Würfelspiel - Wahrscheinlichk. < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler beim Würfeln mit einem Wurf eine größere Augenzahl wirft als ein anderer Spieler mit zwei Würfen? |
Hallo Leute.
Die obige Aufgabe soll so interpretiert werden, dass Spieler I einmal würfelt. Nun würfelt Spieler II zwei mal und soll eine höhere Augenzahl haben.
Beispiel
Spieler I würfelt eine 3
Spieler II würfelt: 1 und 2.
Es wird für Spieler zwei nur die höhere Augenzahl gewertet, das heißt, sein Ergebnis ist nur "2".
Versteht ihr, was ich meine? Die Augenzahlen von Spieler II werden nicht addiert!
Wie gehe ich da nun heran?
Ich habe erst einmal aufgelistet:
Die Wahrscheinlichkeiten für Spieler I
1 : [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
2 : [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
3 : [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
4 : [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
5 : [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
6 : [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Spieler zwei hat natürlich genau die selben Wahrscheinlichkeiten, beim ersten Mal eine dieser sechs Zahlen zu würfeln.
Wenn er dann zwei Mal würfelt, müssten sich die Wahrscheinlichkeiten, dass er bei zwei Mal würfeln eine 1 würfelt, 2 : [mm] \bruch{2}{6} [/mm] betragen.
Jetzt würde es aber heftig werden. Spieler I kann minimal eine 1 Würfeln, also muss Spieler II mindestens einmal eine zwei würfeln, es gibt insgesamt 36 Möglichkeiten: [mm] \bruch{34}{36} [/mm] -> Dass Spieler 1 eine 1 Würfelt wäre dann [mm] \bruch{1}{6} [/mm] = [mm] \bruch{6}{36}
[/mm]
Nun wird mir das zu falsch und ich sage einfach, die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler II einmal eine höhere Zahl wirft ist nun
[mm] p=\bruch{34}{36}-\bruch{6}{36} =\bruch{28}{36} [/mm]
Ist nur leider falsch und das Ergebnis ist wohl nicht richtig. Hilfeee
Grüße Phoney.
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Hallo Phoney!
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler beim
> Würfeln mit einem Wurf eine größere Augenzahl wirft als ein
> anderer Spieler mit zwei Würfen?
Also ein geeigneter Grundraum für dieses Zufallsexperiment müßte meiner Ansicht nach so aussehen:
[mm]\Omega := \{(1,1,1),(1,1,2),\dotsc,(6,6,6)\} = \left\{\left.(i,j,k)\right|1 \le i,j,k \le 6\right\}[/mm]
Die jeweils ersten Komponenten der 3er-Tupel geben an, welche Augenzahl der erste Spieler geworfen hat, die beiden letzten Komponenten was der 2te Spieler beim ersten und zweiten Wurf rausbekam. Offenbar besitzt [mm]\Omega[/mm] insgesamt [mm]6^3 = 216[/mm] Elemente. Würfelt der erste Spieler eine 1, so kann er niemals den 2ten Spieler überbieten, da dieser ja mindestens eine 1 würfeln kann, und [mm]1 \not> 1[/mm] ist.  Insgesamt brauchen wir also "nur noch" [mm]6^3 - 6^2 = 180[/mm] Fälle zu untersuchen:
[mm](2,1,1)[/mm]
[mm](2,1,2)[/mm]
...
[mm](6,6,6)[/mm]
Bei den Tupeln [mm](2,j,k)[/mm] können wir nur für [mm]j=k=1[/mm] die Forderung erfüllen. (+ 1)
Bei den Tupeln [mm](3,j,k)[/mm] gibt es bereits 4 Fälle, wo die Forderung erfüllt wird: [mm](j,k) \in \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}[/mm]
Bei den Tupeln [mm](4,j,k)[/mm] wären es dann [mm]3^2 = 9[/mm] Fälle.
Bei den Tupeln [mm](5,j,k)[/mm] [mm]4^2 = 16[/mm] Fälle, und schließlich
[mm]5^2 = 25[/mm] Fälle bei den Tupeln [mm](6,j,k)[/mm].
Das wären dann insgesamt 25+16+9+4+1 = 80 günstige Fälle von 216 möglichen Fällen. Damit erhalten wir als Wahrscheinlichkeit für die Indikatorfunktion
[mm]\mathfrak{1}\left((i,j,k)\right) := \begin{cases}1,&\texttt{falls }i > \max\{j,k\}\\0,&\texttt{sonst}\end{cases}[/mm]
[mm]P(\{\mathfrak{1} = 1\}) = \frac{80}{216} = \frac{10}{27} = 0.\overline{370}[/mm]
Tja, vorrausgesetzt ich habe den richtigen Grundraum gewählt und keinen Fehler beim Abzählen gemacht....
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo KarlPech. Hallo allen anderen Matheraum-Leser.
>
> > Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler beim
> > Würfeln mit einem Wurf eine größere Augenzahl wirft als ein
> > anderer Spieler mit zwei Würfen?
>
>
> Also ein geeigneter Grundraum für dieses Zufallsexperiment
> müßte meiner Ansicht nach so aussehen:
>
>
> [mm]\Omega := \{(1,1,1),(1,1,2),\dotsc,(6,6,6)\} = \left\{\left.(i,j,k)\right|1 \le i,j,k \le 6\right\}[/mm]
>
>
> Die jeweils ersten Komponenten der 3er-Tupel geben an,
> welche Augenzahl der erste Spieler geworfen hat, die beiden
> letzten Komponenten was der 2te Spieler beim ersten und
> zweiten Wurf rausbekam. Offenbar besitzt [mm]\Omega[/mm] insgesamt
> [mm]6^3 = 216[/mm] Elemente. Würfelt der erste Spieler eine 1, so
> kann er niemals den 2ten Spieler überbieten, da dieser ja
> mindestens eine 1 würfeln kann, und [mm]1 \not> 1[/mm] ist.
> Insgesamt brauchen wir also "nur noch" [mm]6^3 - 6^2 = 180[/mm]
> Fälle zu untersuchen:
>
>
> [mm](2,1,1)[/mm]
> [mm](2,1,2)[/mm]
> ...
> [mm](6,6,6)[/mm]
>
>
> Bei den Tupeln [mm](2,j,k)[/mm] können wir nur für [mm]j=k=1[/mm] die
> Forderung erfüllen. (+ 1)
>
> Bei den Tupeln [mm](3,j,k)[/mm] gibt es bereits 4 Fälle, wo die
> Forderung erfüllt wird: [mm](j,k) \in \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}[/mm]
>
> Bei den Tupeln [mm](4,j,k)[/mm] wären es dann [mm]3^2 = 9[/mm] Fälle.
>
> Bei den Tupeln [mm](5,j,k)[/mm] [mm]4^2 = 16[/mm] Fälle, und schließlich
>
> [mm]5^2 = 25[/mm] Fälle bei den Tupeln [mm](6,j,k)[/mm].
So, das alles war wunderbar nachvollziehbar. Ich habe es nachgerechnet und komme auf die selben Ergebnisse. Eine 1a Antwort also.
> Das wären dann insgesamt 25+16+9+4+1 = 80 günstige Fälle
> von 216 möglichen Fällen. Damit erhalten wir als
> Wahrscheinlichkeit für die Indikatorfunktion
Nur hier kann ich leider nicht folgen. Ich würde auch alle günstigen Fälle addieren.
25+16+9+4+1 = 55 (!)
Wie kommt man da nun auf 80? Tippfehler? Also die Differenz davon wäre ja jetzt 25. Wo kommen die zweiten 25 her? Alle Möglichkeiten für den Tuppel (1,j,k) leitet das ja nicht her.
Kann mir da jemand mal helfen? Hoffentlich ists ein kleiner Tippfehler, denn ansonsten habe ich Stochastik wohl nicht richtig verstanden.
>
>
> [mm]\mathfrak{1}\left((i,j,k)\right) := \begin{cases}1,&\texttt{falls }i > \max\{j,k\}\\0,&\texttt{sonst}\end{cases}[/mm]
>
>
> [mm]P(\{\mathfrak{1} = 1\}) = \frac{80}{216} = \frac{10}{27} = 0.\overline{370}[/mm]
Und was bedeutet [mm] \mathfrak{1} [/mm] ? STattdessen hätte ich doch auch andere Buchstaben nehmen können wie z.b. l oder a ,....
oder geht das nicht?
>
> Tja, vorrausgesetzt ich habe den richtigen Grundraum
> gewählt und keinen Fehler beim Abzählen gemacht....
>
Danke
Phoney
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Sa 11.02.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Phoney,
Du hast Recht! Es kommt tatsächlich 55 und nicht 80 raus! Ich habe die Zahlen nicht selber, sondern mit CALC (also mit dem Windows Taschenrechner) addiert, und dabei vermutlich etwas Falsches gedrückt... Damit erhalten wir eine kleinere Wahrscheinlichkeit als vorhin.
Da ich aber sowieso nicht sicher bin, was meine Lösung angeht, stelle ich mal beide Fragen auf "teilweise beantwortet".
Und was das Zeichen '[mm]\mathfrak{1}[/mm]' angeht; Das ist nur ein Zeichen, welches ich bis jetzt in den meisten Stochastik-Büchern gesehen habe(; Lerne es nämlich gerade (nochmal)). Es soll halt nur die spezielle Bedeutung einer solchen "Ja/Nein"-Funktion hervorheben. Deshalb sieht es wie eine "zerquetschte Eins" aus. Aber Du kannst dafür auch jedes andere Symbol nehmen(, obwohl man bei Zufallsvariablen üblicherweise nur große Buchstaben vom Ende des Alphabets nimmt: ...,X,Y,Z)
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Di 14.02.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Karl Pech.
Erst heute hatten wir die nächste Mathestunde, in der wir die Aufgabe ,,besprochen" haben. Deine Rechnung war absolut richtig (55/216 ist das Ergebnis)
Ganz genauso, wie du es gerechnet hast.
Vielen vielen vielen dank dafür. Hat mir doch gezeigt, auf was für simple Grundideen manche Aufgaben beruht.
Frage ist also beantwortet.
Danke!
Grüße Phoney
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