Wurzel-Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Sa 03.12.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Man zeige, dass [mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{x} [/mm] =1gilt für jedes x > 0. (Hinweis: Man verwende Bsp. 3 und das Einschließungskriterium.) |
Zu Bsp 3: Man beweise [mm] lim_{n -> \infty } [/mm] $ [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] $ =1
indem man auf der rechten Seite der Gleichung n = [1 + ( $ [mm] \wurzel[n]{n}-1)]^n [/mm] $ den binomischen Lehrsatz anwendet und dann geschickt abschätzt.
3) erledigt [mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{n} \le lim_{n->\infty} \wurzel{2/(n-1)} [/mm] + 1 = 1
Was muss ich nun bei dem Bsp machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Stoecki |
es gibt ein [mm] n_{0}, [/mm] s.d. alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] größer als x sind. damit kann man schon mal für alle x zeigen, dass dann deine folge [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] ab dort immer kleiner als deine wurzel n folge [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] ist. fehlt noch die untere schranke, welche für x [mm] \ge [/mm] 1 schon mal recht leicht sein sollte. schau mal wie weit du damit kommst.
gruß bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 03.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Hallo!
> es gibt ein $ [mm] n_{0}, [/mm] $ s.d. alle n $ [mm] \ge n_{0} [/mm] $ größer als x sind. damit kann man schon mal für alle x zeigen, dass dann deine folge $ [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] $ ab dort immer kleiner als deine wurzel n folge $ [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] $ ist.
n [mm] \ge n_0
[/mm]
n > x
woher weißt du die Informationen? wer sagt, dass n > x ?
Ich versteh deine ANsätze leider nicht.
Wir wissen dass sich [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] der 1 annähert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 03.12.2011 | | Autor: | JonasMe |
Vermutlich nicht die eleganteste Lösung, aber sehr anschaulich:
(1) x ist eine feste Zahl. Somit erhalten wir für n>x die Obergrenze
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}\le \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] =1
(2) Nun nach unten abschätzen:
Gleichen Trick wie zuvor bei (1): Es gibt immer ein n für das gilt x>1/n und somit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}\ge\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{1/n}=1 [/mm]
Fassen wir (1) und (2) zusammen erhalten wir das Einschlußkriterium:
[mm] 1\le \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}\le [/mm] 1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Sa 03.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Erstmal großes Dankeschön. ABer einiges ist mir nicht klar.
> (1) x ist eine feste Zahl. Somit erhalten wir für n>x die Obergrenze
Für jede Zahl gibt es eine noch größere Zahl oder wie'?
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}\le \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] $ =1
> (2) Nun nach unten abschätzen:
> Gleichen Trick wie zuvor bei (1): Es gibt immer ein n für das gilt x>1/n > und somit
Welche Eigenschaft nimmst du hier her? warum gilt x > 1/n
>$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}\ge\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{1/n}=1 [/mm] $
Woheri weißt du, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{1/n}=1 [/mm] ?
> Fassen wir (1) und (2) zusammen erhalten wir das Einschlußkriterium:
> $ [mm] 1\le \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}\le [/mm] $ 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal großes Dankeschön. ABer einiges ist mir nicht
> klar.
> > (1) x ist eine feste Zahl. Somit erhalten wir für n>x
> die Obergrenze
> Für jede Zahl gibt es eine noch größere Zahl oder
> wie'?
>
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}\le \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}[/mm]
> =1
> > (2) Nun nach unten abschätzen:
> > Gleichen Trick wie zuvor bei (1): Es gibt immer ein n
> für das gilt x>1/n > und somit
> Welche Eigenschaft nimmst du hier her? warum gilt x > 1/n
Wenn x>0 ist, so gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:
1/n<x für n>m.
Denn (1/n) ist eine Nullfolge.
> >[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}\ge\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{1/n}=1[/mm]
>
> Woheri weißt du, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{1/n}=1[/mm] ?
[mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1, also [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n}} \to [/mm] 1
[mm] \wurzel[n]{1/n}=\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
FRED
> > Fassen wir (1) und (2) zusammen erhalten wir das
> Einschlußkriterium:
> > [mm]1\le \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}\le[/mm] 1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 03.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Vielen, Vielen dank!
Ich denke, dass hab ich verstanden.
> Wenn x>0 ist, so gibt es ein m $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit:
> 1/n<x für n>m.
Ist das hier ein spezieller satz, dass dies gilt? Oder Hausverstand?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen, Vielen dank!
> Ich denke, dass hab ich verstanden.
> > Wenn x>0 ist, so gibt es ein m [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> > 1/n<x für n>m.
>
>
> Ist das hier ein spezieller satz, dass dies gilt? Oder
> Hausverstand?
Das ist das Archimedes _ Prinzip: zu jeder reellen Zahl y gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: m>y.
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Sa 03.12.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Ich hätte ein zweites beispiel, was gleich nach diesem folgt:
Seien [mm] a_1, a_2, [/mm] .. [mm] ,a_m [/mm] gegeben mit [mm] a_i \ge [/mm] 0, i =1,2,...,m,
a:= [mm] max_{1 \le i \le m} a_i. [/mm] Mit Hilfe von Bsp 1 zeige man
[mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n} [/mm] =a |
ah okay, habs gerade in meinen Skriptum nachgeschlagen!
[mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n} [/mm] = [mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n}
[/mm]
Kann ich das aufspalten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte ein zweites beispiel, was gleich nach diesem
> folgt:
> Seien [mm]a_1, a_2,[/mm] .. [mm],a_m[/mm] gegeben mit [mm]a_i \ge[/mm] 0, i
> =1,2,...,m,
> a:= [mm]max_{1 \le i \le m} a_i.[/mm] Mit Hilfe von Bsp 1 zeige
> man
>
> [mm]lim_{n->\infty} \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n}[/mm] =a
>
> ah okay, habs gerade in meinen Skriptum nachgeschlagen!
>
>
>
> [mm]lim_{n->\infty} \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n}[/mm] =
> [mm]lim_{n->\infty} \wurzel[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n}[/mm]
> Kann ich
> das aufspalten?
Nein.
[mm] $a^n \le a_1^n+...+a_m^n \le m*a^n$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Sa 03.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> !Aufgabe!
> Ich hätte ein zweites beispiel, was gleich nach diesem folgt:
> Seien $ [mm] a_1, a_2, [/mm] $ .. $ [mm] ,a_m [/mm] $ gegeben mit $ [mm] a_i \ge [/mm] $ 0, i =1,2,...,m,
> a:= $ [mm] max_{1 \le i \le m} a_i. [/mm] $ Mit Hilfe von Bsp 1 zeige man
> $ [mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n} [/mm] $ =a
Hallo nochmal
> $ [mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n} [/mm] $ =
> $ [mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n} [/mm] $
> Kann ich
> das aufspalten?
> Nein.
Schade ..
> $ [mm] a^n \le a_1^n+...+a_m^n \le m\cdot{}a^n [/mm] $
> Hilft das ?
Verwirrt mir ehrlich gesagt mehr als es mir was zeigt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Sa 03.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Noch wer einen Tipp? Aufgabe ist in meinen letzten Post!
Danke, liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) überlege und begründe warum freds umgleichung gilt. dann bilde die nte Wurzel und lass n gegen [mm] \unendlich [/mm] gehen-
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Ich hätte ein zweites beispiel, was gleich nach diesem folgt:
> Seien $ [mm] a_1, a_2, [/mm] $ .. $ [mm] ,a_m [/mm] $ gegeben mit $ [mm] a_i \ge [/mm] $ 0, i =1,2,...,m,
> a:= $ [mm] max_{1 \le i \le m} a_i. [/mm] $ Mit Hilfe von Bsp 1 zeige man
> $ [mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n} [/mm] $ =a
> $ [mm] a^n \le a_1^n+...+a_m^n \le m\cdot{}a^n [/mm] $
heißt ja
[mm] a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le [/mm] m * [mm] a^n
[/mm]
Was ist [mm] a^n [/mm] überhaupt in dem fall? Der Grenzwert hoch n ? warum ist der kleiner als die Summe? Und m ist die Anzahl der Elemente?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Ich hätte ein zweites beispiel, was gleich nach diesem
> folgt:
> > Seien [mm]a_1, a_2,[/mm] .. [mm],a_m[/mm] gegeben mit [mm]a_i \ge[/mm] 0, i
> =1,2,...,m,
> > a:= [mm]max_{1 \le i \le m} a_i.[/mm] Mit Hilfe von Bsp 1 zeige
> man
>
> > [mm]lim_{n->\infty} \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n}[/mm] =a
>
>
>
> > [mm]a^n \le a_1^n+...+a_m^n \le m\cdot{}a^n[/mm]
> heißt ja
> [mm]a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le[/mm] m * [mm]a^n[/mm]
> Was ist [mm]a^n[/mm] überhaupt in dem fall?
Du bist ja ein kleiner Witzbold !! Oben hast Du es doch selbst geschrieben:
a:= $ [mm] max_{1 \le i \le m} a_i. [/mm] $
Bei Dir gehts ja nach dem Motto: was kümmert mich mein Geschwätz von gestern.
FRED
> Der Grenzwert hoch n ?
> warum ist der kleiner als die Summe? Und m ist die Anzahl
> der Elemente?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Bei Dir gehts ja nach dem Motto: was kümmert mich mein Geschwätz von gestern.
Was? Ich versteh einfach nicht wie du auf die obige aussage kommst und was sie bedeutet.
> $ [mm] a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le [/mm] $ m * $ [mm] a^n [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Hast Du oben gefragt, was [mm] a^n [/mm] bedeutet ? Ja !
Hast Du noch weiter oben geschrieben: a:= $ [mm] max_{1 \le i \le m} a_i. [/mm] $ ? Ja !
Nachdem das jetzt geklärt ist, zurück zur Aufgabe:
Wir haben also: .
$ [mm] a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le [/mm] m * [mm] a^n [/mm] $
Jetzt ziehen wir die n-te Wurzel:
$a [mm] \le \wurzel[n]{ \sum_{i=1}^{m} a_i^n} \le \wurzel[n]{m}*a$
[/mm]
Was passiert, wenn n [mm] \to \infty [/mm] geht ?
FRED
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Wir haben also: .
> $ [mm] a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le [/mm] m [mm] \cdot{} a^n [/mm] $
> Jetzt ziehen wir die n-te Wurzel:
> $ a [mm] \le \wurzel[n]{ \sum_{i=1}^{m} a_i^n} \le \wurzel[n]{m}\cdot{}a [/mm] $
> Was passiert, wenn n $ [mm] \to \infty [/mm] $ geht ?
Hallo nochmals,
Ich hab dich im letzten Post gefragt wie du auf das hier kommst:
[mm] a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le [/mm] m [mm] \cdot{} a^n [/mm]
Ich versteh, dass nämlich nicht - wie ich auf das kommen sollte.!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Wir haben also: .
>
> > [mm]a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le m \cdot{} a^n[/mm]
>
> > Jetzt ziehen wir die n-te Wurzel:
>
> > [mm]a \le \wurzel[n]{ \sum_{i=1}^{m} a_i^n} \le \wurzel[n]{m}\cdot{}a[/mm]
>
> > Was passiert, wenn n [mm]\to \infty[/mm] geht ?
>
> Hallo nochmals,
> Ich hab dich im letzten Post gefragt wie du auf das hier
> kommst:
> [mm]a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le[/mm] m [mm]\cdot{} a^n[/mm]
> Ich versteh, dass nämlich nicht - wie ich auf das kommen
> sollte.!
Sei also $a:= max [mm] \{a_1,...., a_m\}$
[/mm]
Dann gibt es ein j [mm] \in \{1,2,..,m\} [/mm] mit : [mm] a=a_j. [/mm] Weiter ist [mm] a_i \le [/mm] a für i [mm] \in \{1,2,..,m\} [/mm]
Es folgt:
[mm] a^n=a_j^n \le a_1^n+...+a_j^n+...+a_m^n \le a^n+....+a^n=ma^n.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Hallo ;)
Danke, dass du das jetzt so ausführlich hingeschrieben hast. Jetzt hab ich es echt gut verstanden.
Hab eine Frage dazu:
a := max [mm] \{a_1,....a_m\}
[/mm]
heißt dass, das a das größte Element der Menge [mm] \{a_1,....a_m\} [/mm] ist?
von [mm] \{1,2,3\} [/mm] wäre das Maximum 3?
> > Jetzt ziehen wir die n-te Wurzel:
>
> > $ a [mm] \le \wurzel[n]{ \sum_{i=1}^{m} a_i^n} \le \wurzel[n]{m}\cdot{}a [/mm] $
Gut.
a ist ja dann die untereschranke von [mm] \wurzel[n]{ \sum_{i=1}^{m} a_i^n}, [/mm] ich hab gedacht sie ist ein Max?
[mm] \wurzel[n]{m} [/mm] ist ja 1(->obige Bsp,gezeigt). also ist die obere Schranke auch a?
so muss der ausdruck für [mm] n->\infty [/mm] gegen a konvergieren, weil im sonst nichts anderes überig bleibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ;)
> Danke, dass du das jetzt so ausführlich hingeschrieben
> hast. Jetzt hab ich es echt gut verstanden.
>
> Hab eine Frage dazu:
> a := max [mm]\{a_1,....a_m\}[/mm]
> heißt dass, das a das größte Element der Menge
> [mm]\{a_1,....a_m\}[/mm] ist?
Ja klar, was sonst ?
> von [mm]\{1,2,3\}[/mm] wäre das Maximum 3?
Ja
>
>
> > > Jetzt ziehen wir die n-te Wurzel:
> >
> > > [mm]a \le \wurzel[n]{ \sum_{i=1}^{m} a_i^n} \le \wurzel[n]{m}\cdot{}a[/mm]
>
> Gut.
> a ist ja dann die untereschranke von [mm]\wurzel[n]{ \sum_{i=1}^{m} a_i^n},[/mm]
> ich hab gedacht sie ist ein Max?
Du sagst: Berta ist meine Tante
Dein Onkel Paul sagt: Berta ist meine Frau.
FRED fragt: ja, was jetzt ? ich dachte Berta ist Tante !
Was antwortest Du ?
FRED
> [mm]\wurzel[n]{m}[/mm] ist ja 1(->obige Bsp,gezeigt). also ist die
> obere Schranke auch a?
> so muss der ausdruck für [mm]n->\infty[/mm] gegen a konvergieren,
> weil im sonst nichts anderes überig bleibt.
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
> Du sagst: Berta ist meine Tante
> Dein Onkel Paul sagt: Berta ist meine Frau.
>FRED fragt: ja, was jetzt ? ich dachte Berta ist Tante !
> Was antwortest Du ?
?hÄh? Das Bsp. stimmt doch jetzt so?
Kann man das auch mit einer anderen methode machen?
Indem man den Faktor [mm] a^n [/mm] aus der SUmme und der Wurzel rauszieht. und das sagt, dass a * Summe [mm] \ge [/mm] a ist? Anschließend nach oben abschätzt.
Weißt du was ich meine?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Du sagst: Berta ist meine Tante
>
> > Dein Onkel Paul sagt: Berta ist meine Frau.
>
> >FRED fragt: ja, was jetzt ? ich dachte Berta ist Tante !
>
> > Was antwortest Du ?
>
> ?hÄh? Das Bsp. stimmt doch jetzt so?
>
> Kann man das auch mit einer anderen methode machen?
> Indem man den Faktor [mm]a^n[/mm] aus der SUmme und der Wurzel
> rauszieht. und das sagt, dass a * Summe [mm]\ge[/mm] a ist?
> Anschließend nach oben abschätzt.
> Weißt du was ich meine?
Nein
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Auf welche Frage jetzt nein?
Der SChluss stimmt schon so?
Und was meinest du mit Tanten, Onkeln?- war das ein witzt den ich nicht verstehe?
Ich meinte
[mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{a_n* \sum_{i=1}^m (a_i/a_n)^n}= [/mm] a* [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a_i/a)^n} [/mm]
Die Summe ist doch [mm] \ge [/mm] 1 oder irre ich mich da????????? (Bitte um erklärung)
also ist auch die Wurzel größergleich 1
a* [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a_i/a)^n} \ge [/mm] a
a [mm] \le [/mm] a* [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a_i/a_n)^n} \le [/mm] a* [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a/a)^n} [/mm] = a * [mm] {\sum_{i=1}^m (1)^n} [/mm]
da komm ich aber nicht weiter ;( weil kein Laufindex i mehr vorkommt. ist dass dann = 1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mo 05.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nach dem letzten = fehlt die wurzel über der Summe.
[mm] \summe_{i=1}^{n}^1=1+1+1+...+1=n*1
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
natürlich
[mm] \wurzel[n]{( {\sum_{i=1}^m (1)^n})} [/mm] =
[mm] \wurzel[n]{n*1} [/mm] das wäre dann aber 1 wenn ich n gegen unendlich gehen lasse!
Müsste aber a sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mo 05.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du antwortest zu schnell. sieh dir deinen Ausdruck nochmal an.
du reagierst auf Bruchstücke und hast die Aufgabe nicht mehr im Blick!
schreib komprimiert auf, was du jetzt hast!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 05.12.2011 | | Autor: | quasimo |
Beweis numero 1)
$ [mm] a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le [/mm] m [mm] \cdot{} a^n [/mm] $
$ a [mm] \le \wurzel[n]{ \sum_{i=1}^{m} a_i^n} \le \wurzel[n]{m}\cdot{}a [/mm] $
-> n [mm] \to \infty [/mm]
$ [mm] \wurzel[n]{m} [/mm] $ = 1
dehalb Muss die Wurzel der Summe nach a konvergieren
Beweis numero 2) (weiß nicht ob man es so machen darf, kann)
Ich meinte
$ [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel[n]{a_n\cdot{} \sum_{i=1}^m (a_i/a_n)^n}= [/mm] $ a* $ [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a_i/a)^n} [/mm] $
Die Summe ist doch $ [mm] \ge [/mm] $ 1 also ist auch die Wurzel größergleich 1
a* $ [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a_i/a)^n} \ge [/mm] $ a
a $ [mm] \le [/mm] $ a* $ [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a_i/a_n)^n} \le [/mm] $ a* $ [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a/a)^n} [/mm] $ = a * $ [mm] \wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (1)^n} [/mm] $
= a * [mm] \wurzel[n]{m*1} [/mm] -- n -> [mm] \infty [/mm] --- 1*a = a
Meine Frage:
>> !! Wo es glaub ich scheitert, ist dass a=0 sein kann ;(. Oder was sagst du?
>> Die Summe ist doch $ [mm] \ge [/mm] $ 1, stimmt das wirklich? (Bitte bergründen)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweis numero 1)
> [mm]a^n \le \sum_{i=1}^{m} a_i^n \le m \cdot{} a^n[/mm]
>
> [mm]a \le \wurzel[n]{ \sum_{i=1}^{m} a_i^n} \le \wurzel[n]{m}\cdot{}a[/mm]
>
> -> n [mm]\to \infty[/mm]
> [mm]\wurzel[n]{m}[/mm] = 1
> dehalb Muss die Wurzel der Summe nach a konvergieren
>
> Beweis numero 2) (weiß nicht ob man es so machen darf,
> kann)
> Ich meinte
> [mm]\wurzel[n]{\sum_{i=1}^m a_i^n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{a_n\cdot{} \sum_{i=1}^m (a_i/a_n)^n}=[/mm]
> a* [mm]\wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a_i/a)^n}[/mm]
Nach dem ersten "=" sollte wohl [mm] a^n [/mm] statt [mm] a_n [/mm] stehen. Oder nicht ?
>
> Die Summe ist doch [mm]\ge[/mm] 1 also ist auch die Wurzel
> größergleich 1
>
> a* [mm]\wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a_i/a)^n} \ge[/mm] a
>
> a [mm]\le[/mm] a* [mm]\wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a_i/a_n)^n} \le[/mm] a*
> [mm]\wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (a/a)^n}[/mm] = a *
> [mm]\wurzel[n]{\sum_{i=1}^m (1)^n}[/mm]
>
> = a * [mm]\wurzel[n]{m*1}[/mm] -- n -> [mm]\infty[/mm] --- 1*a = a
>
> Meine Frage:
> >> !! Wo es glaub ich scheitert, ist dass a=0 sein kann
Na ja, wenn a=0 ist, sinnd alle [mm] a_i=0 [/mm] und damit ist die Beh. trivial. Du kannst also von a>0 ausgehen.
> ;(. Oder was sagst du?
Obiges ist schon ein wenig chaotisch !
FRED
> >> Die Summe ist doch [mm]\ge[/mm] 1, stimmt das wirklich? (Bitte
> bergründen)
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