Wurzel ist ganze Zahl? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \wurzel{m}=\bruch{p}{q} [/mm] ist rational und m ist eine natürliche Zahl.
Beweise: Dann ist [mm] \pm\wurzel{m} [/mm] auch schon eine ganze Zahl. |
Hallo!
Wäre echt klasse wenn mir jemand diesen Schritt erklären könnte (ich brauche das für einen Seminarsvortrag, komme aber nicht dahinter).
Wenn ich erstmal mit den Fall p<q anschaue, komme ich zu einem Widerspruch, also muss schonmal p>q gelten (p=q ist ja trivial).
Dann komme ich allerdings nicht weiter. Ich kann jetzt noch p=x*q mit x aus N abtun, aber dann hörts auf.
Kann mir wer beim entscheidenden Schritt helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Kennst Du den Beweis dafür, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] irrational ist?
Hier geht es im Prinzip genauso, nur rückwärts.
In jedem Fall hilft es, wenn Du voraussetzt, dass der Bruch [mm] \bruch{p}{q} [/mm] vollständig gekürzt ist, also [mm] \a{}ggT(p,q)=1. [/mm] Dann kannst Du leicht zeigen, dass q=1 sein muss.
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| Aufgabe | [mm] \wurzel{m}=\bruch{p}{q} [/mm] , [mm] \bruch{p}{q} [/mm] vollständig gekürzt
( [mm] \wurzel{m} [/mm] )² [mm] =\bruch{p²}{q²}
[/mm]
[mm] \bruch{m}{1}=\bruch{p²}{q²}
[/mm]
und da [mm] \bruch{p}{q} [/mm] vollständig gekürzt gilt das auch für [mm] \bruch{p²}{q²}, [/mm] also gilt q²=1=q
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stimmt das so?
kann ich da einfach auf beiden Seiten quadrieren? weil ne Äquivalenzumformung ist das doch eigentich nicht, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo hammer
> [mm]\wurzel{m}=\bruch{p}{q}[/mm] , [mm]\bruch{p}{q}[/mm] vollständig gekürzt
> ( [mm]\wurzel{m}[/mm] )² [mm]=\bruch{p²}{q²}[/mm]
> [mm]\bruch{m}{1}=\bruch{p²}{q²}[/mm]
> und da [mm]\bruch{p}{q}[/mm] vollständig gekürzt gilt das auch für
> [mm]\bruch{p²}{q²},[/mm] also gilt q²=1=q
twas zu schnell ist das schon.
das Quadrieren ist ok, du benutzt ja nur die definition der Wurzel. aber die eindeutigkeit der Primzahlzerlegung muss da schon noch benutzt werden. sih dir noch mal den Irrationalitaetsbeweis von [mm] \wurze{2} [/mm] an.
Gruss leduart
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Irgendwie seh ich in dem Beweis (von Euklid) nix was mir helfen könnte...
[mm]\bruch{m}{1}=\bruch{p²}{q²}[/mm]
Warum kann ich denn nicht daraus schon direkt folgern, dass q²=1?
Oder brauch ich dazu noch ein exra Argument, dass ich übersehe?
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet 
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Ja, Du brauchst noch ein Argument.
[mm] mq^2=p^2
[/mm]
Daraus folgt, dass sowohl m als auch q (sogar [mm] q^2) [/mm] Teiler von [mm] p^2 [/mm] sind.
Allerdings gilt [mm] \a{}ggT(p,q)=1
[/mm]
Also?
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Wenn m und q Teiler von p² sind, warum sind sie dann auch Teiler von p?
Wenn ich sagen q,m sind Teiler von p, also auch von p², das wäre ja klar - aber warum gilt das umgekehrt?
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Hat denn jemand behauptet, dass das umgekehrt gilt?
Du weißt zwei Dinge: q teilt [mm] p^2, [/mm] und ggT(p,q)=1.
Daraus musst Du folgern.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:09 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Edit
[red]das hier geschriebene ist komplett falsch natuerlich muss [mm] [\red]sowohl [/mm] m als auch [mm] q^2 [/mm] Teiler von [mm] p^2 [/mm] sein. Danke reverend [mm] [\red]
[/mm]
aus [mm] m*q^2=p^2 [/mm] folgt nicht das m und [mm] q^2 [/mm] Teiler sind sondern nur entweder m oder [mm] q^2, [/mm] falls m Teiler ist, ist es ganz, falls [mm] q^2 [/mm] teiler ist, teilt q auch p widerspruch zur Annahme ggT(p,q)=1
Gruss leduart
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