Wurzel (m+1):m = Irrational < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Sa 12.10.2013 | | Autor: | P357 |
Ich versuche gerade zu beweisen das:
[mm] \wurzel{\bruch{m+1}{m}} [/mm]
irrational ist bei natürlichen Zahlen [mm] m\ge1, [/mm] bis jetzt habe ich es nur für gerade Zahlen m geschaft und wäre froh wenn ihr kontrollieren könntet ob das soweit schonmal richtig ist und wenn ihr mir einen Ansatz liefern könntet wie ich es für ungerade Zahlen m beweisen könnte.
Annahme:
[mm] \wurzel{\bruch{m+1}{m}} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q}
[/mm]
Weg:
[mm] \bruch{m+1}{m} [/mm] = [mm] \bruch{p^{2}}{q^{2}}
[/mm]
p und q sind Teilerfremd, also auch [mm] p^{2} [/mm] und [mm] q^{2}
[/mm]
p [mm] \ge [/mm] q, also auch [mm] p^{2} \ge q^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{m+1}{m} [/mm] = [mm] \bruch{p^{2}}{q^{2}}
[/mm]
p = q + n
n ist ungerade, wegen Teilerfremdheit von p und q
[mm] \bruch{m+1}{m} [/mm] = [mm] \bruch{q^{2} + 2*n*q + n^{2}}{q^{2}}
[/mm]
[mm] q^{2} [/mm] + [mm] \bruch{q^{2}}{m}= q^{2} [/mm] + 2*n*q + [mm] n^{2}
[/mm]
[mm] q^{2} [/mm] = [mm] \{ 2*n*q + n^{2} \}*m
[/mm]
also ist m ungerade wenn q ungerade, bzw. falls m gerade ist auch q gerade
m = 2*k
q = 2*j
p = 2*c+1
[mm] \bruch{2*k+1}{2*k}=\bruch{4*c^{2}+4*c+1}{4*j^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{8*j^{2}*k + 4*j^{2}}{2*k} [/mm] = [mm] 4*c^{2}+4*c+1
[/mm]
[mm] 2*\{\bruch{4*j^{2}*k + 2*j^{2}}{2*k}\} [/mm] = [mm] 4*c^{2} [/mm] + 4*c +1
da habe ich jetzt den Wiederspruch, aber halt nur wenn m gerade ist.
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> Ich versuche gerade zu beweisen das:
>
> [mm]\wurzel{\bruch{m+1}{m}}[/mm]
>
> irrational ist bei natürlichen Zahlen [mm]m\ge1,[/mm] bis jetzt
> habe ich es nur für gerade Zahlen m geschaft und wäre
> froh wenn ihr kontrollieren könntet ob das soweit schonmal
> richtig ist und wenn ihr mir einen Ansatz liefern könntet
> wie ich es für ungerade Zahlen m beweisen könnte.
Hallo P357,
da bist du ja wieder mit der Aufgabe von vor 3 Tagen.
Eigentlich wäre es sinnvoll gewesen, deine neue Frage
dort anzuhängen. Ich werde meine Kommentare aber
jetzt doch hier anbringen.
> Annahme:
>
> [mm]\wurzel{\bruch{m+1}{m}}\ =\ \bruch{p}{q}[/mm]
>
> Weg:
>
> [mm]\bruch{m+1}{m}\ =\ \bruch{p^{2}}{q^{2}}[/mm]
>
> p und q sind Teilerfremd, also auch [mm]p^{2}[/mm] und [mm]q^{2}[/mm]
Teilerfremdheit von p und q darf man für den Beweis
voraussetzen nach der vorgängigen Überlegung:
"Hätten wir zunächst ein Paar (p',q') von nicht
teilerfremden Zahlen mit [mm] \frac{p'}{q'}=\sqrt{\frac{m+1}{m}}, [/mm] so würden
wir zunächst vollständig kürzen und dann den neuen
Zähler p und den neuen Zähler q nennen."
> p [mm]\ge[/mm] q, also auch [mm]p^{2} \ge q^{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{m+1}{m}\ =\ \bruch{p^{2}}{q^{2}}[/mm]
>
> p = q + n
>
> n ist ungerade, wegen Teilerfremdheit von p und q ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das stimmt so nicht ! Z.B. sind die Zahlen 15 und 19
teilerfremd, aber ihre Differenz ist gerade !
> [mm]\bruch{m+1}{m}[/mm] = [mm]\bruch{q^{2} + 2*n*q + n^{2}}{q^{2}}[/mm]
>
> [mm]q^{2}[/mm] + [mm]\bruch{q^{2}}{m}= q^{2}[/mm] + 2*n*q + [mm]n^{2}[/mm]
>
> [mm]q^{2}[/mm] = [mm]\{ 2*n*q + n^{2} \}*m[/mm]
>
> also ist m ungerade wenn q ungerade, bzw. falls m gerade
> ist auch q gerade
>
> n = 2*k
>
> q = 2*j
>
> p = 2*c+1
>
> [mm]\bruch{2*k+1}{2*k}=\bruch{4*c^{2}+4*c+1}{4*j^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{8*j^{2}*k + 4*j^{2}}{2*k}[/mm] = [mm]4*c^{2}+4*c+1[/mm]
>
> [mm]2*\{\bruch{4*j^{2}*k + 2*j^{2}}{2*k}\}[/mm] = [mm]4*c^{2}[/mm] + 4*c +1
>
> da habe ich jetzt den Wiederspruch,
sprachliche Anmerkung nebenbei:
"Widerspruch" hat nichts mit "wieder" zu tun, sondern
fast noch eher mit einem (sanften) "Widder" !
> aber halt nur wenn m gerade ist.
Ich weiß, dass ich dich möglicherweise mit einer
meiner früheren Antworten zu diesem Lösungsversuch
angestiftet habe.
Tatsächlich kann man den Beweis recht kurz gestalten,
wenn man sich das Ganze zunächst wie oben zurechtlegt
und dann zur Frage kommt:
Ist es möglich, dass es zwei teilerfremde natürliche Zahlen
p, q (mit p>q) und eine weitere natürliche Zahl m gibt,
so dass
[mm]\bruch{m+1}{m}\ =\ \bruch{p^{2}}{q^{2}}\qquad ?[/mm]
Wie du oben schon erwähnt hast, sind auch [mm] p^2 [/mm] und [mm] q^2
[/mm]
teilerfremd, falls p und q dies sind.
Und nun zur hauptsächlichen Überlegung des Beweises,
die uns gleich zum Ziel führen wird:
Zu jeder positiven rationalen Zahl gibt es genau eine
vollständig gekürzte Form, bei welcher Zähler und Nenner
teilerfremde natürliche Zahlen sind.
In der Gleichung
[mm]\underbrace{\bruch{m+1}{m}}_L\ =\ \underbrace{\bruch{p^{2}}{q^{2}}}_R[/mm]
steht links und rechts des Gleichheitszeichens jeweils
gerade so ein Bruch. Dass [mm] p^2 [/mm] und [mm] q^2 [/mm] teilerfremd sind,
folgt aus der Teilerfremdheit von p und q, welche wir
voraussetzen durften, und im Term L sind natürlich
Zähler und Nenner, die sich um genau 1 unterscheiden,
ebenfalls teilerfremd.
Aus der Eindeutigkeit der gekürzten Bruchdarstellung
folgt nun, dass die Gleichung nur gelten kann, wenn
sowohl Zähler als auch Nenner übereinstimmen, also:
$\ m+1\ =\ [mm] p^2$ [/mm] und $\ m\ =\ [mm] q^2$
[/mm]
Zu zeigen, dass dies mit natürlichen Zahlen mit [mm] p>q\ge1
[/mm]
nicht möglich ist, kann ich dir jetzt wohl überlassen.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 So 13.10.2013 | | Autor: | P357 |
Danke erstmal für den Beweis, deiner ist deutlich praktischer, jetzt habe ich allerdings noch eine Frage, warum sollte n nicht ungerade sein, da p und q Teilerfremd sind ist also p gerade wenn q ungerade ist, gleichzeitig ist q gerade wenn p ungerade ist, daraus folgt das n ungerade sein muss da,falls p gerade ist
p/gerade = q/ungerade + n/ungerade
wenn p allerdings ungerade
p/ungerade = q/gerade + n/ungerade
da ja nur so aus einer gerade/ungeraden Zahl eine gerade/ungerade entstehen kann(in diesem Fall)
das ist doch so richtig?
also ist mein Beweis durchaus legitim blos halt total umständlich und nur für gerade m.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:18 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Danke erstmal für den Beweis, deiner ist deutlich
> praktischer, jetzt habe ich allerdings noch eine Frage,
> warum sollte n nicht ungerade sein, da p und q Teilerfremd sind
Betrachte das Beispiel, das Al dir genannt hat:
$p=19$, $q=15$
Dann sind $p$ und $q$ auch teilerfremd, aber die eindeutig bestimmte Zahl $n$ mit $p=q+n$ ist die Zahl $n=4$. Die ist ohne Zweifel gerade und nicht ungerade.
> ist also p gerade wenn q ungerade ist,
Warum das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo P357,
> Ich versuche gerade zu beweisen das:
>
> [mm]\wurzel{\bruch{m+1}{m}}[/mm]
>
> irrational ist bei natürlichen Zahlen [mm]m\ge1,[/mm] bis jetzt
> habe ich es nur für gerade Zahlen m geschaft und wäre
> froh wenn ihr kontrollieren könntet ob das soweit schonmal
> richtig ist und wenn ihr mir einen Ansatz liefern könntet
> wie ich es für ungerade Zahlen m beweisen könnte.
>
> Annahme:
>
> [mm]\wurzel{\bruch{m+1}{m}}[/mm] = [mm]\bruch{p}{q}[/mm]
>
> Weg:
>
> [mm]\bruch{m+1}{m}[/mm] = [mm]\bruch{p^{2}}{q^{2}}[/mm]
>
> p und q sind Teilerfremd, also auch [mm]p^{2}[/mm] und [mm]q^{2}[/mm]
>
> p [mm]\ge[/mm] q, also auch [mm]p^{2} \ge q^{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{m+1}{m}[/mm] = [mm]\bruch{p^{2}}{q^{2}}[/mm]
>
> p = q + n
Wann immer du neue Variablen einführst, wäre ein einführender Satz angebracht. Hier z.B.:
"Da [mm] $p\ge [/mm] q$ existiert eine natürliche Zahl $n$ mit $p=q+n$."
> n ist ungerade, wegen Teilerfremdheit von p und q
>
> [mm]\bruch{m+1}{m}[/mm] = [mm]\bruch{q^{2} + 2*n*q + n^{2}}{q^{2}}[/mm]
>
> [mm]q^{2}[/mm] + [mm]\bruch{q^{2}}{m}= q^{2}[/mm] + 2*n*q + [mm]n^{2}[/mm]
>
> [mm]q^{2}[/mm] = [mm]\{ 2*n*q + n^{2} \}*m[/mm]
>
> also ist m ungerade wenn q ungerade, bzw. falls m gerade
> ist auch q gerade
>
> m = 2*k
>
> q = 2*j
>
> p = 2*c+1
>
> [mm]\bruch{2*k+1}{2*k}=\bruch{4*c^{2}+4*c+1}{4*j^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{8*j^{2}*k + 4*j^{2}}{2*k}[/mm] = [mm]4*c^{2}+4*c+1[/mm]
>
> [mm]2*\{\bruch{4*j^{2}*k + 2*j^{2}}{2*k}\}[/mm] = [mm]4*c^{2}[/mm] + 4*c +1
>
> da habe ich jetzt den Wiederspruch, aber halt nur wenn m
> gerade ist.
Worin besteht der Widerspruch?
Falls du argumentieren könntest, dass [mm] $\{\bruch{4*j^{2}*k + 2*j^{2}}{2*k}\}$ [/mm] eine ganze Zahl ist, wäre die linke Seite deiner Gleichung gerade und die rechte Seite ungerade.
Aber ich sehe gerade nicht, wie du so ohne Weiteres auf die Ganzzahligkeit besagter Zahl schließen kannst.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:06 So 13.10.2013 | | Autor: | P357 |
Es kann ja nur eine ganze Zahl entstehen, da
$ [mm] \{\bruch{4\cdot{}j^{2}\cdot{}k + 2\cdot{}j^{2}}{2\cdot{}k}\} [/mm] $
[mm] 2*j^{2} [/mm] + [mm] \bruch{j^{2}}{k}
[/mm]
ich beweisen kann das
[mm] q^{2} \ge [/mm] m
also
[mm] 4*j^{2} \ge [/mm] 2*k
[mm] 2*j^{2} \ge [/mm] k
ich habe grundsätzlich bei fast allen Zahlen in der obigen Formel eine Zahl heraus die garantiert nicht q² ergeben kann, das problem sind jetzt lediglich Zahlen bei denen ,5 vorkommt da das mal zwei multipliziert eine gerade Zahl ergeben könnte, die vorraussetzung das dies entsteht geht nur wenn k aus vielfachen von 2 besteht und j ungerade ist
[mm] 2*j^{2} [/mm] + [mm] \bruch{j^{2}}{k} [/mm] = q²
[mm] 2*j^{2}*k [/mm] + [mm] j^{2} [/mm] = q² * k :2
Und nun habe ich den beweis das für gerade k und ungerade j, die Gleichng nicht aufgeht da
2*j²*k/gerade + j²/ungerade = q²*k:2/gerade
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:37 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Es kann ja nur eine ganze Zahl entstehen, da
>
> [mm]\{\bruch{4\cdot{}j^{2}\cdot{}k + 2\cdot{}j^{2}}{2\cdot{}k}\}[/mm]
>
> [mm]2*j^{2}[/mm] + [mm]\bruch{j^{2}}{k}[/mm]
Ja, zeigen müsstest du also, dass [mm] $j^2$ [/mm] ein Vielfaches von $k$ ist.
> ich beweisen kann das
>
> [mm]q^{2} \ge[/mm] m
Das hast du zwar noch nicht hier im Forum bewiesen, aber ich nehme das mal so hin.
> also
>
> [mm]4*j^{2} \ge[/mm] 2*k
>
> [mm]2*j^{2} \ge[/mm] k
Ja, dann folgen diese Ungleichungen.
Was diese mit dem Folgenden zu tun haben, erschließt sich mir nicht.
Im folgenden Abschnitt verstehe ich nur Bahnhof...
> ich habe grundsätzlich bei fast allen Zahlen in der obigen
> Formel
Meinst du [mm] $2*j^{2} [/mm] + [mm] \bruch{j^{2}}{k}$?
[/mm]
> eine Zahl heraus die garantiert nicht q² ergeben
> kann,
Du möchtest also nun [mm] $2*j^{2} [/mm] + [mm] \bruch{j^{2}}{k}\not=q^2$ [/mm] zeigen?
> das problem sind jetzt lediglich Zahlen bei denen ,5
> vorkommt
Auf welchen Term beziehst du dich?
> da das mal zwei multipliziert eine gerade Zahl
> ergeben könnte,
Eine Zahl, die eine 5 als einzige Nachkommastelle hat, mal 2 genommen ergibt doch eine ungerade Zahl.
> die vorraussetzung das dies entsteht geht
> nur wenn k aus vielfachen von 2 besteht und j ungerade ist
Was meinst du mit "aus Vielfachen von 2 bestehen"?
> [mm]2*j^{2}[/mm] + [mm]\bruch{j^{2}}{k}[/mm] = q²
Wo kommt diese Gleichung her?
Wenn du sie zeigen könntest, wäre natürlich [mm] $2*j^{2} +\bruch{j^{2}}{k}$ [/mm] ganzzahlig.
> [mm]2*j^{2}*k[/mm] + [mm]j^{2}[/mm] = q² * k :2
Wie kommt jetzt das :2 am Ende her?
> Und nun habe ich den beweis das für gerade k und ungerade
> j, die Gleichng nicht aufgeht da
>
> 2*j²*k/gerade + j²/ungerade = q²*k:2/gerade
Warum ist [mm] q^2*k:2 [/mm] gerade?
Was bezweckst du mit deiner Behauptung, dass nicht gleichzeitig k gerade und j ungerade sein kann?
Du siehst: Deine Notation deiner Gedanken ist äußerst schwer nachzuvollziehen.
Versuche deutlicher aufzuschreiben, was du womit eigentlich zeigen möchtest.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:45 So 13.10.2013 | | Autor: | P357 |
Ich schreibe das Morgen nochmal ausführlich auf.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 13.10.2013 | | Autor: | P357 |
Ich habe am Ende diesen Therm bekommen:
$ [mm] 2\cdot{}\{\bruch{4\cdot{}j^{2}\cdot{}k + 2\cdot{}j^{2}}{2\cdot{}k}\} [/mm] $ = $ [mm] 4\cdot{}c^{2} [/mm] $ + 4*c +1
gekürzt steht dann da:
[mm] 2*\{ 2*j^{2} + \bruch{j^{2}}{k} \} [/mm] = [mm] q^{2}
[/mm]
da ich ja zeigen muss das keine ganze Zahl und keine ungerade Zahl entstehen kann forme ich nun um.
[mm] 2*j^{2}*k [/mm] + [mm] j^{2} [/mm] = [mm] \bruch{q^{2}*k}{2}
[/mm]
Nun kann ich sehen das nur wenn k ein vielfaches von 2 auf der rechten Seite der Gleichung eine ganze Zahl entsteht, deweiteren wird die Zahl auf der rechten Seite gerade.
Außerdem muss ich mir nun nochmal die Gleichung darüber ansehen um festzustellen welche j in Frage kommen.
$ [mm] 2\cdot{}\{ 2\cdot{}j^{2} + \bruch{j^{2}}{k} \} [/mm] $ = $ [mm] q^{2} [/mm] $
$ [mm] 2\cdot{}j^{2} [/mm] + [mm] \bruch{j^{2}}{k} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{q^{2}}{2} [/mm] $
da q² ungerade ist, ergibt der Therm auf der rechten Seite der Gleichung eine Zahl die als Nachkommastelle 5 hat, nun muss ich mich fragen bei welchen j dies zutrifft und da [mm] 2*j^{2} [/mm] gerade ist muss [mm] \bruch {j^{2}}{k} [/mm] die Nachkommastelle 5 haben. Dies geht nur für ungerade [mm] j^{2}, [/mm] da k gerade ist, folglich ist j ungerade, nun schaue ich mir wieder die Gleichung von oben an:
$ [mm] 2\cdot{}j^{2}\cdot{}k [/mm] $ + $ [mm] j^{2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{q^{2}\cdot{}k}{2} [/mm] $
und habe einen Widerspruch, da j ungerade ist muss die gesamte linke Seite ungerade sein, wärend die rechte Seite aber gerade ist da k aus Vielfachen von 2 besteht, folglich gibt es keine Zahlen j und k die den Vorraussetzungen entsprechen und q² ergeben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe am Ende diesen Therm bekommen:
>
> [mm]2\cdot{}\{\bruch{4\cdot{}j^{2}\cdot{}k + 2\cdot{}j^{2}}{2\cdot{}k}\}[/mm]
> = [mm]4\cdot{}c^{2}[/mm] + 4*c +1
Ja.
> gekürzt steht dann da:
>
> [mm]2*\{ 2*j^{2} + \bruch{j^{2}}{k} \}[/mm] = [mm]q^{2}[/mm]
Warum ist auf der rechten Seite aus dem [mm] $4*c^2+4*c+1$ [/mm] ein [mm] $q^2$ [/mm] geworden?
Wenn das stimmen würde, wäre
(*) [mm] $4\cdot{}c^{2} [/mm] + 4*c [mm] +1=q^2=(2j)^2$
[/mm]
und du hättest sofort deinen Widerspruch: Die linke Seite von (*) ist ungerade, die rechte Seite hingegen gerade.
> da ich ja zeigen muss das keine ganze Zahl und keine
> ungerade Zahl entstehen kann
Von welchem Term möchtest du zeigen, dass er keine ganze Zahl ist?
> forme ich nun um.
>
> [mm]2*j^{2}*k[/mm] + [mm]j^{2}[/mm] = [mm]\bruch{q^{2}*k}{2}[/mm]
Folgerichtig.
> Nun kann ich sehen das nur wenn k ein vielfaches von 2 auf
> der rechten Seite der Gleichung eine ganze Zahl entsteht,
Nein. $q$ ist doch gerade. Also ist die rechte Seite der letzten Gleichung auf jeden Fall eine ganze Zahl.
> deweiteren wird die Zahl auf der rechten Seite gerade.
Ja, weil [mm] $q^2$ [/mm] den Primfaktor 2 mindestens 2 mal enthält.
> Außerdem muss ich mir nun nochmal die Gleichung darüber
> ansehen um festzustellen welche j in Frage kommen.
>
> [mm]2\cdot{}\{ 2\cdot{}j^{2} + \bruch{j^{2}}{k} \}[/mm] = [mm]q^{2}[/mm]
>
> [mm]2\cdot{}j^{2} + \bruch{j^{2}}{k} [/mm] = [mm]\bruch{q^{2}}{2}[/mm]
Folgerichtig.
> da q² ungerade ist,
Nein, $q=2*j$ ist doch gerade.
> ergibt der Therm auf der rechten Seite
> der Gleichung eine Zahl die als Nachkommastelle 5 hat,
Folgerichtig.
> nun
> muss ich mich fragen bei welchen j dies zutrifft und da
> [mm]2*j^{2}[/mm] gerade ist muss [mm]\bruch {j^{2}}{k}[/mm] die
> Nachkommastelle 5 haben.
Folgerichtig.
> Dies geht nur für ungerade [mm]j^{2},[/mm]
> da k gerade ist,
Nein. Warum könnte z.B. nicht etwa $j=2$ und $k=8$ gelten? Dann wäre $j$ gerade, obwohl $k$ gerade ist und obwohl [mm] $\bruch{j^2}{k}=\bruch{2^2}{8}=0,5$ [/mm] genau die Nachkommastelle 5 hat.
> folglich ist j ungerade,
Folgerichtig.
> nun schaue ich
> mir wieder die Gleichung von oben an:
>
> [mm]2\cdot{}j^{2}\cdot{}k[/mm] + [mm]j^{2}[/mm] = [mm]\bruch{q^{2}\cdot{}k}{2}[/mm]
>
> und habe einen Widerspruch, da j ungerade ist muss die
> gesamte linke Seite ungerade sein, wärend die rechte Seite
> aber gerade ist
Folgerichtig (da $q$ gerade ist).
Folglich wärst du (wenn nicht zahlreiche Lücken und Fehler in deiner Argumentation wären) fertig.
> da k aus Vielfachen von 2 besteht,
Noch einmal die Frage: Was meinst du mit "aus Vielfachen von 2 bestehen"?
> folglich
> gibt es keine Zahlen j und k die den Vorraussetzungen
> entsprechen und q² ergeben.
Was meinst du damit, dass $j$ und $k$ (nicht) [mm] $q^2$ [/mm] ergeben?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 13.10.2013 | | Autor: | P357 |
Tut mir leid ich hätte das möglicherweise ausdrücklicher schreiben sollen, ich definiere:
[mm] q^{2} [/mm] = [mm] 4*c^{2}+4*c+1
[/mm]
also ist q ungerade, da auch q² ungerade ist, das kommt weil ich q mit p verwechselt habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Tut mir leid ich hätte das möglicherweise ausdrücklicher
> schreiben sollen, ich definiere:
>
> [mm]q^{2}[/mm] = [mm]4*c^{2}+4*c+1[/mm]
>
> also ist q ungerade, da auch q² ungerade ist, das kommt
> weil ich q mit p verwechselt habe.
Die Variable $q$ ist ja schon vergeben, also kannst du sie nicht einfach neu definieren.
Du meinst also überall, wo in deiner vorigen Frage $q$ steht, in Wirklichkeit $p$?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 13.10.2013 | | Autor: | P357 |
Ja das war ein versehen, normalerweise mache ich so etwas nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Jetzt noch einmal, wobei ich mir immer ein p denke, wenn q da steht:
> Ich habe am Ende diesen Therm bekommen:
>
> [mm]2\cdot{}\{\bruch{4\cdot{}j^{2}\cdot{}k + 2\cdot{}j^{2}}{2\cdot{}k}\}[/mm]
> = [mm]4\cdot{}c^{2}[/mm] + 4*c +1
>
> gekürzt steht dann da:
>
> [mm]2*\{ 2*j^{2} + \bruch{j^{2}}{k} \}[/mm] = [mm]q^{2}[/mm]
Ja.
> da ich ja zeigen muss das keine ganze Zahl und keine
> ungerade Zahl entstehen kann forme ich nun um.
Vermutlich möchtest du den gewünschten Widerspruch also dadurch herleiten, dass du zeigst, dass die linke Seite deiner letzten Gleichung keine ungerade ganze Zahl ist (die rechte Seite aber natürlich schon).
> [mm]2*j^{2}*k[/mm] + [mm]j^{2}[/mm] = [mm]\bruch{q^{2}*k}{2}[/mm]
Ja.
> Nun kann ich sehen das nur wenn k ein vielfaches von 2 auf
> der rechten Seite der Gleichung eine ganze Zahl entsteht,
Ja.
> deweiteren wird die Zahl auf der rechten Seite gerade.
Warum das?
> Außerdem muss ich mir nun nochmal die Gleichung darüber
> ansehen um festzustellen welche j in Frage kommen.
>
> [mm]2\cdot{}\{ 2\cdot{}j^{2} + \bruch{j^{2}}{k} \}[/mm] = [mm]q^{2}[/mm]
>
> [mm]2\cdot{}j^{2} + \bruch{j^{2}}{k} [/mm] = [mm]\bruch{q^{2}}{2}[/mm]
Ja.
> da q² ungerade ist, ergibt der Therm auf der rechten Seite
> der Gleichung eine Zahl die als Nachkommastelle 5 hat,
Ja.
> nun
> muss ich mich fragen bei welchen j dies zutrifft und da
> [mm]2*j^{2}[/mm] gerade ist muss [mm]\bruch {j^{2}}{k}[/mm] die
> Nachkommastelle 5 haben.
Ja.
> Dies geht nur für ungerade [mm]j^{2},[/mm]
> da k gerade ist,
Nein.
> folglich ist j ungerade,
Folgerichtig.
> nun schaue ich
> mir wieder die Gleichung von oben an:
>
> [mm]2\cdot{}j^{2}\cdot{}k[/mm] + [mm]j^{2}[/mm] = [mm]\bruch{q^{2}\cdot{}k}{2}[/mm]
>
> und habe einen Widerspruch, da j ungerade ist muss die
> gesamte linke Seite ungerade sein,
Folgerichtig.
> wärend die rechte Seite
> aber gerade ist
S.o.: Warum das?
> da k aus Vielfachen von 2 besteht,
Noch einmal die Nachfrage: Was meinst du mit "aus Vielfachen von 2 bestehen"?
Du hättest also nun bei korrekter Argumentation den gewünschten Widerspruch und wärst fertig.
> folglich
> gibt es keine Zahlen j und k die den Vorraussetzungen
> entsprechen und q² ergeben.
Ich weiß weder, was du mit "$j$ und $k$ ergeben [mm] $q^2$" [/mm] meinst, noch was diese Feststellung zu deiner Argumentation beiträgt.
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Schon der Pythagoräer Archytas bewies die Irrationalität von Wurzel((m+1)/m) für natürliche Zahlen . Der Beweis für den Fall Wurzel 2 ist in Euklids Elementen überliefert (Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2). Den Satz des Archytas verallgemeinerte Euklid selbst in seiner Musiktheorie, in der er die Irrationalität beliebiger Wurzeln n-te Wurzel aus (m+1)/m bewies.
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> Schon der Pythagoräer Archytas bewies die Irrationalität
> von Wurzel((m+1)/m) für natürliche Zahlen . Der Beweis
> für den Fall Wurzel 2 ist in Euklids Elementen
> überliefert (Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel
> aus 2). Den Satz des Archytas verallgemeinerte Euklid
> selbst in seiner Musiktheorie, in der er die
> Irrationalität beliebiger Wurzeln n-te Wurzel aus (m+1)/m
> bewies.
Hallo pferdinand,
danke für den Hinweis. Der Schritt vom Beweis der
Irrationalität von [mm] $\sqrt{\frac{m+1}{m}}$ [/mm] zu dem für die von [mm] $\sqrt[n]{\frac{m+1}{m}}$
[/mm]
ist übrigens sehr, sehr einfach zu führen, wenn man
von den Überlegungen ausgeht, die ich da aus-
geführt habe.
LG , Al-Chw.
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