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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Sa 22.02.2014 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen von
z = [mm] \wurzel{0,8 +0,6j}
[/mm]
Geben Sie die Lösungen auch in Exponentialform an. |
Moin Moin,
ich berechne also zuerst die Länge
r = [mm] \wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
r = [mm] \wurzel{0,8^2 + 0,6^2}
[/mm]
r = 1
... dann den Winkel
[mm] \alpha [/mm] = [mm] arctan(\bruch{b}{a})
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] arctan(\bruch{0,6}{0,8})
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 36,9°
... dann das Ganze in die Gleichung einsetzen...
z = [mm] \wurzel{1}*(cos(\bruch{\alpha}{n}) +sin(\bruch{\alpha}{n}) [/mm] *j)
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{1}*(cos(\bruch{36,9}{2}) +sin(\bruch{36,9}{2}) [/mm] *j)
[mm] z_1 [/mm] = 0,95 +0,32j
... da ich die zweite Wurzel ziehe, muss ich zu dem Winkel nun 180° hinzuaddieren um die zweite Lösung zu berechnen.
[mm] z_2 [/mm] = [mm] \wurzel{1}*(cos(\bruch{36,9+180}{2}) +sin(\bruch{36,9+180}{2}) [/mm] *j)
[mm] z_2 [/mm] = -0,32 +0,95j
Warum liegt diese Zahl nun nicht im dritten Quadranten???
Wie kann ich die gefundenen Lösungen in Exponentialform notieren?
Danke für eure Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Sa 22.02.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo hase-hh!
> Berechnen Sie alle Lösungen von
>
> z = [mm]\wurzel{0,8 +0,6j}[/mm]
>
> Geben Sie die Lösungen auch in Exponentialform an.
> Moin Moin,
>
> ich berechne also zuerst die Länge
Wovon? Meinst du den Betrag von 0,8+0,6j?
> r = [mm]\wurzel{a^2+b^2}[/mm]
>
> r = [mm]\wurzel{0,8^2 + 0,6^2}[/mm]
>
> r = 1
Eigentlich berechnest du hier den Betrag von [mm]w=0.8+0.6j[/mm], willst aber den Betrag von [mm]z=\sqrt w[/mm]. Du hast aber Glück, denn beides hat Betrag 1.
> ... dann den Winkel
>
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{b}{a})[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{0,6}{0,8})[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = 36,9°
Das ist wieder der Winkel für w - nicht für z.
> ... dann das Ganze in die Gleichung einsetzen...
>
>
> z = [mm]\wurzel{1}*(cos(\bruch{\alpha}{n}) +sin(\bruch{\alpha}{n})[/mm]
> *j)
>
> [mm]z_1[/mm] = [mm]\wurzel{1}*(cos(\bruch{36,9}{2}) +sin(\bruch{36,9}{2})[/mm]
> *j)
>
> [mm]z_1[/mm] = 0,95 +0,32j
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ah, ok. Jetzt geht es wirklich um z.
> ... da ich die zweite Wurzel ziehe, muss ich zu dem Winkel
> nun 180° hinzuaddieren um die zweite Lösung zu
> berechnen.
>
> [mm]z_2[/mm] = [mm]\wurzel{1}*(cos(\bruch{36,9+180}{2}) +sin(\bruch{36,9+180}{2})[/mm]
> *j)
>
> [mm]z_2[/mm] = -0,32 +0,95j
>
>
> Warum liegt diese Zahl nun nicht im dritten Quadranten???
Weil du [mm]z_2= \cos\left(\frac{36.9^\circ}{2}+180^\circ\right)+j\cdot\sin\left(\frac{36.9^\circ}{2}+180^\circ\right)[/mm] berechnen musst.
> Wie kann ich die gefundenen Lösungen in Exponentialform
> notieren?
Na, du hast doch [mm]r=1[/mm] und [mm]\alpha=\frac{36.9^\circ}{2}[/mm] berechnet. Dann ist [mm]z=r\cdot e^{j\cdot\alpha}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 01.03.2014 | | Autor: | hase-hh |
Nachfrage...
> > ... dann den Winkel
> >
> >
> > [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{b}{a})[/mm]
> >
> > [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{0,6}{0,8})[/mm]
> >
> > [mm]\alpha[/mm] = 36,9°
>
> Das ist wieder der Winkel für w - nicht für z.
d.h. ich müsste diesen Wert noch durch n teilen, d.h. hier durch 2?
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{arctan \bruch{b}{a}}{n}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{arctan \bruch{0,6}{0,8}}{2}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 18,45°
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 02.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo hase,
> Nachfrage...
>
> > > ... dann den Winkel
> > >
> > >
> > > [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{b}{a})[/mm]
> > >
> > > [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{0,6}{0,8})[/mm]
> > >
> > > [mm]\alpha[/mm] = 36,9°
> >
> > Das ist wieder der Winkel für w - nicht für z.
>
>
> d.h. ich müsste diesen Wert noch durch n teilen, d.h.
> hier durch 2?
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{arctan \bruch{b}{a}}{n}[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{arctan \bruch{0,6}{0,8}}{2}[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = 18,45°
was hast Du denn jetzt für ein Ergebnis raus? Ich meine, wenn Du für
[mm] $z=\sqrt{0.8+0.6j}$ [/mm] (was hier gleichwertig mit [mm] $z^2=0.8+0.6j$ [/mm] ist - anders als
im reellen!)
die zwei Lösungen
[mm] $z_1,\;z_2$
[/mm]
errechnet hast, dann teste doch Dein Ergebnis, indem Du
[mm] ${z_1}^2$
[/mm]
und
[mm] ${z_2}^2$
[/mm]
nochmal ausrechnest.
Wenn Du das in Matlab machst, bedenke aber, dass *normalerweise* dort
der Winkel im Bogenmaß angegeben wird (evtl. kann man das aber auch
umstellen, aber die Umrechnung ist ja einfach:
[mm] $b=b(\alpha)=\alpha/360^{\text{o}}\cdot 2\pi=\alpha/180^{\text{o}}\cdot \pi$).
[/mm]
Wenn Du kein Matlab hast, dann benutze Octave. Du kannst aber auch
einfach mal
![[]](/images/popup.gif) Wolframalpha
anwerfen, dann bekommst Du wenigstens schonmal eine Lösung. Oder lies
Dir
das hier
auch mal durch:
sowas
geht ganz gut.
(Ich habe mal ein Ergebnis einfach selbst mit Wolframalpha 'grob'
getestet:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%280.94%2B0.31*i%29^2)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 22.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hase,
> Berechnen Sie alle Lösungen von
>
> z = [mm]\wurzel{0,8 +0,6j}[/mm]
nur mal als Alternative (die i.a. algebraisch etwas aufwändiger ist):
Du kannst auch
[mm] $x+y*j=\sqrt{0.8+0.6*j}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(x+y*j)^2=(\blue{\sqrt{0.8+0.6*j}})^2\blue{=0.8+0.6*j}$
[/mm]
Edit Marcel: korrigiert und ergänzt
ansetzen und die Lösungsmenge [mm] $\IL \subseteq \IR^2$ [/mm] dieser Gleichung in $(x,y) [mm] \in \IR^2$
[/mm]
berechnen. (Ist Dir klar, wie es so weitergehen würde?)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Sa 22.02.2014 | | Autor: | hase-hh |
> > z = [mm]\wurzel{0,8 +0,6j}[/mm]
>
> nur mal als Alternative (die i.a. algebraisch etwas
> aufwändiger ist):
>
> Du kannst auch
>
> [mm]x+y*j=\sqrt{0.8+0.6*j}[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm](x+y*j)^2=(0.8+0.6*j)^2[/mm]
>
> ansetzen und die Lösungsmenge [mm]\IL \subseteq \IR^2[/mm] dieser
> Gleichung in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
> berechnen. (Ist Dir klar, wie
> es so weitergehen würde?)
>
> Gruß,
> Marcel
Moin Marcel,
nein ist mir nicht klar... also z = x +y*i ok, aber wieso ist
[mm] (\wurzel{0,8 +0,6j} )^2 [/mm] = (0,8 [mm] +0,6j)^2 [/mm] ???
lg
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> > [mm]\iff[/mm] [mm](x+y*j)^2=(0.8+0.6*j)^2[/mm]
> >
> > ansetzen und die Lösungsmenge [mm]\IL \subseteq \IR^2[/mm] dieser
> > Gleichung in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
> > berechnen. (Ist Dir
> klar, wie
> > es so weitergehen würde?)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Moin Marcel,
>
> nein ist mir nicht klar... also z = x +y*i ok, aber
> wieso ist
>
> [mm](\wurzel{0,8 +0,6j} )^2[/mm] = (0,8 [mm]+0,6j)^2[/mm] ???
>
Ist es nicht.
Du könntest aber ansetzen:
[mm] $(x+y\cdot j)^2=0.8+0.6j$
[/mm]
Auf der Linken Seite bekommst du ein Binom. Durch einen Koeffizientenverleich erhältst du ein Gleichungssystem, in dem du x und y bestimmen kannst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:33 So 23.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Valerie,
>
> > > [mm]\iff[/mm] [mm](x+y*j)^2=(0.8+0.6*j)^2[/mm]
> > >
> > > ansetzen und die Lösungsmenge [mm]\IL \subseteq \IR^2[/mm]
> dieser
> > > Gleichung in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
> > > berechnen. (Ist Dir
> > klar, wie
> > > es so weitergehen würde?)
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Moin Marcel,
> >
> > nein ist mir nicht klar... also z = x +y*i ok, aber
> > wieso ist
> >
> > [mm](\wurzel{0,8 +0,6j} )^2[/mm] = (0,8 [mm]+0,6j)^2[/mm] ???
> >
>
> Ist es nicht.
>
> Du könntest aber ansetzen:
>
> [mm](x+y\cdot j)^2=0.8+0.6j[/mm]
>
> Auf der Linken Seite bekommst du ein Binom. Durch einen
> Koeffizientenverleich erhältst du ein Gleichungssystem, in
> dem du x und y bestimmen kannst.
genau darauf wollte ich hinaus (man verzeihe mir den dummen Vertipper,
man sollte wohl auch *kleine* Antworten nicht so hoppeldihopp schreiben,
sondern sich die Zeit nehmen, sie nochmal zur Kontrolle durchzulesen).
P.S. Anstatt "Koeffizientenvergleich" würde ich hier eher sagen:
Vergleich von Real- und Imaginärteil.
(Man mache sich klar, dass für $w,z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt:
[mm] $w=z\,$ $\iff$ $[\text{Re}(w)=\text{Re}(z)$ \textbf{ und } $\text{Im}(w)=\text{Im}(z)]$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:30 So 23.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hase,
> > > z = [mm]\wurzel{0,8 +0,6j}[/mm]
> >
> > nur mal als Alternative (die i.a. algebraisch etwas
> > aufwändiger ist):
> >
> > Du kannst auch
> >
> > [mm]x+y*j=\sqrt{0.8+0.6*j}[/mm]
> >
> > [mm]\iff[/mm] [mm](x+y*j)^2=(0.8+0.6*j)^2[/mm]
> >
> > ansetzen und die Lösungsmenge [mm]\IL \subseteq \IR^2[/mm] dieser
> > Gleichung in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
> > berechnen. (Ist Dir
> klar, wie
> > es so weitergehen würde?)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Moin Marcel,
>
> nein ist mir nicht klar... also z = x +y*i ok, aber
> wieso ist
>
> [mm](\wurzel{0,8 +0,6j} )^2[/mm] = (0,8 [mm]+0,6j)^2[/mm] ???
das war ein Vertipper, denn ich sogleich korrigieren werde. 
Gruß,
Marcel
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