Würfelversuch Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten das Würfeln mit regelmäßigen Tetraedern (Vierflachen) mit gleichwahrscheinlichen Würfelflächen, die mit 1,2,3 und 4 beschriftet sind.
2. Das "Summenergebnis" eines gleichzeitigen Wurfs mit drei Tetraedern ist die Summe aller sichtbaren Würfelflächen. (Beachten Sie: Bei einem Tetraederwurf sind - je Würfel - drei Flächen sichtbar und nur die unten liegende Fläche nicht.) Definieren Sie eine geeignete Zufallsgröße (Zufallsvariable) [mm] X_{S} [/mm], die dieses Summenergebnis modelliert. Wie lautet der Erwartungswert des Summenergebnisses [mm] X_{S} [/mm] ? |
Also hat jemand einen Tipp für die Lösung dieser Aufgaben. Bis jetzt bin ich so weit gekommen:
Mir ist klar, dass die Summe jedes Würfels der Gesamtaugensumme (10) abzüglich des nicht sichtbaren (unten liegenden) Feldes entspricht. Daraus habe ich eine Zufallsvariable abgeleitet mit den Werten der verdeckten Felder der drei Würfel [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] : [mm] X_{ (v_{1},v_{2},v_{3}) } = 30 - ( v_{1} + v_{2} + v_{3} ) [/mm]
Um nun den Erwartungswert zu erhalten müsste ich ja zu allen möglichen Summen der Würfelwürfe die Wahrscheinlichkeiten kennen. Mir ist klar, dass 10 verschiedene Würfelaugensummen der unten liegenden Würfelseiten möglich sind: angefangen mit 3 ( jede unten liegende Würfelseite zeigt 1) bis maximal 12 (jede unten liegende Würfelseite zeigt 4).
Ich bin davon überzeugt, dass die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die einzelnen Summen symmetrisch ist, das also z.B. die Summen 7 und 8 die höchsten Wahrscheinlichkeiten haben, und das daher der Erwartungswert genau in der Mitte liegt (7.5).
Aber wie kann ich das rechnerisch belegen? Kurzum: Wie bekomme ich die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen 10 Summen, die ich ja zur Berechnung des Erwartungswertes benötige.... Es will mir nichts einfallen, nicht mal ein kombinatorisches Argument, das es mir ermöglicht, die Wahrscheinlichkeiten irgendwie zu berechnen... Ich bin euch für jeden Tipp dankbar.
-Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt-
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 So 22.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniel!
Es gilt ja:
[mm] $X_S [/mm] = [mm] X_{S_1} [/mm] + [mm] X_{S_2} [/mm] + [mm] X_{S_3}$,
[/mm]
also -da die [mm] $X_{S_i}$ [/mm] identisch verteilt sind:
[mm] $E[X_S] [/mm] = 3 [mm] \cdot \frac{1}{4} \cdot [/mm] (9+8+7+6) =3 [mm] \cdot [/mm] 7.5 = 22.5$.
Liebe Grüße
Stefan
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