Würfelschachtelungsprinzip < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Fr 15.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Ein abgeschlossener Würfel im [mm] \IR^{n} [/mm] ist ein kartesisches Produkt
[mm] W=I_{1}\times...\times I_{n}\subset\IR^{n}
[/mm]
von abgeschlossenen Intervallen [mm] I_{k}\subset\IR [/mm] gleicher Länge [mm] |I_{k}|=\delta\ge0.
[/mm]
Definieren Sie den Begriff der Würfelschachtelung. Formulieren und beweisen Sie ein Würfelschachtelungsprinzip. |
Hallo,
also bei der Aufgabe blick ich absolut nichts. Ich kenn die Intervallschachtelung, aber von Würfelschachtelung hab ich noch nie was gehört. Ich weiß daher auch nicht, was ich da definieren soll und so.
Hat hier vieleicht jemand eine Idee?
Gruß Michi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Fr 15.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo MichiNes
Intervallschachtelungsprizip:
Hat man eine "abnehmende Folge" von ineinandergeschachtelten Intervallen, deren Länge gegen 0 konvergiert, so enthält ihr Durchschnitt genau einen Punkt.
[mm] $I_1\supset I_2 \supset I_3 \supset \dots$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty}|I_n|=0$, [/mm] dann ex. genau eine Zahl a so dass [mm] $\bigcap_n I_n=\{a\}$.
[/mm]
Jetzt ersetzt du das Wort Intervall durch das Wort Würfel . . .
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Fr 15.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Hallo und vielen Dank für deine Antwort.
Du sagst also, das ist die Definition des Würfelschachtelungsprinzip. Warum steht aber in der Aufgabenstellung "Definieren Sie EIN WÜrfelschachtelungsprinzip"?? Gibts da mehrere?? Bei der Intervallschachtelung gibts ja die fortgesetzte Intervallhalbierung, -drittelung,....etc.
Ist das so auch bei der Würfelschachtelung?
Grüße
Michi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Fr 15.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo MichiNes
Im Prizip schon, kommt darauf an was du unter einem halben Würfel verstehst (halbe Kantenlänge oder halbes Volumen). Ich würde auf das erste tippen, dann müsste man in jeder Koordinate das Intervall halbieren, dritteln etc.
Auch das zweite funktioniert, wenn das Volumen halbiert wird, nimmt die Intervalllänge mit dem Faktor
[mm] $\sqrt[n]{2}$ [/mm] ab. Hauptsache das Volumen oder die Kantenlänge strebt gegen 0.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 16.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Also:
Verstanden, wie das genau läuft, hab ich es glaub schon. Allerdings muss ich ja jetzt irgendwas zu der Aufgabe hinschreiben. Was schreib ich da jetzt genau??
Also ich hätte mal folgendes gedacht:
Ich mache für jede Koordinate des Punktes [mm] x:=(x_{1}, x_{2},....,x_{n}) [/mm] ein Intervall, sodass gilt: [mm] a_{k} \le x_{n} \le b_{k}.
[/mm]
Und jetzt definiere ich die Intervallschachtelung als fortgesetzte Intervallhalbierung:
[mm] m_{k}=\bruch{a_{k}+b_{k}}{2}
[/mm]
[mm] (I_{n})_{k+1}=\begin{cases} [a_{k}, m_{k}], & \mbox{für } x_{n} \le m_{k} \\ [m_{k}, b_{k}, & \mbox{für } x_{n}>m_{k}\end{cases}
[/mm]
für alle n.
Dann wäre die Würfelschachtelung:
[mm] W_{k+1}=(I_{1})_{k+1}\times(I_{2})_{k+1}\times [/mm] .... [mm] \times (I_{n})_{k+1}
[/mm]
Wäre das dann jetzt das gesuchte Würfelschachtelungsprinzip?
Oder was soll ich bei der Aufgabe noch hinschreiben?
Danke schon mal!
Gruß Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 So 17.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Hallo,
kennt sich denn wirklich niemand mit der Würfelschachtelung aus?? Muss das Blatt morgen abgeben. Könnte nicht vielleicht jemand noch n Blick darauf werfen? Wär echt stark!!
Gruß Michi
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> Wäre das dann jetzt das gesuchte
> Würfelschachtelungsprinzip?
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> Oder was soll ich bei der Aufgabe noch hinschreiben?
Hallo,
bisher sieht man nicht nicht richtig, was da schachtelt.
Schau Dir doch im Lehrbuch einmal eine intervallschachtelung an, meinetwegen Halbierung.
Diese Halbierung überträgst du nun auf Deinen Würfel. Eigentlich geht's genau gleich, Du hast nur ein paar Komponenten mehr.
Wenn Du das mal anschaust im Buch, siehst Du, daß es nach Definition der Halbierung erst richtig losgeht.
Du mußt dann zeigen:
a) Jeder neue Würfel steckt im vorhergehenden.
b) Die Sache konvergiert. (Hierfür kannst du die Folgen der Intervallendpunkte anschauen. Genau wie bei der Intervallhalbierung.)
Gruß v. Angela
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