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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Biboo |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren.
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{k+(-1)^{k}}} [/mm] |
Ich habe die Reihe auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz überprüft.
Mein Problem liegt in der Lösung.
Überprüfe ich dies mit dem Wurzelkriterium, erhalte ich [mm] \bruch{1}{3} [/mm] < 1
Überprüfe ich die Reihe mit dem Quotientenkriterium erhalte ich folgendes:
[mm] \vmat{\bruch{1}{3}\* 9^{(-1)^{k}}}
[/mm]
also für ungerade k ergibt das [mm] \bruch{1}{27} [/mm] und für gerade k ergibt das 3
Daraus könnte ich ja nicht auf absolute Konvergenz schließen?
Dürfte ich darauf noch das Wurzelkriterium anwenden? Dann würde das Ergebnis ja mit ersterem übereinstimmen.
Außerdem hab ich noch zwei Frage zu dem Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz.
Wird bei der absoluten Konvergenz nur das Vorzeichen ignoriert, weil man ja die Betragsstriche setzt.
Mit den beiden genannten Kriterien kann man laut Wikipedia auf Konvergenz und absolute Konvergenz prüfen. Wie sieht man denn im Nachhinein den Unterschied? Wahrscheinlich hab ich einfach noch nicht den Unterschied zwischen den Konvergenzen verstanden.
Ich bedanke mich im Voraus für euer Bemühen mir zu helfen!
Grüße von Alex!
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Hallo Alexander,
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren.
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{k+(-1)^{k}}}[/mm]
gemeint ist die Reihe [mm] $\sum\limits_{\red{k}=0}^{\infty}\frac{1}{3^k+(-1)^k}$ [/mm] ?!
> Ich habe
> die Reihe auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz
> überprüft.
>
> Mein Problem liegt in der Lösung.
>
> Überprüfe ich dies mit dem Wurzelkriterium, erhalte ich
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] < 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das erhalte ich auch!
>
> Überprüfe ich die Reihe mit dem Quotientenkriterium erhalte
> ich folgendes:
>
> [mm]\vmat{\bruch{1}{3}\* 9^{(-1)^{k}}}[/mm]
Hmm, ich komme mit dem QK auch auf [mm] $\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{3^k+(-1)^k}{3^{k+1}+(-1)^{k+1}}=\frac{3^k+(-1)^k}{3^{k}\cdot{}3+(-1)\cdot{}(-1)^{k}}=\frac{3^k\cdot{}\left[1+\left(-\frac{1}{3}\right)^k\right]}{3^k\cdot{}\left[3-\left(-\frac{1}{3}\right)^k\right]}=\frac{1+\left(-\frac{1}{3}\right)^k}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)^k}\longrightarrow \frac{1}{3}$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Wegen [mm] $\frac{1}{3}<1$ [/mm] folgt mit dem QK absolute Konvergenz der Reihe
> also für ungerade k
> ergibt das [mm]\bruch{1}{27}[/mm] und für gerade k ergibt das 3
>
> Daraus könnte ich ja nicht auf absolute Konvergenz
> schließen?
>
> Dürfte ich darauf noch das Wurzelkriterium anwenden? Dann
> würde das Ergebnis ja mit ersterem übereinstimmen.
Nein, nicht nötig, du hast irgendwas beim QK verhauen ...
>
> Außerdem hab ich noch zwei Frage zu dem Unterschied
> zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz.
> Wird bei der absoluten Konvergenz nur das Vorzeichen
> ignoriert, weil man ja die Betragsstriche setzt.
>
> Mit den beiden genannten Kriterien kann man laut Wikipedia
> auf Konvergenz und absolute Konvergenz prüfen. Wie sieht
> man denn im Nachhinein den Unterschied? Wahrscheinlich hab
> ich einfach noch nicht den Unterschied zwischen den
> Konvergenzen verstanden.
"Normale" Konvergenz bedeutet, dass die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] konvergiert, "absloute" Konvergenz bedeutet, dass die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}|a_k|$ [/mm] konvergiert
Aus absoluter Konvergenz folgt normale Konvergenz, umgekehrt stimmt das nicht, zB.:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{k}$ [/mm] konvergiert (alternierende harmonische Reihe), aber [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left|(-1)^k\cdot{}\frac{1}{k}\right|=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] divergiert (harmonische Reihe)
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> Ich bedanke mich im Voraus für euer Bemühen mir zu helfen!
>
> Grüße von Alex!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Biboo |
Hallo schachuzipus und danke für deine Antwort.
Allerdings bist du jetzt doch von der falschen Aufgabe ausgegangen. Also die Reihe war schon richtig von mir geschrieben, bis auf das "i=0" unter dem Summenzeichen, das muss natürlich ein k sein.
Also es ist schon so, dass [mm] "k+(-1)^{k}" [/mm] im Exponenten steht.
Es steht auch so in der Lösung der Aufgabe,dass 1/27 und 3 rauskommen bei ungeraden/gerade k, vielleicht hätte ich das dazuschreiben sollen, tut mir leid.
Ich schreib den Lösungsweg einfach mal kurz hin, damit du dir selbst nicht mehr die Arbeit machen musst.
[mm] \vmat{ \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}}=\vmat{\bruch{3^{k+(-1)^{k}}}{3^{k+1+(-1)^{(k+1)}}}}=\vmat{\bruch{1}{3}\*3^{(-1)^{k}-(-1)^{(k+1)}}}=\vmat{\bruch{1}{3}\*3^{(-1)^{k}+(-1)^{k}}}=\vmat{\bruch{1}{3}\*3^{2\*(-1)^{k}}}=\vmat{\bruch{1}{3}\*9^{(-1)^{k}}}
[/mm]
Da kommt dann bei ungeraden k [mm] \bruch{1}{27} [/mm] und bei geraden k 3 heraus.
Ich bin auf eine Lösung gespannt wie man mit so einem Ergebnis umgehen soll! :)
Grüße Alex!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Do 18.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich habe deinen Rechenweg jetzt nicht überprüft, aber solche Reihen sind die Musterbeispiele dafür, wo sich das Quotientenkriterium nicht anwenden lässt, aber das Wurzelkriterium schon. Viele Leute denken auch, dass eine Reihe divergiert, falls [mm] $\limsup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$ [/mm] ist. Das ist natürlich falsch, wie diese Reihe zeigt.
Gruß, Robert
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