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Forum "komplexe Zahlen" - Wurzel komplexe Zahlen
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Wurzel komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Mi 03.06.2015
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ist es richtig, dass es zu einer komplexen Zahl zwei Quadratwurzeln gibt ?

Beispiel:
i = 1*(cos90° + i*sin90°)
Dann wäre [mm] \wurzel{i} [/mm] sowohl 0,5*(cos45°+i*sin45°) als auch
0,5*(cos225°+i*sin225°).

Ist dies korrekt ?
Oder dies eher so zu verstehen dass [mm] z^2 [/mm] = i zwei Lösungen [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] der obigen Gestalt hat und [mm] \wurzel{i} [/mm] an sich gar nicht als Zahl definiert ist ?

Falls [mm] \wurzel{i} [/mm] nach der obigen Darstellungen tatsächlich zwei verschiedene Ergebnisse besitzt, verstehe ich folgendes nicht:

Wenn ich z = 9 als komplexe Zahl interpretieren würde (mit Imaginärteil 0) würde sich nach der gleichen Logik wie oben ergeben:
[mm] \wurzel{9} [/mm] = [mm] \wurzel{9}*(cos0° [/mm] + i * sin 0°)  = 3
aber auch [mm] \wurzel{9} [/mm] = [mm] \wurzel{9} [/mm] * (cos 180° + i*sin180°) = -3

Im Reellen ist jedoch [mm] \wurzel{9} [/mm] = 3 und nicht -3.

Kann mir jemand helfen, meinen Widerspruch aufzulösen ?

Danke und viele Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.





        
Bezug
Wurzel komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:41 Mi 03.06.2015
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> ist es richtig, dass es zu einer komplexen Zahl zwei
> Quadratwurzeln gibt ?

Ja, bis auf die 0, die hat nur eine Wurzel.


>
> Beispiel:
> i = 1*(cos90° + i*sin90°)
>  Dann wäre [mm]\wurzel{i}[/mm] sowohl 0,5*(cos45°+i*sin45°) als
> auch
>  0,5*(cos225°+i*sin225°).
>
> Ist dies korrekt ?

Ja


>  Oder dies eher so zu verstehen dass [mm]z^2[/mm] = i zwei Lösungen
> [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] der obigen Gestalt hat

Ja



>  und [mm]\wurzel{i}[/mm] an sich
> gar nicht als Zahl definiert ist ?

So ist es.  [mm]\wurzel{i}[/mm]  ist zweideutig.


>
> Falls [mm]\wurzel{i}[/mm] nach der obigen Darstellungen tatsächlich
> zwei verschiedene Ergebnisse besitzt, verstehe ich
> folgendes nicht:
>
> Wenn ich z = 9 als komplexe Zahl interpretieren würde (mit
> Imaginärteil 0) würde sich nach der gleichen Logik wie
> oben ergeben:
> [mm]\wurzel{9}[/mm] = [mm]\wurzel{9}*(cos0°[/mm] + i * sin 0°)  = 3
>  aber auch [mm]\wurzel{9}[/mm] = [mm]\wurzel{9}[/mm] * (cos 180° +
> i*sin180°) = -3
>  
> Im Reellen ist jedoch [mm]\wurzel{9}[/mm] = 3 und nicht -3.
>
> Kann mir jemand helfen, meinen Widerspruch aufzulösen ?



Im Reellen ist [mm] \wurzel{9}=3 [/mm]

Im Komplexen ist [mm] \wurzel{9}=\pm [/mm] 3

FRED

>
> Danke und viele Grüße
>  Rubi
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
Wurzel komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Mi 03.06.2015
Autor: rubi

Hallo Fred,

vielen Dank für deine Ausführungen.
Das löst meinen Widerspruch tatsächlich auf, trotzdem finde ich es seltsam.

Das heißt, dass ich das Ergebnis von [mm] \wurzel{9} [/mm] eigentlich gar nicht genau angeben kann, wenn nicht klar ist, ob Zahl 9 als reelle (Ergebnis 3) oder komplexe Zahl (zwei Ergebnisse 3 und -3) anzusehen ist ?

Viele Grüße
Rubi


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Bezug
Wurzel komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Mi 03.06.2015
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für deine Ausführungen.
> Das löst meinen Widerspruch tatsächlich auf, trotzdem
> finde ich es seltsam.
>
> Das heißt, dass ich das Ergebnis von [mm]\wurzel{9}[/mm] eigentlich
> gar nicht genau angeben kann, wenn nicht klar ist, ob Zahl
> 9 als reelle (Ergebnis 3) oder komplexe Zahl (zwei
> Ergebnisse 3 und -3) anzusehen ist ?

Ja, so kann man das sehen. Aber man gewöhnt sich daran.

FRED

>  
> Viele Grüße
>  Rubi
>  


Bezug
                        
Bezug
Wurzel komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Mi 03.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das heißt, dass ich das Ergebnis von [mm]\wurzel{9}[/mm] eigentlich gar nicht genau angeben kann, wenn nicht klar ist, ob Zahl 9 als reelle (Ergebnis 3) oder komplexe Zahl (zwei Ergebnisse 3 und -3) anzusehen ist ?

du musst dir klar machen, dass das auch im Reellen eigentlich nur deswegen klar ist, weil man es so definiert.

Aktuell ist ja [mm] \sqrt{x} [/mm] definiert als diejenige Zahl $a [mm] \ge [/mm] 0$, so dass [mm] $a^2 [/mm] = x$. Mach dir mal klar, dass auch nichts dagegen sprechen würde zu sagen, dass [mm] \sqrt{x} [/mm] diejenige Zahl [mm] $a\le [/mm] 0$ ist, so dass [mm] $a^2=x$. [/mm]

Dann wäre [mm] $\sqrt{9} [/mm] = -3$ (und einige Wurzelgesetze leicht modifiziert, aber das macht gerade nix).

Ebenso könntest du eben auch im Komplexen einschränken, dass du mit [mm] \sqrt{x} [/mm] immer gerade die komplexe Zahl z mit [mm] $Re(z)\ge [/mm] 0,Im(z) [mm] \ge [/mm] 0$ meinst, so dass [mm] $z^2 [/mm] = x$.
Dann wäre deine Lösung auch wieder eindeutig.....

Gruß,
Gono


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Wurzel komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:53 Do 04.06.2015
Autor: HJKweseleit

Wenn man im komplexen höhere Wurzeln ziehen will, z.B. [mm] \wurzel[8]{0,6+0,8i}, [/mm] gibt es zur entsprechenden Gleichung [mm] z^8=0,6+0,8i [/mm] genau 8 verschiedene mögliche Lösungen auf dem komplexen Einheitskreis, die alle relativ gleichwertig sind. Welche sollte man nun aus welchem Grund besonders hervorheben? Die Wurzel"funktion" im Komplexen ist gar nicht als Funktion definiert!



Bezug
                                        
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Wurzel komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:04 Do 04.06.2015
Autor: rmix22


> Welche sollte man nun aus welchem Grund besonders
> hervorheben?

Die mit der kleinsten Phase!
Das irritiert manche Anwender bei Verwendung von manchen CAS  Programmen, wenn [mm] $(-1)^{\frac 1 3}$ [/mm] dann eben nicht [mm] -1 [/mm] ist sondern [mm]1 \angle 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}+j *\frac {1} 2[/mm].

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Wurzel komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:56 Do 04.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Welche sollte man nun aus welchem Grund besonders hervorheben? Die Wurzel"funktion" im Komplexen ist gar nicht als Funktion definiert!

Das Problem tritt doch letztlich auch schon im reellen auf, wie ich schrieb. Nur dass man sich da halt "nur" aus zwei Möglichen sinnvollen Lösungen eine aussuchen muss, im Komplexen halt  aus mehreren.

Und wie rmix schon schrieb, kann man sich durchaus auch im komplexen auf eine eindeutige Lösung "einigen" :-)

Gruß,
Gono

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