7/36=21/36$. [/mm] Die zweite bei $0$ und hat die Hoehe $1/36+21/36$ usw.


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Würfel Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:50 Di 09/10/2018
Author: Stefan92

ok passt werde mich damit beschäftigen fals ich frage dazu habe werde ich mich melden. danke

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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:30 Mi 10/10/2018
Author: Stefan92

puh ich habe da mal was gezeichnet aber ganz verstehen tue ich das nicht ... auch mit der Seite 26 komm ich nicht zurecht :O

[a]Datei-Anhang

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Bezug
Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:15 Do 11/10/2018
Author: luis52

Puh, das sieht ja grauslig aus. Es ist

[mm] F(x)=P(X\le x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x < -2 \\ \dfrac{21}{36}, & \mbox{falls } -2\le x < 0 \\[1ex] \dfrac{22}{36}, & \mbox{falls } 0\le x < 1 \\[1ex] \dfrac{29}{36}, & \mbox{falls } 1\le x < 2 \\[1ex] 1, & \mbox{falls } 2\le x. \\ \end{cases} [/mm]

So, nun zeichne das mal bitte.
      

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Würfel Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:48 Do 11/10/2018
Author: Stefan92

ahhh ok jetzt hab ich auch verstanden wie die einzelnen Sprünge entstehen.
Hab mal meine Zeichnung überarbeitet.
Ich hoffe das passt jetzt so. danke

[a]Datei-Anhang

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Attachment # 1 (Type: png) [nicht öffentlich]
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Bezug
Würfel Erwartungswert: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:14 Do 11/10/2018
Author: luis52


> Hab mal meine Zeichnung überarbeitet.
>  Ich hoffe das passt jetzt so. danke
>  

[ok]

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Bezug
Würfel Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:22 Do 11/10/2018
Author: Stefan92

ich versuche mal Wenn wir die Dichte einer diskreten Zufallsvariablen haben, können wir leicht die Verteilungsfunktion berechnen laut der Definition.

Dichte von -2  (2,3,4) Euro wäre dan 3x [mm] \bruch{7}{36}=\bruch{21}{36} [/mm]
Dichte von   0  (1)       Euro wäre dann     [mm] \bruch{1}{36} [/mm]
Dichte von +1  (5)       Euro wäre dann     [mm] \bruch{7}{36} [/mm]
Dichte von +2  (6)       Euro wäre dann     [mm] \bruch{7}{36} [/mm]

[mm] ℙ(X≤....)=F(2,3,4)=f(2)+f(3)+f(4)=\bruch{21}{36} [/mm]
ℙ(X≤....)=F(1)=f(1)= [mm] \bruch{1}{36} [/mm]
ℙ(X≤....)=F(5)=f(5)= [mm] \bruch{7}{36} [/mm]
ℙ(X≤....)=F(6)=f(6)= [mm] \bruch{7}{36} [/mm]

????

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