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Würfelwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Sa 18.04.2015
Autor: mimo1

Aufgabe
Ein unverfälschter Würfel wird 3-mal geworfen. Betrachte die Ereignisse

A:="Die Summe der geworfenen Augenzahlen ist 11"
B:="Die Summe der geworfenen Augenzahlen ist 12"

(a) Gibt einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Sigma,\mathcal{F},P) [/mm] an und berechne P(A) und P(B).

(b) Der französischer Spiler Chevalier der Mre vertrat einmal Pascal gegenüber die Ansicht, dass die Augensummen 11 und 12 bei dreimaligen Würfelwurf gleich wahrscheinlich sein müssten. Seine Begründung: Beide Zahlen lassen sich auf gleich viele Arten in 3 Summanden aus [mm] \{1,...,6\} [/mm] zerlegen. Worin lag sein Denkfehler?

Hallo,

ich bin folgend an die aufgabe herangegangen:

zu a) [mm] \sigma={1,...,6} [/mm] , mathcal{F}={3,...,10,A,B} (alle Kombinationen die bei 3-maligen werfen eines Würfels möglich sind)
WIe bestimmt kann man den W-Raum?

11 lässt sich in folgenen Summanden aufschreiben:
11= 6+4+1=6+2+3=1+2+5=3+3+5=1+5+5
am ende erhält man 28 möglichkeiten

und für 12=4+4+4=6+2+4=6+3+3=6+5+1
am ende erhält man 18 möglichlkeiten
Aber kann man es anhand einer rechnung es berechnen? ich habe ohne Rechnung gemacht, sonderen einfach alle Möglichkeiten aufgelistet, was sehr zeitaufwendig ist.

[mm] P(A)=\bruch{|A|}{|\Sigma|}=\bruch{28}{216}=7/54 [/mm]

[mm] P(B)=\bruch{|B|}{|\Sigma|}=\bruch{18}{216}=1/12 [/mm]


(b) er hat die reihenfolge nicht beachtet.

Dankeschön im voraus.

        
Bezug
Würfelwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Sa 18.04.2015
Autor: reverend

Hallo mimo,

da stimmt noch etwas nicht.

> Ein unverfälschter Würfel wird 3-mal geworfen. Betrachte
> die Ereignisse
>  
> A:="Die Summe der geworfenen Augenzahlen ist 11"
>  B:="Die Summe der geworfenen Augenzahlen ist 12"
>  
> (a) Gibt einen Wahrscheinlichkeitsraum
> [mm](\Sigma,\mathcal{F},P)[/mm] an und berechne P(A) und P(B).
>  
> (b) Der französischer Spiler Chevalier der Mre vertrat
> einmal Pascal gegenüber die Ansicht, dass die Augensummen
> 11 und 12 bei dreimaligen Würfelwurf gleich wahrscheinlich
> sein müssten. Seine Begründung: Beide Zahlen lassen sich
> auf gleich viele Arten in 3 Summanden aus [mm]\{1,...,6\}[/mm]
> zerlegen. Worin lag sein Denkfehler?
>  Hallo,
>  
> ich bin folgend an die aufgabe herangegangen:
>  
> zu a) [mm]\sigma={1,...,6}[/mm] , mathcal{F}={3,...,10,A,B} (alle
> Kombinationen die bei 3-maligen werfen eines Würfels
> möglich sind)
> WIe bestimmt kann man den W-Raum?

Schau mal []hier.

> 11 lässt sich in folgenen Summanden aufschreiben:
>  11= 6+4+1=6+2+3=1+2+5=3+3+5=1+5+5

Da ist ein Tippfehler drin, außerdem fehlt Dir 3,4,4.

Etwas abgekürzt gibt es folgende Möglichkeiten:
146, 155, 236, 245, 335, 344.

>  am ende erhält man 28 möglichkeiten

Nein, 27.

> und für 12=4+4+4=6+2+4=6+3+3=6+5+1

Möglich sind 156, 246, 336, 345, 444.

>  am ende erhält man 18 möglichlkeiten

Nein, auch 27.

>  Aber kann man es anhand einer rechnung es berechnen? ich
> habe ohne Rechnung gemacht, sonderen einfach alle
> Möglichkeiten aufgelistet, was sehr zeitaufwendig ist.

...und sichtlich fehleranfällig.
Sagen Dir das Thema []Multinomialkoeffizient etwas? Damit kommst Du weiter.
  

> [mm]P(A)=\bruch{|A|}{|\Sigma|}=\bruch{28}{216}=7/54[/mm]
>  
> [mm]P(B)=\bruch{|B|}{|\Sigma|}=\bruch{18}{216}=1/12[/mm]

Die stimmen also beide nicht, siehe oben.  

> (b) er hat die reihenfolge nicht beachtet.

Sein Ergebnis stimmt, seine Begründung nicht. Da kannst Du in der Tat mit der Reihenfolge argumentieren, aber so ist es zu knapp ausgedrückt.
  

> Dankeschön im voraus.

Grüße
reverend

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