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Würfel"glück": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 Fr 26.02.2016
Autor: Agende

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine letzte Mathepraxis ist lange her und es will nichts wieder in meinen Sinn kommen. Ich hoffe ich bin im richtigen Thread und komme nicht mit einer schon tausend mal gestellten Frage. Bitte um Nachsicht, da für Könner sehr wahrscheinlich Pippifax:

Würfel von 1-6 Augen, ungezinkt. 1. Wurf mit 3 Würfel, 2. Wurf mit 2 Würfel. Beim 1. Wurf müssen 1en oder 2en gewürfelt werden. Beim 2. Wurf müssen 1en, 2en oder 3en gewürfelt werden. Bei welchem Wurf erzielt man mehr "Treffer"

Wurf 1: 2/6 + 2/6 + 2/6 = 1 ?
Wurf 2: 3/6 + 3/6 = 1 ?

Vielen Dank im Voraus


        
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Würfel"glück": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Fr 26.02.2016
Autor: huddel

Hallo Agende und herzlich willkommen im Forum :)

Vorweg:
Es wäre gut, wenn du manches klarer Definierst: Bedeutet "Beim 1. Wurf müssen 1en oder 2en gewürfelt werden." dass ausschließlich 1en und 2en gewürfelt werden dürfen, oder dass einfach nur 1en und 2en vorkommen müssen?

Ich lese aus deiner Rechnung nun, dass diese nur vorkommen müssen und werde meine Antwort darauf beziehen.

Wie du vllt selbst gemerkt hast, ergibt dein Ergebnis nicht so wirklich Sinn.

Wenn wir ein Ereignis $A$ und dessen Gegenereignis [mm] $\bar [/mm] A$ haben dann berechnen sich die Wahrscheinlichkeiten ja wie folgt:

$P(A) = [mm] 1-P(\bar [/mm] A)$

Jetzt meine Frage an dich: Was ist das gegenereignis zu "es müssen 1en oder 2en im Wurf vorkommen", und wie berechnet sich dieses?

LG
Huddel

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Würfel"glück": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Fr 26.02.2016
Autor: HJKweseleit

Ja, schon richtig.

Stell dir vor, du führst 6 mal den 1. Wurf mit 3 Würfeln durch. Dann wird durchschnittlich jeder Würfel 2 Treffer ergeben, und das sind zusammen 6 Treffer.

Führst du 6 mal den 2. Wurf mit 2 Würfeln durch, wird jeder Würfel im Durchschnitt 3 Treffer landen, und das sind zusammen ebenfalls 6 Treffer.

Pro Wurf - egal ob erster oder zweiter - landest du also durchschnittlich einen Treffer. (Die von dir errechnete Zahl 1 ist nicht irgendeine Wahrscheinlichkeit, sondern der Erwartungswert der Treffer.)

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Würfel"glück": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:47 Fr 26.02.2016
Autor: huddel

Ich behaupte das ist nicht der Erwartungswert. Verbessere mich, wenn ich falsch liege:

wir ändern das Experiment ab:
ich betrachte nur den ersten Wurf:
3 Würfel
Es muss mindestens eine 1,2 oder 3 darin vorkommen.
Wir betrachten die Zufallsvariable $X$ die bei jedem Treffer $1$ und sonst $0$ ist

Nach deiner Argumentation müssten also $E(X) = [mm] \frac{3}{6}+\frac{3}{6}+\frac{3}{6} [/mm] = [mm] \frac{3}{2}$ [/mm] sein. mehr als einen Treffer pro Wurf zu machen, ist jedoch nicht möglich.
Das Problem ist, dass du in deiner Betrachtung Treffer doppelt wertest, wenn mehr als eine 1 oder 2 darin vorkommt.

Die formelle Defintion des Erwartungswertes einer Zufallsvariable $X [mm] \colon \Omega \to [/mm] E$ ist (diskreter Fall, reele Zufallsvariable) $E(X) = [mm] \sum_{x\in E} [/mm] xP(X=x)$
Wobei $P(X=x)$ die Wahrscheinlichkeit sein soll, dass $X=x$ ist.

Wir gehen zurück zu dem Ursprünglichen Beispiel:
3 Würfel
Treffer wenn mindestens eine 1 oder 2 vorkommt
$X$ wie oben (1 bei Treffer, 0 sonst)
dann ist

$E(X) = [mm] 1\cdot [/mm] P(X=1) + [mm] 0\cdot [/mm] P(X=0) = P(X=1)$

Zweites Beispiel analog.
Sprich du musst die Wahrscheinlichkeit trotzdem ausrechnen, oder du schreibst dir ein gigantisches Baumdiagramm auf und zählst die Möglchkeiten, sodass $X=1$ ist.

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Würfel"glück": Wieso das denn?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:39 Sa 27.02.2016
Autor: HJKweseleit


> Ich behaupte das ist nicht der Erwartungswert. Verbessere
> mich, wenn ich falsch liege:
>  
> wir ändern das Experiment ab:
>  ich betrachte nur den ersten Wurf:
>  3 Würfel
>  Es muss mindestens eine 1,2 oder 3 darin vorkommen.

[notok]

Beim 1. Wurf nur 1 oder 2 - die 3 kommt erst beim 2. Wurf hinzu



>  Wir betrachten die Zufallsvariable [mm]X[/mm] die bei jedem Treffer
> [mm]1[/mm] und sonst [mm]0[/mm] ist
>  
> Nach deiner Argumentation müssten also [mm]E(X) = \frac{3}{6}+\frac{3}{6}+\frac{3}{6} = \frac{3}{2}[/mm]
> sein. mehr als einen Treffer pro Wurf zu machen, ist jedoch
> nicht möglich.


[notok]

Doch, mit 3 Würfeln kann ich 3 Treffer machen. Wenn jeder Wurf eine 1 hat, habe ich 3 Treffer. So verstehe ich Treffer.




>  Das Problem ist, dass du in deiner Betrachtung Treffer
> doppelt wertest, wenn mehr als eine 1 oder 2 darin
> vorkommt.

Ja, so verstehe ich die Aufgabenstellung. Sonst müsste sie anders formuliert werden. Es heißt: Beim 1. Wurf müssen 1en oder 2en gewürfelt werden. Wann hat man demnach einen Treffer? Du sagst, mindestens ein Würfel muss eine 1 oder 2 haben, genau so gut könntest du aber sagen: jeder Würfel muss eine 1 oder 2 haben. Beides steht da nicht, und deshalb ist für mich jede 1 oder 2 ein Treffer.


>  
> Die formelle Defintion des Erwartungswertes einer
> Zufallsvariable [mm]X \colon \Omega \to E[/mm] ist (diskreter Fall,
> reele Zufallsvariable) [mm]E(X) = \sum_{x\in E} xP(X=x)[/mm]
>  Wobei
> [mm]P(X=x)[/mm] die Wahrscheinlichkeit sein soll, dass [mm]X=x[/mm] ist.
>  
> Wir gehen zurück zu dem Ursprünglichen Beispiel:
>  3 Würfel
>  Treffer wenn mindestens eine 1 oder 2 vorkommt
>  [mm]X[/mm] wie oben (1 bei Treffer, 0 sonst)
>  dann ist
>  
> [mm]E(X) = 1\cdot P(X=1) + 0\cdot P(X=0) = P(X=1)[/mm]
>  
> Zweites Beispiel analog.
>  Sprich du musst die Wahrscheinlichkeit trotzdem
> ausrechnen, oder du schreibst dir ein gigantisches
> Baumdiagramm auf und zählst die Möglchkeiten, sodass [mm]X=1[/mm]
> ist.


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Würfel"glück": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Mo 29.02.2016
Autor: huddel

Okey, Schluss mit den Spekulationen...
Agende, könntest du einen "Treffer" bitte genauer spezifizieren?

Bezug
                                        
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Würfel"glück": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 Mo 29.02.2016
Autor: Agende


> Okey, Schluss mit den Spekulationen...
>  Agende, könntest du einen "Treffer" bitte genauer
> spezifizieren?

Vielen Dank erst mal für die vielen schnellen Antworten.
"Treffer" bedeutet bei Wurf eins, dass eine 1 oder 2 gut sind, wobei das Maximum an Treffern erzielt werden soll, also beide Würfel zeigen einen Wert unter 3 und somit besser als nur eine 1 oder eine 2.
Entsprechend beim zweiten Wurf (1-3).
War das ausreichend?

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Würfel"glück": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:13 Mo 29.02.2016
Autor: huddel

okey, das heißt jede 1 und jede 2 im ersten Wurf wird als Treffer gewertet(?).
Damit nehme ich alles zurück, entschuldige mich bei HJKweseleit für das fälschliche verbessern und schließe mich der meinung der beiden anderen an.

LG
Huddel

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Würfel"glück": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Mo 29.02.2016
Autor: sinnlos123

Der Erwartungswert ist gleich.

Und um das ganze abzurunden:

Er wäre immernoch gleich wenn man beim 1. Versuch 6 Würfel wirft
und beim 2. Versuch 4 Würfel.

Da sieht man nämlich schön, dass der Erwartungswert zwar mit den Chancen in Relation steht, er aber was ganz anderes ausdrückt.

Bezug
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