Wurzel natürlicher Zahlen ganz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Sa 10.11.2007 | | Autor: | dingdong |
| Aufgabe | | Zeige: Sind k,n [mm] \in \IN, [/mm] so ist [mm] \wurzel[k]{n} [/mm] ganzzahlig oder irrational. (Tip: Sei [mm] \wurzel[k]{n} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} [/mm] mit [mm] p,q\in\IN [/mm] teilerfremd. Folgere q = 1 mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.) |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Habe folgenden Ansatz:
Beh.: [mm] \forall [/mm] k,n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \wurzel[k]{n} \in (\IR\setminus\IQ)\cap\IZ
[/mm]
Beweis: (durch Widerspruch)
Angenommen [mm] \wurzel[k]{n} \in \IQ\setminus\IZ \Rightarrow \forall k,n\in\IN \exists p,q\in\IN [/mm] teilerfremd, q [mm] \not= [/mm] 1 : [mm] \wurzel[k]{n} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q}
[/mm]
p und q lassen sich in Primfaktoren zerlegen:
p = [mm] a_{1}^{j_{1}} [/mm] * [mm] a_{2}^{j_{2}} [/mm] * ... * [mm] a_{n}^{j_{n}} [/mm] mit [mm] j_{1},...,j_{n},a_{1},...,a_{n}\in\IN [/mm] und [mm] \forall k,l\in\{1,...,n\}: a_{k} \not= a_{l}
[/mm]
q = [mm] b_{1}^{i_{1}} [/mm] * [mm] b_{2}^{i_{2}} [/mm] * ... * [mm] b_{m}^{i_{m}} [/mm] mit [mm] i_{1},...,i_{m},b_{1},...,b_{m}\in\IN [/mm] und [mm] \forall k,l\in\{1,...,m\}: a_{k} \not= a_{l}
[/mm]
Laut Annahme gilt: p,q teilerfremd [mm] \Rightarrow \forall [/mm] u [mm] \in \{1,...,n\}, \forall [/mm] v [mm] \in \{1,...,m\}: a_{u} \not= b_{v}
[/mm]
... und an der Stelle weiß ich nicht weiter! Hat jemand einen Tip für mich?
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Einen schönen guten Morgen
z.Z ist also dass [mm] \wurzel[k]{n} \in \IR \vee \IZ \forall [/mm] n,k [mm] \in \IN. [/mm]
Die idee mit dem Beweis durch Widerspruch ist richtig.
Also angenommen [mm] \wurzel[k]{n} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} [/mm] mit ggt(p,q) = 1. Dann ist ja
[mm] n=\bruch{p^k}{q^k} [/mm] also [mm] p^k [/mm] = [mm] n*q^k. [/mm] Das heißt aber das [mm] p^k [/mm] durch n teilbar ist, dann muss aber auch p schon durch n teilbar gewesen sein. Beim Potenzieren kommt ja kein neuer Primfaktor hinzu (Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung). Dass heißt dann aber das p=n*r mit irgendeiner zahl r [mm] \in \IN [/mm] ist. Das einsetzten. dann nochmal das gleiche auf der Anderen Seite machen . es greift das selbe argument. Du bekommst dann raus das ggt(p,q)=n und nicht 1. Das führt nur dann nicht zum Widerspruch wenn q=1 [mm] \Rightarrow q^k=1
[/mm]
Einen schönen Tag wünsche ich.
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Vielen Dank für deine Antwort!
Zunächst mal eine Korrektur: Ich habe in der Behauptung geschrieben: [mm] \forall [/mm] k,n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \wurzel[k]{n} \in (\IR\setminus\IQ)\cap\IZ [/mm] , hier muss natürlich [mm] (\IR\setminus\IQ)\cup\IZ [/mm] stehen! Das war ein Tippfehler!
So,..., jetzt habe ich mit deinem Tipp weitergerechnet, setze also p=n*r ein und stelle, die Gleichung um, sodass ich auf [mm] q^{k}=n^{k-1}*r [/mm] komme. Kann ich daraus schließen, dass n|q? Dass dann [mm] n\not=1=ggT(p,q) [/mm] wäre, habe ich verstanden. Wieso führt das aber nur für q=1 nicht zum Widerspruch?
Kann mir jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 So 18.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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