Wurzel einer p-adischen Zahl < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 So 23.06.2019 | | Autor: | Thellur |
| Aufgabe | Hi,
ich habe das Polynom $ [mm] X^2-5 [/mm] $. Warum besitzt dieses über $ [mm] \IQ_2 [/mm] $ keine Lösung? |
Wenn ich $ 5 $ in ihrer $2$-adischen Entwicklung schreibe, erhalte ich
$ [mm] X^2 [/mm] - (1 + [mm] 1*2^2) [/mm] = 0 $
$ [mm] (x_0 [/mm] + [mm] x_1*2 [/mm] + [mm] x_2*x^2 [/mm] + [mm] \ldots )^2 [/mm] = 1 + [mm] 1*2^2 [/mm] $
$ [mm] x_0^2 [/mm] + [mm] 2x_1*2 [/mm] + [mm] (2x_0x_2+x_1^2)*2^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] = 1 + [mm] 1*2^2 [/mm] $
Aber ich weiß nicht, wie ich dann weiterkomme. Freue mich über jede Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 25.06.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich habe das Polynom $ [mm] X^2-5 [/mm] $.
Warum besitzt dieses über $ [mm] \IQ_2 [/mm] $ keine Lösung?
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Gemeint ist wohl: "Warum besitzt dieses über $ [mm] \IQ_2 [/mm] $ keine Nullstelle ?"
Ich möchte gerne antworten, muss aber kurz zurückfragen:
Was genau ist hier mit $ [mm] \IQ_2 [/mm] $ gemeint ?
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Mi 26.06.2019 | | Autor: | Thellur |
Gott sei Dank antwortet jemand :)
Was genau ist hier mit $ [mm] \IQ_2 [/mm] $ gemeint ?
$ [mm] \IQ_2 [/mm] $ sind die 2-adischen Zahlen, also "in etwa" die Binärzahlen.
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> Hi,
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> ich habe das Polynom [mm]X^2-5 [/mm]. Warum besitzt dieses über
> [mm]\IQ_2[/mm] keine Lösung?
>
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> Wenn ich [mm]5[/mm] in ihrer [mm]2[/mm]-adischen Entwicklung schreibe,
> erhalte ich
>
> [mm]X^2 - (1 + 1*2^2) = 0[/mm]
>
> [mm](x_0 + x_1*2 + x_2*x^2 + \ldots )^2 = 1 + 1*2^2[/mm]
>
> [mm]x_0^2 + 2x_1*2 + (2x_0x_2+x_1^2)*2^2 + \ldots = 1 + 1*2^2[/mm]
Hallo Thellur,
ich komme doch noch einmal auf die Frage zurück. Falls es
um die Binärdarstellung geht, könnte man also die Frage so
umformulieren:
Kann man die reelle Zahl [mm] \sqrt{5} [/mm] binär darstellen ?
Ich denke, dass das möglich sein sollte, ebensogut wie etwa
eine Darstellung im Dezimalsystem möglich ist:
[mm] $\sqrt{5}\ [/mm] =\ 2.23606797......$
Die Dezimalentwicklung ist dabei (weil [mm] \sqrt{5} [/mm] eine irrationale
Zahl ist) nicht abbrechend und nicht periodisch.
Eine analoge Darstellung ist auch in binärer Darstellung möglich:
[mm] $\sqrt{101_2}\ [/mm] =\ 10.00111100011..._2$
Nun ist mir nur nicht ganz klar, ob die Menge $ [mm] \IQ_2 [/mm] $ etwa nur
die abbrechenden (endlich langen) Binärentwicklungen oder
auch die nicht abbrechenden enthalten soll.
LG , Al-Chwarizmi
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