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Würfeln einer 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 So 12.05.2019
Autor: Alexxai

Aufgabe
Ein Würfel wird solange geworfen, bis er zum ersten mal 6 aufzeigt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Experiment nach den ersten 800 Versuchen noch nicht beendet ist, gegeben sei, dass es nach den ersten 750 Versuchen noch nicht beendet ist.
Nutzen Sie hierfür die geometrische Verteilung!


Einen wunderschönen guten Tag.

Ich hätte da ein kleines Problem mit einer Aufgabe und hoffe ihr könnt mir helfen.

Meine Idee wäre es etwas mit der Formel anzustellen: [mm] $\mathbb{P}(X=k+n [/mm] | [mm] X>k)=\mathbb{P}(X=n)$ [/mm]

Nur finde ich einfach keinen Anfang.
Könnte mir Jemand die Richtung zeigen?

MFG
ALEX


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
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Würfeln einer 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 So 12.05.2019
Autor: Gonozal_IX

HIho,

> Ich hätte da ein kleines Problem mit einer Aufgabe und
> hoffe ihr könnt mir helfen.
>  
> Meine Idee wäre es etwas mit der Formel anzustellen:
> [mm]\mathbb{P}(X=k+n | X>k)=\mathbb{P}(X=n)[/mm]

[ok]
  

> Nur finde ich einfach keinen Anfang.

Das ist doch schon einer.
Beschreibt X nun die Würfe ohne dass eine 6 fällt, was ist denn dann $P(X=n)$?

X=1: Es fällt einmal keine 6 => Wkeit
X=2: Es fällt zweimal keine 6 => Wkeit
[mm] $\vdots$ [/mm]
X=n: Es fällt n-mal keine 6: => Wkeit

Gruß,
Gono

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Würfeln einer 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 So 12.05.2019
Autor: Alexxai

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hi und danke für die Antwort.


> Beschreibt X nun die Würfe ohne dass eine 6 fällt, was ist > denn dann $ P(X=n) $?

> X=1: Es fällt einmal keine 6 => Wkeit
> X=2: Es fällt zweimal keine 6 => Wkeit
> $ \vdots $
> X=n: Es fällt n-mal keine 6: => Wkeit

Ich würde meinen $P(X=1) = \frac{5}{6}}$  und die die Ereignisse unabhängig sind, würde ich annehmen (Laplace-Raum) wäre $P(X=n) = (\frac{5}{6})^n}$ oder anders geschrieben $P(X=n) = (1-\frac{1}{6})^n}$



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Würfeln einer 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:29 Mo 13.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich würde meinen [mm]P(X=1) = \frac{5}{6}}[/mm]  und die die
> Ereignisse unabhängig sind, würde ich annehmen
> (Laplace-Raum) wäre [mm]P(X=n) = (\frac{5}{6})^n}[/mm] oder anders
> geschrieben [mm]P(X=n) = (1-\frac{1}{6})^n}[/mm]

[ok]
Du kannst ja gerne nochmal nachrechnen, dass diese Verteilung wirklich gedächnislos ist :-)

Gruß,
Gono

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Würfeln einer 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:54 Mo 13.05.2019
Autor: Alexxai

Hallo,
ach das wars schon? Ich habe doch aber garnicht die geometrische Verteilung angewandt, also die Formel? Komisch ich weiß bei diesen Aufgaben nie so recht was zu tun ist.




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Würfeln einer 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Mo 13.05.2019
Autor: chrisno

Im Prinzip hast Du die geometrische Verteilung angewandt.
Ich habe sie mir in Wikipedia angeschaut. Der einzige Unterschied ist, dass nicht auf das erste Eintreten des Efolgsfalls gewartet wird und deshalb die Multiplikation mit dieser Wahrscheinlichkeit entfällt.

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Würfeln einer 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Mo 13.05.2019
Autor: Alexxai

Hallo.

> Im Prinzip hast Du die geometrische Verteilung angewandt.
>  Ich habe sie mir in Wikipedia angeschaut. Der einzige
> Unterschied ist, dass nicht auf das erste Eintreten des
> Efolgsfalls gewartet wird und deshalb die Multiplikation
> mit dieser Wahrscheinlichkeit entfällt.

Ok, dennoch muss ich dies nun irgendwie in die Formel quetschen, sonst bekomme ich in der Klausur keine Punkte. Ich wüsste nur nicht wie, mir fehlt da irgendwie das nötige Wissen:) Hättest du dazu eine Idee?

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Würfeln einer 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Mo 13.05.2019
Autor: chrisno

Das ist sehr merkwürdig, falls die Frage wirklich so gestellt ist, wie Du sie aufgeschrieben hast. Da solltest Du mit Deiner Lösung die volle Punktzahl bekommen.

Aber das andere ist auch kein Problem, nur völlig unnötig umständlich, was Du auch als Kommentar dazu schreiben solltest. Berechne die Wahrscheinlichkeit bis zum ersten Erfolg im 801. Versuch mit der Geometrischen Verteilung. Dann schreibst Du:
"Vor dem 801. Versuch gab es keinen Erfolg. Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 in irgendeinem Versuch (in diesem Fall war es der 801.) beträgt 1/6. Daher muss die Wahrscheinlichkeit für die vorigen 800 Fehlversuche 6 mal den eben berechneten Wert betragen."


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Würfeln einer 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Mo 13.05.2019
Autor: Alexxai


> Das ist sehr merkwürdig, falls die Frage wirklich so
> gestellt ist, wie Du sie aufgeschrieben hast. Da solltest
> Du mit Deiner Lösung die volle Punktzahl bekommen.
>  
> Aber das andere ist auch kein Problem, nur völlig unnötig
> umständlich, was Du auch als Kommentar dazu schreiben
> solltest. Berechne die Wahrscheinlichkeit bis zum ersten
> Erfolg im 801. Versuch mit der Geometrischen Verteilung.
> Dann schreibst Du:
>  "Vor dem 801. Versuch gab es keinen Erfolg. Die
> Wahrscheinlichkeit für eine 6 in irgendeinem Versuch (in
> diesem Fall war es der 801.) beträgt 1/6. Daher muss die
> Wahrscheinlichkeit für die vorigen 800 Fehlversuche 6 mal
> den eben berechneten Wert betragen."
>  


Hey,

ich fühle mich immer so dumm, wenn ich Fragen stelle und die Antwort nicht verstehe.

1) Warum ist der 801 Versuch ein Erfolg?
2) Warum soll ich gerade "6 mal" die [mm] \frac{1}{6} [/mm] rechnen? Also warum 6 mal?

Könntest du es bitte etwas idiotensicherer schreiben? Ich bin leider eine Niete in Mathe, tut mir leid:(

mfg
Alex

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Würfeln einer 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Mo 13.05.2019
Autor: chrisno

Wie gesagt, habe ich in Wikipedia nachgeschaut:
"Eine diskrete Zufallsgröße X oder Y mit dem Parameter p (Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg), q = 1 - p  (Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg) genügt der geometrischen Verteilung G ( p ) wenn:
Variante A
Für die Wahrscheinlichkeit, dass man genau n Versuche benötigt, um zum ersten Erfolg zu kommen, gilt
$ P ⁡ ( X = n ) = p ( 1 - p [mm] )^{ n - 1} [/mm] = p [mm] q^{ n - 1}$ [/mm] ( n = 1 , 2 , … )
Variante B
Für die Wahrscheinlichkeit, n Fehlversuche vor dem ersten Erfolg zu haben, gilt
$ P ⁡ ( Y = n ) = p ( 1 - p [mm] )^{ n} [/mm] = p [mm] q^{ n }$ [/mm] ( n = 1 , 2 , … )"

Ich nehme nun Variante A
wenn das erste mal ein Erfolg erzielt wird, in diesem Fall also eine 6 gewürfelt wird, dann hat es vorher 800 mal keine 6 gegeben. Nun wird mit der Formel berechnet, dass es beim 801. mal eine 6 gab, deshalb wird einmal mit p multipliziert, der Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln. Dieser Fall aber sollte laut Aufgabenstellung gerade nicht eintreten, also muss diese Berechnung des letzten Schrittes, die Multiplikation mit 1/6 rückgängig gemacht werden. Dafür wird mit 6 multipliziert.

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Würfeln einer 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mo 13.05.2019
Autor: Alexxai

Hallo.

Das Problem ist, du vergisst die Bedienung, die man doch irgendwie mit einfließen lassen muss?

> gegeben sei, dass es nach den ersten 750 Versuchen noch nicht beendet ist.


Ich verstehe es irgendwie nicht so recht, warum das gilt was du da schreibst. Sry, aber ich finde es sehr schwierig dort durchzublicken, da es für mich keinen Sinn macht.


P.S. Nicht denken, dass ich deins Anzweifle, ich verstehe es nur nicht und bin sehr dankbar, dass du mir Matheniete hilfst :)


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Würfeln einer 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:31 Mo 13.05.2019
Autor: chrisno

Dieser Teil der Aufgabe ist doch nur eine Falle, wie Du selbst schon festgestellt hast.
Du hast auch schon ganz richtig geschrieben, dass das keinen Einfluss hat, weil die Ereignisse unabhängig voneinander sein sollten.

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Würfeln einer 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Mo 13.05.2019
Autor: Alexxai


> Dieser Teil der Aufgabe ist doch nur eine Falle, wie Du
> selbst schon festgestellt hast.
> Du hast auch schon ganz richtig geschrieben, dass das
> keinen Einfluss hat, weil die Ereignisse unabhängig
> voneinander sein sollten.


ok

Also lautet die Lösung $ P ⁡ ( X = 801 ) = [mm] \frac{1}{6} [/mm] ( 1 - [mm] \frac{1}{6} )^{ 801 - 1}$ [/mm] ?

Ich muss sagen, dass ich nun ganz verwirrt bin. Sitze nun schon zwei Tage an dieser harten Aufgabe und sehe einfach kein Licht am Ende des Tunnels. Ich soll ja die Formel für die Gedächtnislosigkeit anwenden und naja Keine Ahnung.

Dennoch Danke



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Würfeln einer 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Mo 13.05.2019
Autor: chrisno

Formuliere genauer:
> [mm]P ⁡ ( X = 801 ) = \frac{1}{6} ( 1 - \frac{1}{6} )^{ 801 - 1}[/mm]

ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit einem fairen Würfel erst beim 801. Wurf eine 6 erscheint. (Berechnet mit der Formel für die geometrische Verteilung)

Da für das Erscheinen der 6 in letzten Wurf die Wahrscheinlichkeit 1/6 ist, ist
P(in den ersten 800 Würfen erscheint keine 6) $= ( 1 - [mm] \frac{1}{6} )^{ 800}$ [/mm]

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Würfeln einer 6: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:24 Mo 13.05.2019
Autor: Alexxai

Es tut mir so eid, aber ich muss einfach erneut nachfragen, denn ich bin mit der Lösung nicht zufrieden.

Wo genau wende ich diese Formel hier an $ [mm] \mathbb{P}(X=k+n [/mm] | [mm] X>k)=\mathbb{P}(X=n) [/mm] $ ? Ich sehe es einfach nicht.

Ich weiß für dich/Sie ist es logisch aber man muss verstehen, das ich gerade total blind bin:)
Ich weiß einfach nicht, was diese Herangehensweise, die hier gerade genutzt wird mit der geometrischen Verteilung, speziell mit der gedächnislosen Variante zu tun hat.


Erneut, es tut mir leid für die Fragen und man muss mir auch nicht antworten, wenn ich zu nervig bin:)

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Würfeln einer 6: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:24 Do 16.05.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Würfeln einer 6: check the facts ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 Mo 13.05.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Käme ich jemals an einen Würfel, der in 750 aufeinanderfolgenden Würfen keine einzige Sechs zeigt, so würde ich (aller-aller-spätestens mal) den Würfel ganz genau betrachten und herausfinden wollen, ob der überhaupt eine Seitenfläche mit sechs Augen besitzt !

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Würfeln einer 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 Mo 13.05.2019
Autor: Alexxai

:) Ja würde ich auch. Allerdings muss ich diese Aufgabe irgendwie lösen:)

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Würfeln einer 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:42 Di 14.05.2019
Autor: HJKweseleit


> Ein Würfel wird solange geworfen, bis er zum ersten mal 6
> aufzeigt.
>  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses
> Experiment nach den ersten 800 Versuchen noch nicht beendet
> ist, gegeben sei, dass es nach den ersten 750 Versuchen
> noch nicht beendet ist.
>  Nutzen Sie hierfür die geometrische Verteilung!
>  
> Einen wunderschönen guten Tag.
>  
> Ich hätte da ein kleines Problem mit einer Aufgabe und
> hoffe ihr könnt mir helfen.
>  
> Meine Idee wäre es etwas mit der Formel anzustellen:
> [mm]\mathbb{P}(X=k+n | X>k)=\mathbb{P}(X=n)[/mm]
>  
> Nur finde ich einfach keinen Anfang.
>  Könnte mir Jemand die Richtung zeigen?
>  
> MFG
>  ALEX
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  




In Anbetracht der bereits erfolgten Diskussion:

Wo bitteschön steht in der Aufgabenstellung, dass du die oben genannte Formel anwenden sollst?

Ihre Anwendung ist sogar falsch!!!

Fangen wir mal rückwärts an:

Es ist bereits bekannt, dass nach 750 Versuchen noch keine 6 kam. Das ist der Grund, wieso das Spiel überhaupt noch weitergeht (es ist ja nach der ersten 6 beendet).

Die Frage ist also nur noch: Wie groß ist die W., dass es nach den nächsten 50 Würfen immer noch nicht beendet ist, auf Deutsch: Wie groß ist die W., dass jetzt noch 50 mal keine 6 kommt?

Und die beträgt mit q=5/6  genau [mm] q^{50}=(5/6)^{50}. [/mm]

Und da kommt auch jetzt kein p=1/6 hinzu, denn nach den 50 weiteren Würfen kann das Spiel im 801. Wurf beendet sein, oder aber weitergehen und erst nach z.B. 900 Würfen zu Ende sein.
Die Formel bezieht sich aber darauf, dass X=k+n=750+51=801 ist, aber X kann auch >801 sein!

Wäre die Frage: Wie groß ist (nach 750 Fehlversuchen) die W., dass im 801. Zug das Spiel beendet ist, könntest du schreiben:

[mm] \mathbb{P}(X=k+n [/mm] | [mm] X>k)=\mathbb{P}(X=n) [/mm]
[mm] \mathbb{P}(X=750+51 [/mm] | [mm] X>750)=\mathbb{P}(X=51) [/mm] = [mm] q^{50}p [/mm]
(evtl. benutz ihr die Formel in diesem Zusammenhang vielleicht mit 50 statt 51)

Das blinde Suchen nach einer Formel zeigt eigentlich nur, dass man den Vorgang gar nicht verstanden hat. Dann versucht man, sich in eine Formel zu flüchten, und meistens wirft man dabei alles durcheinander. Hier ist nur wichtig, dass du verstehst, dass man 50 mal q mit sich selbst multiplizieren musst, und vor allem, warum das so ist, und warum bei der Fragestellung kein p mehr dazu kommt, bei der geänderten Aufgabenstellung aber doch.

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Würfeln einer 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:59 Di 14.05.2019
Autor: Alexxai

Hallo!

Deine Lösung $ [mm] q^{50}=(5/6)^{50}. [/mm] $ weicht zwar von der anderen ab, aber ist für mich schlüssiger.
Ich hoffe natürlich da diese Stimmt und bedanke mich:)

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Würfeln einer 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Di 14.05.2019
Autor: chrisno

Ich schließe mich der Meinung an, dass die Aufgabe so zu verstehen ist, dass für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit nur die Würfe von 751 bis 800 zu betrachten sind. Damit ziehe ich meine Aussage, dass es sich bei der Angabe, dass in den ersten 750 Würfen keine 6 kam, um eine Falle handelt, zurück.

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