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Forum "komplexe Zahlen" - Wurzel Komplexe Zahl
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Wurzel Komplexe Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Sa 22.02.2014
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen Sie alle Lösungen von

z = [mm] \wurzel{0,8 +0,6j} [/mm]

Geben Sie die Lösungen auch in Exponentialform an.

Moin Moin,

ich berechne also zuerst die Länge

r = [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm]

r = [mm] \wurzel{0,8^2 + 0,6^2} [/mm]

r = 1


... dann den Winkel


[mm] \alpha [/mm] = [mm] arctan(\bruch{b}{a}) [/mm]

[mm] \alpha [/mm] = [mm] arctan(\bruch{0,6}{0,8}) [/mm]

[mm] \alpha [/mm] = 36,9°


... dann das Ganze in die Gleichung einsetzen...


z = [mm] \wurzel{1}*(cos(\bruch{\alpha}{n}) +sin(\bruch{\alpha}{n}) [/mm] *j)

[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{1}*(cos(\bruch{36,9}{2}) +sin(\bruch{36,9}{2}) [/mm] *j)

[mm] z_1 [/mm] = 0,95 +0,32j


... da ich die zweite Wurzel ziehe, muss ich zu dem Winkel nun 180° hinzuaddieren um die zweite Lösung zu berechnen.

[mm] z_2 [/mm] = [mm] \wurzel{1}*(cos(\bruch{36,9+180}{2}) +sin(\bruch{36,9+180}{2}) [/mm] *j)

[mm] z_2 [/mm] = -0,32 +0,95j


Warum liegt diese Zahl nun nicht im dritten Quadranten???

Wie kann ich die gefundenen Lösungen in Exponentialform notieren?


Danke für eure Hilfe!!
















        
Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Sa 22.02.2014
Autor: Fulla

Hallo hase-hh!

> Berechnen Sie alle Lösungen von

>

> z = [mm]\wurzel{0,8 +0,6j}[/mm]

>

> Geben Sie die Lösungen auch in Exponentialform an.
> Moin Moin,

>

> ich berechne also zuerst die Länge

Wovon? Meinst du den Betrag von 0,8+0,6j?

> r = [mm]\wurzel{a^2+b^2}[/mm]

>

> r = [mm]\wurzel{0,8^2 + 0,6^2}[/mm]

>

> r = 1

Eigentlich berechnest du hier den Betrag von [mm]w=0.8+0.6j[/mm], willst aber den Betrag von [mm]z=\sqrt w[/mm]. Du hast aber Glück, denn beides hat Betrag 1.

> ... dann den Winkel

>
>

> [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{b}{a})[/mm]

>

> [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{0,6}{0,8})[/mm]

>

> [mm]\alpha[/mm] = 36,9°

Das ist wieder der Winkel für w - nicht für z.

> ... dann das Ganze in die Gleichung einsetzen...

>
>

> z = [mm]\wurzel{1}*(cos(\bruch{\alpha}{n}) +sin(\bruch{\alpha}{n})[/mm]
> *j)

>

> [mm]z_1[/mm] = [mm]\wurzel{1}*(cos(\bruch{36,9}{2}) +sin(\bruch{36,9}{2})[/mm]
> *j)

>

> [mm]z_1[/mm] = 0,95 +0,32j

[ok]
Ah, ok. Jetzt geht es wirklich um z.

> ... da ich die zweite Wurzel ziehe, muss ich zu dem Winkel
> nun 180° hinzuaddieren um die zweite Lösung zu
> berechnen.

>

> [mm]z_2[/mm] = [mm]\wurzel{1}*(cos(\bruch{36,9+180}{2}) +sin(\bruch{36,9+180}{2})[/mm]
> *j)

>

> [mm]z_2[/mm] = -0,32 +0,95j

>
>

> Warum liegt diese Zahl nun nicht im dritten Quadranten???

Weil du [mm]z_2= \cos\left(\frac{36.9^\circ}{2}+180^\circ\right)+j\cdot\sin\left(\frac{36.9^\circ}{2}+180^\circ\right)[/mm] berechnen musst.

> Wie kann ich die gefundenen Lösungen in Exponentialform
> notieren?

Na, du hast doch [mm]r=1[/mm] und [mm]\alpha=\frac{36.9^\circ}{2}[/mm] berechnet. Dann ist [mm]z=r\cdot e^{j\cdot\alpha}[/mm].


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Sa 01.03.2014
Autor: hase-hh

Nachfrage...

> > ... dann den Winkel
>  >
>  >
>  > [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{b}{a})[/mm]

>  >
>  > [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{0,6}{0,8})[/mm]

>  >
>  > [mm]\alpha[/mm] = 36,9°

>  
> Das ist wieder der Winkel für w - nicht für z.


d.h. ich müsste diesen Wert noch durch n  teilen, d.h. hier durch 2?

[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{arctan \bruch{b}{a}}{n} [/mm]

[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{arctan \bruch{0,6}{0,8}}{2} [/mm]

[mm] \alpha [/mm] = 18,45°




Bezug
                        
Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 So 02.03.2014
Autor: Marcel

Hallo hase,

> Nachfrage...
>  
> > > ... dann den Winkel
>  >  >
>  >  >
>  >  > [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{b}{a})[/mm]

>  >  >
>  >  > [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{0,6}{0,8})[/mm]

>  >  >
>  >  > [mm]\alpha[/mm] = 36,9°

>  >  
> > Das ist wieder der Winkel für w - nicht für z.
>  
>
> d.h. ich müsste diesen Wert noch durch n  teilen, d.h.
> hier durch 2?
>  
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{arctan \bruch{b}{a}}{n}[/mm]
>  
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{arctan \bruch{0,6}{0,8}}{2}[/mm]
>  
> [mm]\alpha[/mm] = 18,45°

was hast Du denn jetzt für ein Ergebnis raus? Ich meine, wenn Du für

    [mm] $z=\sqrt{0.8+0.6j}$ [/mm] (was hier gleichwertig mit [mm] $z^2=0.8+0.6j$ [/mm] ist - anders als
    im reellen!)

die zwei Lösungen

    [mm] $z_1,\;z_2$ [/mm]

errechnet hast, dann teste doch Dein Ergebnis, indem Du

    [mm] ${z_1}^2$ [/mm]

und

    [mm] ${z_2}^2$ [/mm]

nochmal ausrechnest.

Wenn Du das in Matlab machst, bedenke aber, dass *normalerweise* dort
der Winkel im Bogenmaß angegeben wird (evtl. kann man das aber auch
umstellen, aber die Umrechnung ist ja einfach:

    [mm] $b=b(\alpha)=\alpha/360^{\text{o}}\cdot 2\pi=\alpha/180^{\text{o}}\cdot \pi$). [/mm]

Wenn Du kein Matlab hast, dann benutze Octave. Du kannst aber auch
einfach mal

    []Wolframalpha

anwerfen, dann bekommst Du wenigstens schonmal eine Lösung. Oder lies
Dir

    []das hier

auch mal durch:

    []sowas

geht ganz gut.

(Ich habe mal ein Ergebnis einfach selbst mit Wolframalpha 'grob'
getestet:

    []https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%280.94%2B0.31*i%29^2)

Gruß,
  Marcel

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Wurzel Komplexe Zahl: korrigiert und ergänzt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Sa 22.02.2014
Autor: Marcel

Hallo Hase,

> Berechnen Sie alle Lösungen von
>
> z = [mm]\wurzel{0,8 +0,6j}[/mm]

nur mal als Alternative (die i.a. algebraisch etwas aufwändiger ist):

Du kannst auch

    [mm] $x+y*j=\sqrt{0.8+0.6*j}$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $(x+y*j)^2=(\blue{\sqrt{0.8+0.6*j}})^2\blue{=0.8+0.6*j}$ [/mm]

Edit Marcel: korrigiert und ergänzt

ansetzen und die Lösungsmenge [mm] $\IL \subseteq \IR^2$ [/mm] dieser Gleichung in $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm]
berechnen. (Ist Dir klar, wie es so weitergehen würde?)

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Sa 22.02.2014
Autor: hase-hh


> > z = [mm]\wurzel{0,8 +0,6j}[/mm]
>  
> nur mal als Alternative (die i.a. algebraisch etwas
> aufwändiger ist):
>  
> Du kannst auch
>  
> [mm]x+y*j=\sqrt{0.8+0.6*j}[/mm]
>  
> [mm]\iff[/mm] [mm](x+y*j)^2=(0.8+0.6*j)^2[/mm]
>  
> ansetzen und die Lösungsmenge [mm]\IL \subseteq \IR^2[/mm] dieser
> Gleichung in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
>  berechnen. (Ist Dir klar, wie
> es so weitergehen würde?)
>  
> Gruß,
>    Marcel

Moin Marcel,

nein ist mir nicht klar... also  z = x +y*i   ok, aber wieso ist

[mm] (\wurzel{0,8 +0,6j} )^2 [/mm]  = (0,8 [mm] +0,6j)^2 [/mm]  ???

lg



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Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Sa 22.02.2014
Autor: Valerie20


> > [mm]\iff[/mm] [mm](x+y*j)^2=(0.8+0.6*j)^2[/mm]
> >
> > ansetzen und die Lösungsmenge [mm]\IL \subseteq \IR^2[/mm] dieser
> > Gleichung in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
> > berechnen. (Ist Dir
> klar, wie
> > es so weitergehen würde?)
> >
> > Gruß,
> > Marcel

>

> Moin Marcel,

>

> nein ist mir nicht klar... also z = x +y*i ok, aber
> wieso ist

>

> [mm](\wurzel{0,8 +0,6j} )^2[/mm] = (0,8 [mm]+0,6j)^2[/mm] ???

>

Ist es nicht.

Du könntest aber ansetzen:

[mm] $(x+y\cdot j)^2=0.8+0.6j$ [/mm]

Auf der Linken Seite bekommst du ein Binom. Durch einen Koeffizientenverleich erhältst du ein Gleichungssystem, in dem du x und y bestimmen kannst.

Bezug
                                
Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:33 So 23.02.2014
Autor: Marcel

Hallo Valerie,

>
> > > [mm]\iff[/mm] [mm](x+y*j)^2=(0.8+0.6*j)^2[/mm]
>  > >

>  > > ansetzen und die Lösungsmenge [mm]\IL \subseteq \IR^2[/mm]

> dieser
>  > > Gleichung in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]

>  > > berechnen. (Ist Dir

>  > klar, wie

>  > > es so weitergehen würde?)

>  > >

>  > > Gruß,

>  > > Marcel

>  >
>  > Moin Marcel,

>  >
>  > nein ist mir nicht klar... also z = x +y*i ok, aber

>  > wieso ist

>  >
>  > [mm](\wurzel{0,8 +0,6j} )^2[/mm] = (0,8 [mm]+0,6j)^2[/mm] ???

>  >
>  
> Ist es nicht.
>  
> Du könntest aber ansetzen:
>  
> [mm](x+y\cdot j)^2=0.8+0.6j[/mm]
>  
> Auf der Linken Seite bekommst du ein Binom. Durch einen
> Koeffizientenverleich erhältst du ein Gleichungssystem, in
> dem du x und y bestimmen kannst.

genau darauf wollte ich hinaus (man verzeihe mir den dummen Vertipper,
man sollte wohl auch *kleine* Antworten nicht so hoppeldihopp schreiben,
sondern sich die Zeit nehmen, sie nochmal zur Kontrolle durchzulesen).

P.S. Anstatt "Koeffizientenvergleich" würde ich hier eher sagen:
Vergleich von Real- und Imaginärteil.
(Man mache sich klar, dass für $w,z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt:

    [mm] $w=z\,$ $\iff$ $[\text{Re}(w)=\text{Re}(z)$ \textbf{ und } $\text{Im}(w)=\text{Im}(z)]$.) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:30 So 23.02.2014
Autor: Marcel

Hallo Hase,

> > > z = [mm]\wurzel{0,8 +0,6j}[/mm]
>  >  
> > nur mal als Alternative (die i.a. algebraisch etwas
> > aufwändiger ist):
>  >  
> > Du kannst auch
>  >  
> > [mm]x+y*j=\sqrt{0.8+0.6*j}[/mm]
>  >  
> > [mm]\iff[/mm] [mm](x+y*j)^2=(0.8+0.6*j)^2[/mm]
>  >  
> > ansetzen und die Lösungsmenge [mm]\IL \subseteq \IR^2[/mm] dieser
> > Gleichung in [mm](x,y) \in \IR^2[/mm]
>  >  berechnen. (Ist Dir
> klar, wie
> > es so weitergehen würde?)
>  >  
> > Gruß,
>  >    Marcel
>
> Moin Marcel,
>  
> nein ist mir nicht klar... also  z = x +y*i   ok, aber
> wieso ist
>
> [mm](\wurzel{0,8 +0,6j} )^2[/mm]  = (0,8 [mm]+0,6j)^2[/mm]  ???

das war ein Vertipper, denn ich sogleich korrigieren werde. :-)

Gruß,
  Marcel

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