Wurzel-Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 So 29.11.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Löse die Gleichg.
[mm] \wurzel{x-3}[/mm] = 5
Mist die -3 soll aber noch mit unter der Wurzel stehen. |
Der Schüler löst es mit Quadrieren,
aber ich denke:
muss der Term x-3 nicht definiert werden, d.h.
x-3 darf nicht neg. sein?
Und dann Buchstabe D mit Dopp.strich f. Menge, geschwungene Klammer,
x f. die x größer od. gleich 3, Kl. zu?
Das ist meine Frage: "nur Quadrieren oder definieren?"
Für Antw. vorab schon ein fettes DANKESCHÖN
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 So 29.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Giraffe!
Ihr redet hier von unterschiedlichen Dingen: Zum Lösen der obigen Gleichung ist es richtig, beide Seiten der Gleichung zu quadrieren.
Aber aufgepasst ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") : Das Quadrieren eine Gleichung ist keine Äquivalenzumformung. Daher ist es unerlässlich, am Ende die Probe mit der Ausgangsgleichung durchzuführen.
Genauso sollte vor dem Lösen der Wurzelgleichung der zugehörige Definitionsbereich (wie von Dir korrekt beschreiben) erstellt werden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Loddar oder andere, falls Loddar jetzt wech is.
>Das Quadrieren eine Gleichg ist KEINE Äquivalenzumformg.
Ja, weil
[mm] 4^2 \Rightarrow\ [/mm] 16
der Rückwärtsweg nämlich nicht mehr geht und auf 4 zurückführt
sondern [mm] \wurzel{16} [/mm] ergibt 2 Ergeb. +4 UND -4.
Desweg. darf man nicht schreiben
[mm] 4^2 \gdw16
[/mm]
Das ist soweit klar.
Aber:
>Daher ist es unerlässlich, am Ende die Probe mit der Ausgangs-
gleichung durchzuführen.
Warum?
Ich muss zugeben, dass ich noch NIE mit Wurzelgleichungen oder
Wurzel-Fkt. etw. zu hatte.
Aber zufällig wußte ich, was Äquivalenzumformungen sind u. konnte
das so wie eben oben erklären.
Kann ich diese
[mm] \wurzel{x-3} [/mm] = 5
mal lösen u. das dann vielleicht mal sehen, warum eine Probe
unerläßlich sein sollte?
Also, als erstes quadrieren, dann x-3 = [mm] 5^2
[/mm]
Aber muss man nicht x-3 in Klammer setzten u. +/- davor schreiben,
+/- (x-3) = 25 ?
Okey, mache ich 2 draus, sonst weiß ich nicht, wie ichs schreiben soll.
+(x-3) = 25, dann x=28
- (x-3) = 25, dann x=22
Und jetzt soll ich ne Probe machen?
Warum soll die unerläßlich sein? Ich habe ein gutes Gefühl, dass
das stimmt. Warum soll ich die jetzt unbedingt machen müssen? Mach
ich doch sonst bei anderen Aufg. auch nicht.
Und noch eine Frage:
>Genauso sollte vor dem Lösen der Wurzelgleichg der zugehörige
>Def.bereich erstellt werden.
Und nun habe ich mich gerade fürs Quadrieren entschieden u. den
Def.bereich festzulegen in Hintergrund gestellt mit folgender Be-
gründung: Ich kenne es nur bei der Division durch Null. So ein
mathematisches "No go". Verboten u. Tabu, deswegen MUSS
IMMER ausgeschlossen werden, dass der Nenner oder Dividend
0 ist. Hier bei dieser Aufg. gibt es aber so ein absolutes Verbot
nicht. Ist doch nicht verboten, wenn rauskommt 6=5.
Ist ungleich, aber deswegen doch nicht verboten. Oder wie ist es
zu verstehen.
Ich versuche jetzt trotzdem mal parallel die Probe u. den Def.
festzulegen. Mal sehen was passiert. Ich bin gespannt u. auch
auf Antw.
Vielleicht schaue ich heute abend nochmal hier, sonst morgen.
Vielen DANK, dass ich bisher immer von euren Erkenntnissen
profitieren durfte u. ihr sie hier für mich veröffentlicht.
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Giraffe |
+(x-3) = 25, dann x=28
-(x-3) = 25, dann x=22
Hiernach habe ich den Def.bereich festgelegt
[mm] x\ge\ [/mm] 0
Wunderbar, passt.
Und jetzt soll ich ne Probe machen?
Klingt doch alles gut.
Aber die Probe macht ja richtig Wirbel:
[mm] \wurzel{28-3}
[/mm]
+/-5 = 5
So u. da stimmt nur die Hälfte, nämlich 5=5
Jetzt Probe mit x=22
+/- [mm] \wurzel{19} [/mm] ist gar nicht u. nie gleich 5.
Keine Ahnung, wie ist das jetzt zu interpretieren?
Probe ergab 4 verschiedene Ergebnisse, wovon
nur eines stimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mo 30.11.2009 | | Autor: | chrisno |
Beispiel:
[mm] $\sqrt{x} [/mm] = -4$ | quadrieren
$x = 16$
Probe: [mm] $\sqrt{16} [/mm] = 4$ also ist 16 nicht die Lösung.
Wenn Du [mm] $x^2 [/mm] = 16$ als Aufgabe hast und nun die Wurzel ziehst,
dann musst Du daran denken, dass Du zwei Lösungen bekommen kannst: [mm] $+\sqrt{16}$ [/mm] und [mm] $-\sqrt{16}$
[/mm]
Also hängt das abzuarbeitende Programm davon ab, ob Du quadrierst oder ob Du die Wurzel ziehst.
Da Du bei Deiner Aufgabe quadrierst, hast Du das Problem, dass etwas herauskommen kann, das keine Lösung ist. Die [mm] $\pm$ [/mm] Diskussion hast Du hier nicht.
Also landest Du bei x = 28. Die Probe zeigt, dass dies auch die Lösung ist.
Rechne zum Vergleich die Aufgabe
[mm] $-\sqrt{x-3} [/mm] = 5$
Bitte sag nicht, dass man das doch sieht, dass es nicht geht. Rechne erst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 So 06.12.2009 | | Autor: | Giraffe |
Frage1
>Also landest Du bei x=28.
>Die Probe zeigt, dass dies auch die Lösung ist.
Wirklich? Denn eigentl. stimmt ja nur die Hälfte der Probe:
-5=5 stimmt nicht, es stimmt nur 5=5
Wie ist damit jetzt umzugehen oder das zu werten? Du hörst dich
so an, als könnte ich es lässig einfach nur ignorieren.
Frage 2
Zu der Aufg., die du mir gestellt hast: Ich glaube mir fehlen grundsäztl.
Kenntnisse in Potenzrechnen:
Ich weiß nicht, ob ich mal -1 machen soll, dann: Radikand neg. = keine Lösung.
Aber vllt. geht das gar nicht u. ich muss die Wurzel betrachten, als wäre es ein
Klammerausdruck, dann
- x+3=25
- x=22
x= - 22
Probe ergibt aber, dass x=-22 keine Lösung ist.
Keine Ahnung, wie kriege ich das Minus vor der Wurzel weg?
Herzlichen DANK f. helfende Antw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 So 06.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast:
[mm] \red{(}-\sqrt{x-3}\red{)}=5
[/mm]
Wenn du das ganze jetzt quadrierst, ergibt sich:
[mm] \red{(}-\sqrt{x-3}\red{)}^{2}=5^{2}
[/mm]
[mm] \gdw\red{(}x-3\red{)}=25
[/mm]
[mm] \gdw28=x
[/mm]
Wenn du dir unsicher bist, wegen des -, multipliziere erst mit (-1), also:
[mm] \red{(}-\sqrt{x-3}\red{)}=5
[/mm]
[mm] \gdw \sqrt{x-3}=\red{-}5
[/mm]
Wenn du ein Minus VOR der Wurzel stehen hast, kann man diese ohne Probleme ziehen, also z.B. ist [mm] -\wurzel{2} [/mm] oder [mm] -\wurzel{a-b} [/mm] (für $ [mm] a\ge [/mm] b $) definiert.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 06.12.2009 | | Autor: | Giraffe |
Marius, thanks a lot.
Wie blöde v. mir, natürl. wieß ich, dass -*-=+ ist,
habe die Bäume vor lauter Wald nicht erkannt.
Alles klar, ist ja einfach u. easy.
Aber eine Antw. fehlt noch:
>Also landest Du bei x=28.
>Die Probe zeigt, dass dies auch die Lösung ist.
Ich behaupte, dass es nur die halbe Lösung ist, die andere
Hälfte ist FALSCH.
Für Probe [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] eingesetzt ergibt das:
-5=5 stimmt nicht
5=5 stimmt
Frage:
Es stimmt ja nur die Hälfte der Lösung!?
Wie ist damit jetzt umzugehen oder wie ist das zu werten?
Es scheint einfach ignoriert werden zu können??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 So 06.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo noch einmal,
> Marius, thanks a lot.
> Wie blöde v. mir, natürl. wieß ich, dass -*-=+ ist,
> habe die Bäume vor lauter Wald nicht erkannt.
> Alles klar, ist ja einfach u. easy.
> Aber eine Antw. fehlt noch:
>
> >Also landest Du bei x=28.
> >Die Probe zeigt, dass dies auch die Lösung ist.
Ich halte fest: $x=28$ ist die Lösung.
> Ich behaupte, dass es nur die halbe Lösung ist, die andere
> Hälfte ist FALSCH.
Was? Halbe Lösung? Das ist absurd! "Halbe Lösungen" gibt es nicht!! Und es wird auch nie "halbe Lösungen" geben! Diesen Begriff solltest Du Dir ganz schnell aus den Kopf schlagen. Entweder ist etwas eine Lösung oder nicht. Oder wie definierst Du eine "ein fünfzehntel Lösung"?
> Für Probe [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] eingesetzt ergibt das:
> -5=5 stimmt nicht
> 5=5 stimmt
> Frage:
> Es stimmt ja nur die Hälfte der Lösung!?
> Wie ist damit jetzt umzugehen oder wie ist das zu werten?
> Es scheint einfach ignoriert werden zu können??
>
Nur eine Empfehlung an Dich von mir persönlich: Gewöhne Dir bitte in Zukunft an Abkürzungen im Text zu vermeiden und die Probleme präzise zu formulieren. Damit würdest Du den Helfern hier im Forum enorm entgegenkommen. M.Rex hat Dein Problem sehr gut zusammen gefasst.
Gruß
Denny
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Hallo Marius,
> [mm]\gdw \sqrt{x-3}=\red{-}5[/mm]
Also wenn ich z.B. die Funktion [mm]f(x):=\sqrt{x-3}[/mm] im Reellen definiere, so hat diese den Definitionsbereich [mm]\mathbb{R}_{>3}[/mm], oder? Und somit ist auch [mm]\forall x\in\mathbb{R}_{>3}:f(x)>0[/mm]. Das bedeutet aber, daß es kein [mm]x\![/mm] geben kann, so daß [mm]f(x)=-5\![/mm] gilt, richtig?
Gruß V.N.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 So 06.12.2009 | | Autor: | Giraffe |
na endlich,
ja alles klar.
Das eine Mathebuch, darin steht:
1. Wurzel isolieren
2. quadrieren
3. Probe
ist nicht so gut, sonst wäre meine Frage nicht entstanden
In einem anderen Buch fand ich dazu:
1. Def.bereich festlegen
2. Wurzel isolieren
3. quadrieren
4. Probe
Alles klar, danke dir.
Uffs, sehr gut.
Ist ja nur logisch.
Wieder was abgeharkt
DANKE schön!!!!
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