Würfeln: n Augen genau x mal < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:37 Mo 23.03.2009 | | Autor: | N2Y |
Hallo zusammen!
Ich habe eine ganz einfache Fragestellung zu bieten:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Laplace-Würfel nach n Würfen genau x mal genau k Augen getroffen zu haben?
Beispiel:
100 Würfe, wie groß ist die Wkeit genau 2 Augen genau 10 mal getroffen zu haben?
oder:
100 Würfe, wie groß ist die Wkeit genau 1 Auge überhaupt nicht getroffen zu haben?
Mein Lösungsansatz:
1.) Die Möglichkeiten, die k Augen auf alle zu verteilen: k aus 6
2.)Angenommen die k Augen wären vordefiniert(siehe 1.) ), bei 2 Augen also etwa "2" und "3":
Wie groß ist die Wkeit bei n Würfen genau x*(2=k) mal die "2" oder "3" getroffen zu haben: --> Binomialvert.(mit Wkeit 2/6 = 1/3)
(Hier wird also gesplittet zwischen Treffer-Augen und nicht-Treffer-Augen)
3.) Wie groß ist die Wkeit mit einem Würfel mit k Augen bei x*k Würfen so zu würfeln, dass jedes Auge genau gleich oft getroffen wird?(jetzt also die Würfe innerhalb der "Treffer-Augen" verteilen)
--> Multinomialverteilung
Somit Gesamtwkeit P = 1) * 2) * 3) = (k aus 6) * B(N=n,P=k/6,K=x*k) * Multinomial(X1 = x, ... , Xk = x; p = 1/k)
Wie falsch ist das? :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich muss ehrlich zugeben, dass ich deinen Ansatz leider nicht verstehe (was meinst du z.B. mit "Die Möglichkeiten, die k Augen auf alle zu verteilen: k aus 6"??), aber ich dachte, bevor du gar keine Antwort bekommst, probier ich es zumindest mal.
Also:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Laplace-Würfel nach n Würfen genau x mal genau k Augen getroffen zu haben?"
Mit Augen ist doch einfach die Zahl, die der Würfel zeigt, gemeint, oder?
D.h. wenn die Frage z.B. ist
"Wie groß ist bei 100 Würfen die Ws.keit, dass die 2 genau 10 mal getroffen wird?"
würde ich folgendermaßen vorgehen:
Die Ws. eine 2 zu würfeln ist 1/6, die Ws. etwas anderes zu würfeln ist 5/6. Es gibt [mm] \vektor{100 \\ 10} [/mm] Möglichkeiten bei 100 Würfen genau 10 Mal die 2 zu treffen. D.h. die Ws.keit wäre dann insgesamt:
[mm] \vektor{100 \\ 10}*(\bruch{1}{6})^10*(\bruch{5}{6})^90
[/mm]
Algemein könnte man sagen, die Ws.keit bei 100 Würfen genau n Mal eine bestimmte Zahl zu treffen ist:
[mm] \vektor{100 \\ n}*(\bruch{1}{6})^n*(\bruch{5}{6})^{100-n}
[/mm]
Dein Ansatz scheint mir ein bisschen komplexer zu sein ... hm, also, alle Angaben ohne Gewähr. Aber wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann macht das für mich eigentlich so Sinn ...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mo 23.03.2009 | | Autor: | N2Y |
Zunächst vielen Dank für deine Mühen!
Um Unklarheit über die grundsätzliche Fragestellung zu beseitigen, will ich versuchen den Unterschied zu der Version wie du sie verstanden hast darzulegen(sofern es einen Unterschied gibt.. ich vertraue meiner Lösung hier nicht ganz... kann gut sein dass alles viel einfacher ist):
Also:
Du fragst: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Auge (also entweder "1" oder "2", oder .... oder"6") bei n Versuchen genau x mal vorkommt"
Das ist die klassische Fragestellung der Binomialverteilung, die du dann ja auch sauber hergeleitet hast.
Eine erste Erweiterung dieser Frage ist nun:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Auge (also entweder "1" oder "2", oder .... oder"6") bei n Versuchen genau x mal vorkommt UND alle anderen Augen ungleich x oft mal vorkommen"
Eine äquivalente Formulierung dazu:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Laplace-Würfel nach n Würfen genau 1 Auge(also nicht 2, 3 ...) genau x mal getroffen zu haben?"
Während in deiner Version die genaue Anzahl der anderen Augen keine Rolle spielt, (sondern nur, dass es allgemein andere Augen als das betrachtete getroffen hat;... [mm] (\bruch{5}{6})^9 [/mm] ... ), tut sie es hier schon.
Eine weitere Verallgemeinerung ist:
Man lege sich auf eine Menge von k Augen fest.(ZB "2" und "4" bei k=2)
Wie groß ist die Wkeit, daß nach n Versuchen jedes Auge aus der Menge genau x Treffer hat und alle anderen übrigen Augen Trefferzahlen ungleich x haben.
Dies lässt sich nun zu meiner ursprgl. Frage umformulieren:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Laplace-Würfel nach n Würfen genau k Augen genau x mal getroffen zu haben?"
Hoffe es wird nun klarer.
(Oder es ist tatsächlich viel simpler und ich hab so ein Problem mit Wald und Bäumen...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Mo 23.03.2009 | | Autor: | N2Y |
Und noch ein Zusatz: (k aus 6) soll bedeuten: [mm] \vektor{6 \\ k}.
[/mm]
Die Klassiische 6 aus 49 also.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Di 24.03.2009 | | Autor: | Flaminia |
okay, wenn die Fragestellung so gemeint ist, wie du sie erklärt hast, dann kannst du meinen Ansatz natürlich vergessen.
hm, leider bin ich da auch ratlos. ich kann dir auch nicht sagen, ob deine Überlegungen richtig sind.
Aber um einen Anhaltspunkt zu bekommen, könnte man ja mal überlegen, wie groß die Ws.keit ist bei 100 Würfen genau 2 Zahlen genau 50 Mal zu treffen.
Das müsste ja sein
[mm] \vektor{6 \\ 2}*\vektor{100 \\ 50}*\bruch{1}{6}^{50}*\bruch{1}{6}^{50}
[/mm]
Kommst du mit deinem Ansatz auch auf das Ergebnis? ... Das wäre zwar noch lange keine Bestätigung für deinen Ansatz, aber mehr kann ich dazu leider nicht beitragen. Sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Di 24.03.2009 | | Autor: | N2Y |
Erneut Danke!
Gute Idee mit dem Beispiel, das stellt in der Tat eine Kontrolle für meine These dar, von deren eigener Korrektheit man überzeugt sein darf.
Und siehe da:
Mein Lösungweg führt nicht nur empirisch(d.h. gleichwertiges zahlenmäßiges Ergebnis) sondern auch arithmetisch zum gleichen Ergebnis
Ich beziehe mich auf die Nummern meines ersten Posts:
1.)
Die Möglichkeiten 2 Augen aus 6 zu wählen:
[mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] (analog zu deiner Lösung)
2.)
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 Versuchen, die beiden Augen genau 100 mal getroffen werden:
[mm] \vektor{100 \\ 100} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{6})^{100} [/mm] * [mm] (\bruch{4}{6})^0
[/mm]
3.)
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Laplace Würfel mit 2 Augen(also Wkeit 1/2 pro Auge !) bei 100 versuchen jedes Auge genau 50 mal geworfen wird: Multinomialverteilung:
[mm] \bruch{100!}{(50!)^2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2})^{100}
[/mm]
1) * 2) *3) vereinfacht sich zu der Lösung deines Beispiels
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mi 25.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Eine weitere Verallgemeinerung ist:
> Man lege sich auf eine Menge von k Augen fest.(ZB "2" und
> "4" bei k=2)
> Wie groß ist die Wkeit, daß nach n Versuchen jedes Auge
> aus der Menge genau x Treffer hat und alle anderen übrigen
> Augen Trefferzahlen ungleich x haben.
>
> Dies lässt sich nun zu meiner ursprgl. Frage
> umformulieren:
> "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem
> Laplace-Würfel nach n Würfen genau k Augen genau x mal
> getroffen zu haben?"
Ach sooooooooooo ist das gemeint. :)
Also. Zaehlen wir mal die Elemente in [mm] $\{ 1, \dots, 6 \}^n$, [/mm] in denen eine 1 $x$-mal, eine 2 genau $x$-mal, ..., eine $k$ genau $x$-mal vorkommt. (Es sollte $x [mm] \cdot [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ sein, und $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 6$.)
Erstmal verteilen wir $x$ Einsen. Dazu hat es [mm] $\binom{n}{x}$ [/mm] Moeglichkeiten. Fuer jede diese Moeglichkeit gibt es [mm] $\binom{n - x}{x}$ [/mm] Moeglichkeiten, die Zweien zu verteilen. Damit faehrt man fort und sieht, das man [mm] $\binom{n - (k - 1) x}{x}$ [/mm] Moeglichkeiten hat, die $k$-en zu verteilen. Und die restlichen $n - k x$ Elemente koennen dann Werte aus [mm] $\{ k + 1, \dots, 6 \}$ [/mm] annehmen, also gibt es dafuer $(6 - [mm] k)^{n - k x}$ [/mm] Moeglichkeiten.
Damit erhaelst du als Wahrscheinlichkeit $(6 - [mm] k)^{n - k x} 6^{-n} \prod_{i=0}^{k-1} \binom{n - i x}{x}$.
[/mm]
Jetzt kann man natuerlich noch versuchen, das Produkt der Binomialkoeffizienten zu vereinfachen. Es ist ja [mm] $\binom{n - i x}{x} [/mm] = [mm] \frac{(n - i x) (n - i x - 1) \cdots (n - i x - x + 1)}{1 \cdot 2 \cdots x}$. [/mm] Man sieht also, dass im Zaehler des Produktes alle Zahlen von $n$ bis $n - k x + 1$ zusammenmultipliziert werden, und geteilt wird durch [mm] $(x!)^k$. [/mm] Ob man das schoener schreiben kann weiss ich grad nicht...
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:29 Mi 25.03.2009 | | Autor: | N2Y |
Wow, danke!
Schön langsam nimmt das ganze Gestalt an :)
Ich hab mich mal ein bischen arithmetisch beschäftigt:
Bezugnehmend auf meine Variante: 2) * 3) vereinfacht sich bzw. lässt sich umformulieren genau zu deiner Formel.
Die 1) waren die Möglichkeiten, die k Augen aus 6 auszuwählen. Ich glaube die fehlen bei dir noch. Du gehst davon aus, dass man sich die Menge der k Augen die man betrachtet schon vorher ausgesucht hat.
Deine Formel mal [mm] \vektor{6 \\ k} [/mm] ergibt die meinige.
Aber es gibt ein Problem: Und zwar sind das bis jetzt alles Lösungen für das Problem "... dass mindestens k Augen jeweils genau x mal vorkommen"... ich wollte aber "genau k Augen"... bei deiner Lösung müßte man innerhalb der [mm] (6-k)^{n-kx} [/mm] Möglichkeiten also noch explizit die Fälle ausschließen, in denen die 6-k(=mengendifferenz) Augen ebenfalls zufällig x mal vorkommen. Das gleiche bei meiner Formel
EDIT: Ich sehe gerade dass ich bei einer Erläuterung die Menge k fälschlicherweise als gegeben angegeben habe. Evtl. kommt daher der fehlende Koeffizient.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Do 26.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Bezugnehmend auf meine Variante: 2) * 3) vereinfacht sich
> bzw. lässt sich umformulieren genau zu deiner Formel.
>
> Die 1) waren die Möglichkeiten, die k Augen aus 6
> auszuwählen. Ich glaube die fehlen bei dir noch. Du gehst
> davon aus, dass man sich die Menge der k Augen die man
> betrachtet schon vorher ausgesucht hat.
Genau, das hatte ich so aus deiner Erklaerung herausgelesen :)
> Deine Formel mal [mm]\vektor{6 \\ k}[/mm] ergibt die meinige.
>
> Aber es gibt ein Problem: Und zwar sind das bis jetzt alles
> Lösungen für das Problem "... dass mindestens k Augen
> jeweils genau x mal vorkommen"...
Dafuer stimmt deine Formel (vermutlich) auch nicht, da gewisse Moeglichkeiten mehrfach gezaehlt werden.
> ich wollte aber "genau k
> Augen"... bei deiner Lösung müßte man innerhalb der
> [mm](6-k)^{n-kx}[/mm] Möglichkeiten also noch explizit die Fälle
> ausschließen, in denen die 6-k(=mengendifferenz) Augen
> ebenfalls zufällig x mal vorkommen. Das gleiche bei meiner
> Formel
Genau. Ich werd mir das jetzt nicht mehr anschauen, aber eventuell komme ich die Tage nochmal dazu. Deswegen erstmal nur eine Mitteilung und keine Antwort :)
Aber schonmal einen Hinweis: versuche doch erstmal das Problem fuer $k = 0$ zu loesen (mit einer allgemeinen Anzahl an Augen, nicht notwenigerweise 6). Dann kannst du diese Loesung verallgemeinern, indem du sie auf das Szenario anwendest, dass du $n - k x$ Wuerfel hast mit $6 - k$ Augen und das es kein Auge gibt, welches genau $x$-mal auftritt. Die Anzahl der Moeglichkeiten ist gerade der richtige Ersatz fuer $(6 - [mm] k)^{n - k x}$.
[/mm]
Falls du das schon wusstest, ignorier's einfach ;)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:07 Do 26.03.2009 | | Autor: | N2Y |
Eigentlich habe ich gefunden wonach ich gesucht habe(eine Bestätigung des Ansatzes) und könnte den Rest wohl auch allein schaffen.
Von daher könnte man die Frage eigentlich schließen.
Nochmals Dank an alle die mitgemacht haben!
(Evtl. reiche ich die endgültigen Fassungen die Tage noch nach).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 28.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Mi 25.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Hallo zusammen!
> Ich habe eine ganz einfache Fragestellung zu bieten:
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem
> Laplace-Würfel nach n Würfen genau x mal genau k Augen
> getroffen zu haben?
> Beispiel:
> 100 Würfe, wie groß ist die Wkeit genau 2 Augen genau 10
> mal getroffen zu haben?
Hallo N2Y,
auch die Antwort ist sehr einfach. Es handelt sich um eine
elementare Frage zur Binomialverteilung.
Erstens: auf den Wert von k kommt es gar nicht an, da
jede Augenzahl (1,2, ... , 6) bei einem Laplace-Würfel die
gleiche Auftretenswahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{6} [/mm] hat.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist:
$\ [mm] P_{n,x}=\vektor{n\\x}*\left(\bruch{1}{6}\right)^x*\left(\bruch{5}{6}\right)^{n-x}$
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Mi 25.03.2009 | | Autor: | N2Y |
Danke für deine Antwort, aber dieses Missverständnis bzgl. der Fragestellung wurde bereits in den ersten Antworten ausgeräumt. Es ist komplizierter.
Auf k kommt es an, da die Wahrscheinlichkeit, dass bei 120 Würfen genau 1 Auge 20 mal getroffen wird und die anderen Augen ungleich 20 mal, eine andere ist, als zB dass alle 6 Augen genau 20 mal getroffen werden. Die letztere Wkeit dürfte um einiges kleiner sein.
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In dem Fall sehe ich da weder Bäume noch einen Wald,
sondern nur noch einen wilden Haufen von Holzsplittern,
die vielleicht einmal Bestandteile von Bäumen oder einem
Wald waren ...
Mit anderen Worten: die Fragestellung ist mir offenbar ein
Rätsel geblieben.
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