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Forum "Zahlentheorie" - Wurzel
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Wurzel: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 So 01.11.2009
Autor: ulla

Aufgabe
Beweise die Identitäten:

1) [mm] \wurzel[3]{\wurzel[3]{2} - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (\wurzel[3]{3} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{6} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{12}) [/mm]
2) [mm] \wurzel{\wurzel[3]{5} - \wurzel[3]{4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (\wurzel[3]{2} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{20} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{25}) [/mm]
3) [mm] \wurzel[6]{7*\wurzel[3]{20} - 19} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{\bruch{5}{3}} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{\bruch{2}{3}} [/mm]
4) [mm] \wurzel[4]{\bruch{3+2+\wurzel[4]{5}}{3-2+\wurzel[4]{5}} }= \bruch{\wurzel[4]{5}+1}{\wurzel[4]{5}-1} [/mm]


Hallo
Kann mir hier bitte jemand helfen. Ich kann die Wurzelgesetze alle aber weiß leider nicht wie ich das beweisen kann?
Durcheinander werde ich auch bei
1) [mm] \wurzel[3]{\wurzel[3]{2} - 1} [/mm] = [mm] 2^{\bruch{1}{3} * \bruch{1}{3}} [/mm] - [mm] 1^{\bruch{1}{3}} [/mm] = weiter komm ich nicht, da ich keine verbindung zu der Identität finde Ich bitte um Hilfe
Danke im Voraus


Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Wurzel: Zu 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 So 01.11.2009
Autor: Plinius

zur Aufgabe 1: > Beweise die Identitäten:
>  
> 1) [mm]\wurzel[3]{\wurzel[3]{2} - 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} (\wurzel[3]{3}[/mm]
> - [mm]\wurzel[3]{6}[/mm] + [mm]\wurzel[3]{12})[/mm]

>  [mm]\wurzel[3]{\wurzel[3]{2} - 1}[/mm] = [mm]2^{\bruch{1}{3} * \bruch{1}{3}}[/mm] - [mm]1^{\bruch{1}{3}}[/mm]

Hier hast du das Wurzelgesetz falsch angewendet ... gilt nur in der Multiplikation....

habe einen Weg gefunden das zu machen :

[mm]\bruch{1}{3} (\wurzel[3]{3}[/mm] - [mm]\wurzel[3]{6}[/mm] + [mm]\wurzel[3]{12})[/mm] = [mm] (\bruch{1}{9})^{\bruch{1}{3}} (1-2^\bruch{1}{3}+4^\bruch{1}{3}) [/mm]

bis hier hin eigentlich ganz einfaches umschreiben der Wurzeln und dann ausklammern der [mm] 3^{\bruch{1}{3}} [/mm] und Kürzen mit [mm] \bruch{1}{3} [/mm] kommt raus [mm] (\bruch{1}{3})^{\bruch{2}{3}} [/mm] was ja dann [mm] (\bruch{1}{9})^{\bruch{1}{3}} [/mm] macht

jetzt alles hoch drei

[mm] 2^\bruch{1}{3} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{1}{9} (1-2^\bruch{1}{3}+4^\bruch{1}{3})^3 [/mm]

oder anders geschrieben:

[mm] 2^\bruch{1}{3} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{1}{9} (1-2^\bruch{1}{3}+4^\bruch{1}{3}) (1-2^\bruch{1}{3}+4^\bruch{1}{3}) (1-2^\bruch{1}{3}+4^\bruch{1}{3}) [/mm]

ab hier wird es einfach :

einfach die Klammern miteinander ausmultiplizieren...

und immer wieder zwischendurch zusammenfassen um nicht die Übersicht zu verlieren....

[mm] 2^\bruch{1}{3} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] (3 (-1 + [mm] 4^\bruch{1}{3})) (1-2^\bruch{1}{3}+4^\bruch{1}{3}) [/mm]

3 Kürzen....

nächste Klammer ausmultipliziert kommt raus :

[mm] 2^\bruch{1}{3} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (3 (-1 + [mm] 2^\bruch{1}{3}) [/mm]

Bissel kürzen und umschreiben und zack....

[mm] 2^\bruch{1}{3} [/mm] - 1 = [mm] 2^\bruch{1}{3} [/mm] - 1

analog müsste der rest auch funktionieren

Bezug
                
Bezug
Wurzel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 So 01.11.2009
Autor: ulla

Danke für deine Antwort! Ich habe den Anfang verstanden aber dann kann ich die Klammern nicht ausrechnen , ich komme nicht auf das Ergebnis. Könntest du mir die Schritte bitte aufschreiben da ich nicht weiß wie ich auf das Ergebnis komme. Ich habe schon mehrere Rechenwege versucht aber [mm] 2^{\bruch{1}{3}}-1 [/mm] bekomme ich nicht raus. Kann mir bitte jemand helfen??

zu der 2) hätte ich :
[mm] 5^{\bruch{1}{3}}-4^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] (\bruch{2}{27}) ^{\bruch{1}{3}}(1+2^{\bruch{1}{3}}-(\bruch{2}{25})^{\bruch{1}{3}}) [/mm] ist das soweit richtig??

bei der 3) und der 4) finde ich keinen Ansatz.
Danke schon im Voraus für die Hilfe.

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Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:14 Mo 02.11.2009
Autor: leduart

Hallo ulla
Plinius hat dir doch schon Zwischenergebnisse geliefert.
Das ist nur ne blöde Aufpassarbeit, machs nicht so schnell, ist für uns so langweilig wie für dich.
Im zweifel poste genau was du gerechnet hast. Aber 2 Klammern brav und langsam ausmult. kann jeder auch du.
Kannst du verraten, wer sich so sinnlose und sadistische Aufgaben ausdenkt?
(du kannst Zwischenergebnisse die du hast ja mit dem TR überprüfen. Beide Klammern Mit TR einzeln rechnen, dann mult. dein Ergebnis auch in den TR eintippen. Das hilft nix beim beweisen, aber um deine Rechnungen zu überprüfen schon.)
Gruss leduart

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Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:11 Mo 02.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


>  Kannst du verraten, wer sich so sinnlose und sadistische
>  Aufgaben ausdenkt?


Naja, der eine findet diese Aufgaben "sehr fein", der
andere "sinnlos und sadistisch".

Die "Wahrheit" liegt möglicherweise nicht mal irgendwo
dazwischen - das muss schon jeder für sich selber
entscheiden.

LG    Al

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Wurzel: Sadistische Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:05 Mo 02.11.2009
Autor: rabilein1


>  Kannst du verraten, wer sich so sinnlose und sadistische
> Aufgaben ausdenkt?

Gegen so sinnlose und sadistische Aufgaben gibt es nur ein Gegenmittel:
Genau so sadistisch zu antworten.

Nämlich: Wenn ich bei der ersten Aufgabe die linke Seite der Gleichung in meinen Taschenrechner eingebe, dann zeigt mir der Rechner als Ergebnis an:
0.63818582

Die rechte Seite der Gleichung liefert als Ergebnis: 0.63818582

Nun könnte das zwar Zufall sein, und ab der 12. Stelle hinter dem Komma könnten  die linke und rechte Seite voneinander abweichen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das geschieht, ist aber so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass die DNA von zwei miteinander nicht verwandten Menschen zufällig identisch ist.

Und genau so wie heutzutage das Ergebnis einer DNA-Analyse vor Gericht als "Beweis" anerkannt wird, sollten wir auch die Übereinstimmung zweier Zahlen bis auf die neunte Stelle hinter dem Komma in diesem Fall als "Beweis" anerkennen.
So etwas kann unmöglich nur purer Zufall sein.



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Wurzel: Beweis mit TR
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:26 Mo 02.11.2009
Autor: pi-roland

Hallo,

diese klassischen Problem sind auch ohne Taschenrechner lösbar und wenn ich die beiden Seiten der 3. Gleichung mit selben approximistisch bestimme, dann erhalte ich eine Abweichung von mehr als [mm] \(10^{-11}. [/mm] Laut Beschreibung müsste er aber mit 15 Stellen rechnen. Ist das Gleichheitszeichen nun berechtigt, oder nicht?
Das schöne bei der DNA ist, dass es nur eine begrenzte Anzahl an Menschen auf der Welt gibt (und selbst wenn man alle verstorbenen mitrechnet, sind es noch wenige). Den Luxus kann man sich mathematisch halt nicht leisen. Denn nach obigen Beispiel sind nur rund [mm] \(10^{11}\) [/mm] (Einhundertmilliarden) Menschen nötig um zwei zu finden, die die gleiche DNA haben.
Mir ist eigentlich nur ein (relativ einfaches) Beispiel bekannt, wo der Computer zur Beweisfindung benötigt wurde: Das Vier-Farben-Problem, laut dessen es möglich ist jede zweidimensionale Landkarte so einzufärben, dass benachbarte Länder unterschiedliche Farben haben - und das mit maximal 4 Farben.
Aber genug davon.
Ich wünsche noch angenehme mathematische Stunden,


pi-roland.

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Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 02.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo rabilein,

ich könnte mir vorstellen, dass man einen Taschen-
rechner und ein Beispiel von zwei Termen A und B
finden kann mit folgender Eigenschaft:

1.) man kann algebraisch beweisen, dass A=B

2.) der Rechner liefert für A und B verschiedene
    Ergebnisse, zum Beispiel

      A: 0.733581268    B: 0.733581267

Würdest du das rechnerische Ergebnis dann
(nehmen wir an, der Beweis für A=B sei dir
nicht bekannt) als Beweis dafür nehmen,
dass [mm] A\not=B [/mm] ?

LG     Al    

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Bezug
Wurzel: Zweifelhafter Beweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 Mo 02.11.2009
Autor: rabilein1


> 1.) man kann algebraisch beweisen, dass A=B

> 2.) der Rechner liefert für A und B verschiedene Ergebnisse

    

> Würdest du das rechnerische Ergebnis dann
> (nehmen wir an, der Beweis für A=B sei dir
>  nicht bekannt) als Beweis dafür nehmen,
>  dass [mm]A\not=B[/mm] ?

Laut meinem Taschenrehner ist [mm] \wurzel{2} [/mm] = 1.4142135

Nun tippe ich ein: 1.4142135 * 1.4142135
und erhalte als Ergebnis:  1.9999998

Ob das nun der "Beweis" dafür ist, das [mm] \wurzel{2}*\wurzel{2}\not=2 [/mm] ist, wage ich mal zu bezweifeln.

Al-Chwarizmi, um auf deine Frage zurückzukommen:
Wenn ich nicht wüsste, ob [mm] \wurzel{2}*\wurzel{2}=2 [/mm] ist oder nicht, dann wäre ich anhand des Ergebnisses meines TR auch nicht viel schlauer.

In der Praxis würde ich in so einem Fall versuchen, weitere Indizien zu finden, durch die die These entweder weiter bekräftigt oder als Falsch herausgestellt wird (wenn mir ein "Beweis" nicht möglich ist)

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Bezug
Wurzel: Aufgabe 3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 So 01.11.2009
Autor: pi-roland

Guten Abend,

sehr feine Aufgaben, die du da hast... Hab eine Weile geknobelt und kann dir zumindest bei Aufgabe 3 helfen:
Witziger Weise kann nicht mal mein Taschenrechner mit integriertem CAS diese Identität bestätigen, aber er hat mit trotzdem bei der Lösung helfen können. Nun aber los:
Als erstes habe ich beide Seiten "kubiert", d.h. hoch [mm] \(3\) [/mm] genommen. Dabei half mir mein Taschenrechner, aber ich denke, du wirst das auch händig herausbekommen.
[mm] \(\sqrt{7\cdot 20^{\frac{1}{3}}-19}=1-5^{\frac{2}{3}}2^{\frac{1}{3}}+5^{\frac{1}{3}}2^{\frac{2}{3}}\) [/mm]
oder anders geschrieben:
[mm] \(=1-50^{\frac{1}{3}}+20^{\frac{1}{3}}\) [/mm]
Nun beide Seiten quadrieren:
[mm] \(7\cdot 20^{\frac{1}{3}}-19 [/mm] = [mm] 1-50^{\frac{1}{3}}+20^{\frac{1}{3}}-50^{\frac{1}{3}}+50^{\frac{2}{3}}-1000^{\frac{1}{3}}+20^{\frac{1}{3}}-1000^{\frac{1}{3}}+20^{\frac{2}{3}}\) [/mm]
Die 3. Wurzel aus 1000 ist 10. Die taucht zweimal auf und man kann weiter zusammen fassen (dabei versuchen alles in die "drittel-"Potenzen zu schreiben). Beide Seiten anschließend [mm] \(+19\): [/mm]
[mm] \(7\cdot 20^\frac{1}{3} [/mm] = [mm] -400^\frac{1}{3}+160^\frac{1}{3}+2500^\frac{1}{3}+400^\frac{1}{3}\) [/mm]
Nochmals vereinfacht und eine [mm] \(20^\frac{1}{3}\) [/mm] ausgeklammert:
[mm] \(7\cdot 20^\frac{1}{3} [/mm] = [mm] 20^\frac{1}{3}(2+5) [/mm]
Dass das stimmt, ist wohl klar ersichtlich.
Vielen Dank für die Aufgabe - hat viel Spaß gemacht. Zur 4. kann ich aber noch nichts sagen. Aber ich werde sie mir mal anschauchen.:-)
Schöne Nacht noch,


pi-roland.


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Bezug
Wurzel: Aufgabe 4
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Mo 02.11.2009
Autor: pi-roland

Hallo,

nachdem ich nun eine Weile gerechnet habe und auch nicht darauf komme, habe ich die 4. Aufgabe meinem Taschenrechner vergleichen lassen und der sagt, dass beide Terme nicht identisch sind, das Gleichheitszeichen also nicht berechtigt ist. Vielleicht kannst du ja nochmal schauen, ob sie richtig abgetippt wurde.
Mein Ansatz war aber wieder so wie schon bei der 3. Ersteinmal die Wurzel eliminieren und anschließend Produkte aus Zahlen und Wurzeln zu einer Wurzel zusammenfassen und dann eine sinnvolle Wurzel ausklammern.
Wenn man bis zum Ende alles richtig gemacht hat, sollten die Aufgaben kein Problem weiter sein.
Viel Erfolg noch,


pi-roland.

Bezug
                
Bezug
Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:35 Sa 07.11.2009
Autor: ulla

Dankeschön für eure großzügige Hilfe. Ich habe die Aufgabe doch noch hinbekommen und so schwer war sie gar nicht :-) .
Tja Wurzelrechnen ist nicht so meine Stärke :-).

Bezug
                        
Bezug
Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:26 Sa 07.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Dankeschön für eure großzügige Hilfe. Ich habe die
> Aufgabe doch noch hinbekommen und so schwer war sie gar
> nicht :-) .


Hallo ulla,

meinst du jetzt wirklich die Aufgabe 4, so wie du
sie angegeben hast:

      $ [mm] \wurzel[4]{\bruch{3+2+\wurzel[4]{5}}{3-2+\wurzel[4]{5}} }= \bruch{\wurzel[4]{5}+1}{\wurzel[4]{5}-1} [/mm] $

Wie Roland festgestellt hat, kann diese Gleichung
ja gar nicht stimmen ...

LG    Al-Chw.

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