Wurzel aus komplexer Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mi 15.10.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | | Geben Sie die Zahl [mm] $\sqrt{1+i}^3$ [/mm] in Polarform an. |
Hallo zusammen,
wäre nett, wenn jemand meine Lösung korrigieren könnte. ich meine, ich habe noch einen Fehler drin.
Mit
[mm] \sqrt{1+i}=\sqrt{\sqrt{2}}\cdot \exp \left(\frac{i\cdot\frac{\pi}{4}}{2}+2\cdot\frac{2\pi i}{2}\right)\\
[/mm]
[mm] =\sqrt[4]{2}\cdot\exp\left(i\frac{17}{8}\pi\right)
[/mm]
folgt
[mm] \sqrt{1+i}^3=(1+i)\sqrt{1+i}=\sqrt{2}\cdot \exp\left(i\cdot \frac{\pi}{4}\right)\cdot\sqrt[4]{2}\cdot\exp\left(i\frac{17}{8}\pi\right)\\
[/mm]
[mm] =2^{(3/4)}\cdot \exp\left(19/8\pi\cdot i\right)\\
[/mm]
[mm] =2^{(3/4)}\cdot (\cos(19/8) +i\sin [/mm] (19/8))
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo grenife!
Du vergisst, dass der Wurzelausdruck [mm] $\wurzel{1+i}$ [/mm] nicht eindeutig ist, sondern zwei Lösungen in [mm] $\IC$ [/mm] hat.
Ich würde hier so vorgehen:
$$z \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{1+i} \ \right)^3 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{(1+i)^3} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{-2+2i}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:05 Do 16.10.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Loddar,
ich hatte vergessen, in die Aufgabe zu schreiben, dass die positive Wurzel zu wählen ist.
Viele Grüße
Gregor
> Hallo grenife!
>
>
> Du vergisst, dass der Wurzelausdruck [mm]\wurzel{1+i}[/mm] nicht
> eindeutig ist, sondern zwei Lösungen in [mm]\IC[/mm] hat.
>
> Ich würde hier so vorgehen:
> [mm]z \ = \ \left( \ \wurzel{1+i} \ \right)^3 \ = \ \wurzel{(1+i)^3} \ = \ \wurzel{-2+2i}[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Do 16.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo grenife!
Was ist denn bei Dir im Bereich der komplexen Zahlen [mm] $\IC$ [/mm] "positiv"?
In [mm] $\IC$ [/mm] ist wurzelziehen nicht einfach [mm] $\red{\pm} [/mm] \ [mm] \wurzel{ \ ... \ }$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Do 16.10.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
da sieht man was man schreibt, wenn es schnell gehen soll...
Es soll die Wurzel mit positivem Imaginärteil verwendet werden. Demnach ist mein Ansatz schon richtig, nur ich meine mich irgendwo verrechnet zu haben, denn Matlab liefert ein anderes Ergebnis
Viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> Hi,
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> da sieht man was man schreibt, wenn es schnell gehen
> soll...
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> Es soll die Wurzel mit positivem Imaginärteil verwendet
> werden. Demnach ist mein Ansatz schon richtig, nur ich
> meine mich irgendwo verrechnet zu haben, denn Matlab
> liefert ein anderes Ergebnis
Das Ergebnis stimmt.
Ich denke, das andere Ergebnis liegt am Argument:
[mm] \sqrt{1+i}=\sqrt{\sqrt{2}}\cdot \exp \left(\frac{i\cdot\frac{\pi}{4}}{2}+k\cdot\frac{2\pi i}{2}\right) [/mm]
[mm]=\wurzel[4]{2}\cdot \exp \left(\frac{i\cdot\frac{\pi}{4}}{2}+k\cdot\frac{2\pi i}{2}\right), \ k=0,1 [/mm]
Für k=0 liefert das:
[mm]\wurzel[4]{2}\cdot \exp \left(\frac{i\cdot\frac{\pi}{4}}{2}}\right)=\wurzel[4]{2}\cdot \exp \left(i\bruch{\pi}{8}}\right) [/mm]
>
> Viele Grüße
> Gregor
Gruß
MathePower
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