Wurzel aus negativer Zahl < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Mi 28.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich hätte ne Frage, man DARF ja sozusagen ne Wurzel aus ner negativen Zahl ziehen, aber halt keine Quadratwurzel, aber zum Beispiel: 3,5,7...(ungerade). Das habe ich verstanden, aber nun meine Frage:
Wieviele Lösungen bekomme ich dann daraus? Zwei oder eine Lösung??
Liebe Grüße, MangMang
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Hi, Mang,
> Also ich hätte ne Frage, man DARF ja sozusagen ne Wurzel
> aus ner negativen Zahl ziehen, aber halt keine
> Quadratwurzel, aber zum Beispiel: 3,5,7...(ungerade).
Das wird aber in der Schule normalerweise FÜR ALLE Wurzeln so definiert
(Ich zitiere wörtlich aus meiner Formelsammlung):
" [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] (a [mm] \in \IR^{+}_{0}; [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ) ist jene eindeutig bestimmte nicht negative Zahl,
deren n-te Potenz a ist."
Nach dieser Definition ist z.B. auch so was NICHT erlaubt: [mm] \wurzel[3]{-8}.
[/mm]
Würde mich zwar wundern, wenn's bei Euch anders definiert worden wäre (dann gibt's nämlich Probleme mit den Potenzgesetzen!); aber das ist letztlich wirklich "Definitionssache"!
> Das habe ich verstanden, aber nun meine Frage:
> Wieviele Lösungen bekomme ich dann daraus? Zwei oder eine
> Lösung??
Auch das sagt die von mir zitierte Definition aus: Diese Zahl ist EINdeutig!
Also z.B. [mm] \wurzel{4} [/mm] = +2.
Das Verständnisproblem entsteht hier vermutlich aus der Tatsache, dass eine Gleichung wie z.B. [mm] x^{2} [/mm] = 4 ZWEI Lösungen hat, nämlich:
x = [mm] \pm \wurzel{4} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 2;
die Wurzel selbst aber ist eindeutig!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mi 28.05.2008 | | Autor: | MangMang |
HI Zwerglein ,
ja da hast du schon recht, aber ich habe auch in diversen Foren gelesen, dass man das so schon machen darf, das hat dann irgendwas mit den komplexen Zahlen zu tun....
Hmm...also wie nun? Hat sie eine oder zwei Lösungen dann??
Liebe Grüße, MangMang
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Hallo,
warum sollte man [mm] \wurzel[3]{-8}=-2 [/mm] nicht lösen können, denn (-2)*(-2)*(-2)=-8 eine Lösung
[mm] \wurzel{-4}=\wurzel{-1*4}=\wurzel{-1}*\wurzel{4}=2i [/mm] eine Lösung, jetzt bist du bei den komplexen Zahlen angelangt: [mm] i^{2}=-1
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mi 28.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hey Steffi ,
Oke, also eine Lösung, vielen Dank für deine Antwort!!
Mfg, MangMang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Marc |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo MangMang,
> Oke, also eine Lösung, vielen Dank für deine Antwort!!
Nein, das hat Steffi21 nicht behauptet.
Über den komplexen Zahlen bedeutet der Ausdruck $\wurzel[3]{-8}=x$ die Lösungen der Gleichungen $x^3=-8$. Davon gibt es genau drei Stück, nämlich $x_1=2*\mathrm{e}^{\bruch{\pi}{3}i}$, $x_2=2*\mathrm{e}^{\pi i}=-2$, $x_3=2*\mathrm{e}^{\bruch{5\pi i}{3}$, man müsste also eigentlich schreiben:
$\wurzel[3]{-8}=\left\{2*\mathrm{e}^{\bruch{\pi}{3}i},\ 2*\mathrm{e}^{\pi i},\ 2*\mathrm{e}^{\bruch{5\pi i}{3}}\right\}$
Dementsprechend gilt auch für (komplexe Zahlen) $\wurzel{-4}=\left\{2*\mathrm{e}^{\bruch{\pi}{2}i}=2i,\ 2*\mathrm{e}^{\bruch{3\pi}2 i}=-2i\right\}$.
Über den reellen Zahlen gilt immer (das sollte in keinem Schulbuch anders stehen):
$\wurzel[3]{-8}=\text{nicht definiert}$
$\wurzel{-4}=\text{nicht definiert}$
Das wurde so festgelegt, damit die Potenz- und Wurzelgesetze weiterhin Gültigkeit haben.
Das heißt aber nicht, dass die Gleichung $x^3=-8$ über den reellen keine Lösung hätte, sondern nur, dass man diese Lösung nicht direkt mit dem Wurzelsymbol ausdrücken darf. Man müsste also schreiben:
$x^3=-8\ \gdw\ x=-\wurzel[3]{8}$ statt $x^3=-8\ \gdw\ x=\wurzel[3]{-8}$
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Do 29.05.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Steffi,
> warum sollte man [mm]\wurzel[3]{-8}=-2[/mm] nicht lösen können, denn
> (-2)*(-2)*(-2)=-8 eine Lösung
Ganz einfach:
Weil dann die Potenzgesetze nicht mehr "allgemeingültig" sind!
Pass auf:
[mm] \wurzel[3]{-8} [/mm]
= [mm] (-8)^{\bruch{1}{3}} [/mm]
= [mm] (-8)^{\bruch{2}{6}}
[/mm]
= [mm] ((-8)^{2})^{\bruch{1}{6}}
[/mm]
= [mm] 64^{\bruch{1}{6}}
[/mm]
= +2
Merkst Du was?!
mfG!
Zwerglein
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