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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Wurzel aus komplexen Zahlen
Wurzel aus komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wurzel aus komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Mi 05.12.2018
Autor: meister_quitte

Aufgabe
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a+ib mit $a, [mm] b\in\IR$ [/mm] dar:

[mm] $\frac{1}{i}, \frac{3+i}{2+4i}, \wurzel{1+i}, \left( 3+2i \right)^3 [/mm] $

Hallo Freunde der Mathematik,

ich habe ein Problem mit [mm] $\wurzel{1+i}$. [/mm] Anscheinend nützt das erweitern mit der konjugiert-komplexen Zahl nichts. Weiß jemand Rat?

Liebe Grüße

Christoph



        
Bezug
Wurzel aus komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Mi 05.12.2018
Autor: fred97


> Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a+ib
> mit [mm]a, b\in\IR[/mm] dar:
>  
> [mm]\frac{1}{i}, \frac{3+i}{2+4i}, \wurzel{1+i}, \left( 3+2i \right)^3[/mm]
>  
> Hallo Freunde der Mathematik,
>  
> ich habe ein Problem mit [mm]\wurzel{1+i}[/mm]. Anscheinend nützt
> das erweitern mit der konjugiert-komplexen Zahl nichts.
> Weiß jemand Rat?

Ja, der Fred:

mache den Ansatz [mm] $\wurzel{1+i}=a+ib$. [/mm] Dann ist [mm] $1+i=(a+ib)^2 =a^2-b^2+2iab$. [/mm] Somit

[mm] $a^2-b^2=1$ [/mm] und $1=2ab$.

Jetzt Du !

>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Wurzel aus komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Mi 05.12.2018
Autor: meister_quitte

Moin fred,

na dann ist [mm] $z=\left( a+ib \right) [/mm] = [mm] \wurzel{2}$. [/mm] Aber wie kommst du auf [mm] $a^2-b^2=1 \wedge [/mm] 2ab=1$?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                        
Bezug
Wurzel aus komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Mi 05.12.2018
Autor: fred97


> Moin fred,
>  
> na dann ist [mm]z=\left( a+ib \right) = \wurzel{2}[/mm].


Hä ??? Wie kommst Du darauf ???? Wir hatten [mm] $a+ib=\sqrt{1+i}$. [/mm] Wenn Du recht hättest, so wäre [mm] \sqrt{1+i}=\sqrt{2} [/mm] und damit $1+i=2$, also $i=-1$, was völliger Quatsch ist.


> Aber wie
> kommst du auf [mm]a^2-b^2=1 \wedge 2ab=1[/mm]?

Zwei komplexe Zahlen z und w sind genau dann gleich, wenn Re(z)=Re(w) und Im(z)=Im(w) ist.

>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                
Bezug
Wurzel aus komplexen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:00 Do 06.12.2018
Autor: meister_quitte

Moin fred,

ich habe die Aufgabe geschafft. Vielen Dank für alles.

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
        
Bezug
Wurzel aus komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Do 06.12.2018
Autor: hohohaha1234

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Es ist : $1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} (cos(\frac{\pi}{2})+i sin (\frac{\pi}{2}))$

Du erhältst also deine beiden Lösungen mit der Formel von De Moivre sofort: z_{1,2}=$\sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi}{8}}}, \sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi 9}{8}}$

Bezug
                
Bezug
Wurzel aus komplexen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Do 06.12.2018
Autor: fred97


> Es ist : [mm]1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} (cos(\frac{\pi}{2})+i sin (\frac{\pi}{2}))[/mm]
>
> Du erhältst also deine beiden Lösungen mit der Formel von
> De Moivre sofort: [mm]z_{1,2}=[/mm] [mm]\sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi}{8}}}, \sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi 9}{8}}[/mm]


Ja, das ist richtig. Gesucht war aber eine Darstellung in der Form $a+ib$.

Bezug
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