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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Kuriger |
| Aufgabe | | zwei faire Würfel werden geworfen. Die Würfel, die eine Sechs zeigenn, bleiben liegen, mit den anderen wird ein zweites Mal gewürfelt. Welche Gesamtpunktzahl kann man erwarten? Wie ändert sich das Resultat, wenn man statt der Sechser die Einer behält? |
Also ich versuche es einmal
Folgende Fallunterscheidung könnte man machen
Falle 1, keine Sechs
(also weder eine Sechs im ersten noch zweiten Wurf)
Die Wahrscheinlichkeit für keine Sechs ist: [mm] \bruch{5}{6} [/mm] * [mm] \bruch{5}{6} [/mm] = [mm] \bruch{25}{36}
[/mm]
Die erwartete Augensumme ist dann 6
also [mm] \bruch{25}{36} [/mm] * 6 = 4.167
Falle 2, im ersten Wurf eine Sechs
Dann darf ich kein zweites Mal mehr würfeln... also [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * 6 = 3
Falle 3, im zweiten Wurf eine Sechs, im ersten Wurf keine Sechs
[mm] \bruch{5}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] = [mm] \bruch{5}{36}
[/mm]
Die erwartete Augensumme 9
[mm] \bruch{5}{36} [/mm] * 9 = 1.25
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> zwei faire Würfel werden geworfen. Die Würfel, die eine
> Sechs zeigen, bleiben liegen, mit den anderen wird ein
> zweites Mal gewürfelt. Welche Gesamtpunktzahl kann man
> erwarten? Wie ändert sich das Resultat, wenn man statt der
> Sechser die Einer behält?
Guten Tag !
Um es klar zu stellen: zur Gesamtpunktzahl tragen doch
nur jene zwei Augenzahlen bei, welche am Ende wirklich
liegen bleiben, oder ?
Man kann sich das Ganze zunächst einfach für einen
einzigen Würfel überlegen und dann den Erwartungswert
verdoppeln. Die beiden Würfel werden ja unabhängig
voneinander behandelt.
Zeigt der Würfel im ersten Wurf eine 6 (dies tritt mit
W'keit 1/6) auf, dann ist dies schon das Ergebnis.
In jedem anderen Fall ist der (bedingte) Erwartungswert
einfach 3.5 , wie bei einem einfachen Wurf eines Würfels.
So wird das Ganze doch recht einfach.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich kann dir fast folgen....
Du sagst:
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * 6 + [mm] \bruch{5}{6} [/mm] * 3.5 = 3.917
Dann einfach verdoppeln? ergibt 7.83
Doch ich habe da Verständnisfragen:
- Wieso wird der Fall [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * 6 verdoppelt? Hier darf ich ja kein zweites mal mehr würfeln?
- Der Erwartungswert vom zweiten Fall (keine Sechs) wäre doch 3 (Die Augenzahl 6 kommt ja nicht vor)?
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> Hallo
> Ich kann dir fast folgen....
> Du sagst:
>
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * 6 + [mm]\bruch{5}{6}[/mm] * 3.5 = 3.917
>
> Dann einfach verdoppeln? ergibt 7.83
>
> Doch ich habe da Verständnisfragen:
> - Wieso wird der Fall [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * 6 verdoppelt? Hier
> darf ich ja kein zweites mal mehr würfeln?
Das Verdoppeln steht auch nicht für den (allfälligen)
zweiten Wurf eines Würfels, sondern dafür, dass das
ganze Spiel nicht nur mit einem, sondern mit zwei
Würfeln gespielt wird.
> - Der Erwartungswert vom zweiten Fall (keine Sechs) wäre
> doch 3 (Die Augenzahl 6 kommt ja nicht vor)?
Wenn der erste Wurf eines der Würfel keine 6 war,
so wird dieses erste Ergebnis gleich wieder vergessen;
man würfelt nochmals und betrachtet die neu ge-
würfelte Zahl. Die könnte durchaus auch eine 6 sein !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Kuriger |
Sorry ich muss passen
Erste Würfel eine 5, dann zweiter Würfel eine 4, daraus wird doch die Summe gebildet, also 9?
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Hallo Kuriger,
> Sorry ich muss passen
Warum?
> Erste Würfel eine 5, dann zweiter Würfel eine 4, daraus
> wird doch die Summe gebildet, also 9?
Ja - als Ergebnis des zweiten Wurfs.
Vielleicht ist einfacher, wenn Du Dir die Würfel unterscheidbar denkst, also z.B. einen roten und einen blauen.
Mögliche Ausgänge des 1. Wurfs:
a) beide Würfel zeigen keine Sechs, also nochmal würfeln.
b) roter Würfel Sechs, blauer nicht, blau nochmal würfeln.
c) blauer Würfel Sechs, roter nicht, rot nochmal würfeln.
d) beide Würfel Sechs. Fertig.
Hierzu musst Du nun die Wahrscheinlichkeiten ermitteln. Normalerweise nimmt man b) und c) zusammen, weil sie jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Grüße
reverend
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> Vielleicht ist einfacher, wenn Du Dir die Würfel
> unterscheidbar denkst, also z.B. einen roten und einen
> blauen.
>
> Mögliche Ausgänge des 1. Wurfs:
> a) beide Würfel zeigen keine Sechs, also nochmal
> würfeln.
> b) roter Würfel Sechs, blauer nicht, blau nochmal
> würfeln.
> c) blauer Würfel Sechs, roter nicht, rot nochmal
> würfeln.
> d) beide Würfel Sechs. Fertig.
>
> Hierzu musst Du nun die Wahrscheinlichkeiten ermitteln.
> Normalerweise nimmt man b) und c) zusammen, weil sie
> jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Hallo reverend,
nach meiner Ansicht sollte man einfach von Anfang an
den roten und den blauen Würfel separat betrachten.
Das vereinfacht die Überlegungen, denn man muss
dann gar nicht 4, sondern nur zwei Fälle unterscheiden.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Fr 24.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
das ist eine gute Idee, zumal sich die Aufgabe dann auch leichter auf drei oder mehr Würfel verallgemeinern lässt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Kuriger |
a) beide Würfel zeigen keine Sechs, also nochmal würfeln.
Wahrscheinlichkeit = [mm] \bruch{1}{36}
[/mm]
Erwartungswert? Nach deiner Ansicht müsste es wohl 7 sein?
Erwartungswert: 6.5
Im ersten Wurf ist der Erwartungswert 3 (1,2,3,4,5 die 6 ist ja für diesen Fall nicht zulässig )
zweiten Wurf ist der Erwartungswert 3.5
Wird hier insgesamt 4 mal gewürfelt? (Also mit jedem Würfel 2-mal?)
Dann 2 * 6.5
Ach ich versteh das ganze nicht
b) roter Würfel Sechs, blauer nicht, blau nochmal würfeln.
c) blauer Würfel Sechs, roter nicht, rot nochmal würfeln.
d) beide Würfel Sechs. Fertig.
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> a) beide Würfel zeigen keine Sechs, also nochmal würfeln.
> Wahrscheinlichkeit = [mm]\bruch{1}{36}[/mm]
> Erwartungswert? Nach deiner Ansicht müsste es wohl 7
> sein?
> Erwartungswert: 6.5
> Im ersten Wurf ist der Erwartungswert 3 (1,2,3,4,5 die 6
> ist ja für diesen Fall nicht zulässig )
> zweiten Wurf ist der Erwartungswert 3.5
> Wird hier insgesamt 4 mal gewürfelt? (Also mit jedem
> Würfel 2-mal?)
> Dann 2 * 6.5
>
> Ach ich versteh das ganze nicht
Hallo Kuriger,
ich glaube, dass es immer noch um die korrekte
Interpretation der Aufgabenstellung geht, worauf ich in
meinem ersten Post zuallererst hingewiesen habe:
Liefert ein Würfel (ob der rote oder der blaue, ist egal)
im ersten Wurf keine Sechs, dann vergisst man diese
erste gewürfelte Zahl sofort wieder und ersetzt sie durch
das Ergebnis des zweiten Wurfes mit diesem Würfel.
In die Berechnung eines Erwartungswertes für die Summe
der schlussendlich daliegenden Augenzahlen gehen also
diese Erstergebnisse aus [mm] $\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] überhaupt nicht ein !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Kuriger |
(> Erste Würfel eine 5, dann zweiter Würfel eine 4, daraus
> wird doch die Summe gebildet, also 9?
Ja - als Ergebnis des zweiten Wurfs.)
Aber in meinem Beitrag hast du geschrieben, wenn ich zuerst mit dem blauen Würfel eine 4 würfle (Keine 6 also darf ich nochmals) und dann im zweiten Wurf mit dem blauen Würfel eine 3, so ist die zu berücksichtigende Augensumme (4 + 3) = 7. Aber so wie du es nun sagst, kommt nur die Augensumme 3 in die Rechung?
Möglicherweise habe ich dich auch falsch verstanden
Mit der neuen Interpretation...
a) beide Würfel zeigen keine Sechs, also nochmal würfeln.
Wahrscheinlichkeit dass keine Sechs [mm] \bruch{5}{6} [/mm] * [mm] \bruch{5}{6} [/mm] = [mm] \bruch{25}{36}
[/mm]
Erwartete Augensumme: 2*3.5 = 7
b) genau ein Sechser
Fall 1: Rot oder blau hat im ersten Wurf eine Sechs:
Fall 2: Rot oder blau hat im ersten Wurf keine Sechs (einfach derjenige der keine 6 hatte), also nochmals Würfeln..
c) Genau zwei Sechser, also sowohl der blaue als auch rote Würfel zeigt beim ersten Wurf eine Sechs
Wahrscheinlichkeit ist [mm] \bruch{1}{36}
[/mm]
Erwartete Augensumme ist 12 * 6 = 12
Erwartete Punktzahl: ....
Aber ja am Besten schaut man wirklich nur einen Würfel an (rote oder blaue) da ja die beiden Würfel voneinander unabhängig sind...
Dann gibt es nämlich nur zwei zu betrachtende Ausgänge:
-Erster Wurf 6
-Erster Wurf keine 6
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> (> Erste Würfel eine 5, dann zweiter Würfel eine 4,
> daraus
> > wird doch die Summe gebildet, also 9?
>
> Ja - als Ergebnis des zweiten Wurfs.)
>
> Aber in meinem Beitrag hast du geschrieben, wenn ich zuerst
> mit dem blauen Würfel eine 4 würfle (Keine 6 also darf
> ich nochmals) und dann im zweiten Wurf mit dem blauen
> Würfel eine 3, so ist die zu berücksichtigende Augensumme
> (4 + 3) = 7. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Sowas habe ich nicht geschrieben ...
> Aber so wie du es nun sagst, kommt nur die
> Augensumme 3 in die Rechung?
> Möglicherweise habe ich dich auch falsch verstanden
So scheint's ...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Kuriger |
Irgendwas stimmt beim Fall b) noch nicht...
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Hallo Kuriger,
ich gehe mal den anderen Weg und betrachte nur einen Würfel.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er "am Ende" eine Sechs zeigt, ist [mm] \bruch{1}{6}+\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}=\bruch{11}{36}
[/mm]
Für jede andere Zahl ist die Wahrscheinlichkeit aber nur [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}=\bruch{5}{36}
[/mm]
Soweit klar?
Der Erwartungswert ist nun dieser:
[mm] E=6*\bruch{11}{36}+(1+2+3+4+5)*\bruch{5}{36}=\bruch{47}{12}
[/mm]
Und bei zwei Würfeln kann man es sich dann ganz leicht machen...
Oder sogar bei 127 Würfeln. 
Grüße
reverend
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