Wurzel ziehen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Hallo,
wenn z = 1 - [mm] \wurzel{3} [/mm] ist, dann ist der Betrag von z = 2.
Wie bestimme ich jetzt das Argument von z?
ist das nicht [mm] tan(\alpha) [/mm] = y / x? Also: tan(/alpha) = - [mm] \wurzel{3} [/mm] ? |
| Aufgabe 2 | Somit wäre der Winkel [mm] \alpha [/mm] = -60°.
So, das wäre bei mir in Bogenmaß so ziemlich genau - [mm] \pi/3.
[/mm]
Ist das richtig?
Demnach wären die Wurzel-Zahlen:
[mm] \wurzel{2} [/mm] [ (cos [mm] \bruch{\pi (\bruch{-1}{3} + 2k)}{2} [/mm] ) + i (sin [mm] \bruch{\pi (\bruch{-1}{3} + 2k)}{2} [/mm] ) ] mit k=0,1
oder nicht?
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Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Di 25.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dumeinst [mm] z=1-i*\wurzel{3}?
[/mm]
Dann ist [mm] -\pi/3 [/mm] richtig, und deine Formel auch, besser waer vielleich statt [mm] -\pi/3 +5\pi/3 [/mm] zu schreiben. Aber richtig ists.
Du musst noch z in die Form a+ib bringen, also sin und cos ausrechnen.
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Ok, das habe ich verstanden. Nur eins ist mir jetzt wieder unklar. Wie gehe ich weiter vor? Ich setze einfach n verschieden aber aufeinanderfolgende nat. zahlen ein und erhalte n komplexe zahlen. Ok. Muss der Taschenrechner auf DEG oder RAD eingestellt sein? |
Wie bestimme ich das Argument von einer komplexen Zahl, die so aussieht?
[mm] z^5 [/mm] = 4 - 5i
Da habe ich überhaupt keinen Ansatz für...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Di 25.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo DoktorQuagga!
> Ok, das habe ich verstanden. Nur eins ist mir jetzt wieder
> unklar. Wie gehe ich weiter vor? Ich setze einfach n
> verschieden aber aufeinanderfolgende nat. zahlen ein und
> erhalte n komplexe zahlen. Ok. Muss der Taschenrechner auf
> DEG oder RAD eingestellt sein?
RAD, da ja mit [mm] $\pi$ [/mm] gerechnet wird, sind wir im Bogenmaß!
> Wie bestimme ich das Argument von einer komplexen Zahl,
> die so aussieht?
>
> [mm]z^5[/mm] = 4 - 5i
Zunächst einmal klarmachen, in welchem Quadranten der Gauß'schen Zahlenebene sich diese komplexe Zahl befindet.
Da sich diese komplexe Zahle im 4. Quadranten befindet, muss das Argument zwischen den Werten [mm] $\bruch{3}{2}\pi$ [/mm] und [mm] $2\pi$ [/mm] liegen.
[mm] $$\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{Im(z)}{Re(z)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-5}{4} [/mm] \ = \ -1.25$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ [mm] \varphi [/mm] \ = \ [mm] \arctan(-1.25) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -0.896$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ [mm] \varphi' [/mm] \ = \ [mm] \varphi+2\pi [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -0.896+6.283 \ = \ 5.387$$
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | Hallo, danke für die ausführliche Erklärung. aber warum hast du im letzten Schritt 2 [mm] \pi [/mm] addiert? was kriegst du da dann raus? Und warum machst du das? Und was muss ich danach noch machen? |
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der arcustangens bestimmt dir dem Winkel unterhalb der x-Achse bis zur Zahl, also den zwar kleineren aber in negativer Richtung zeigenden. (Daher auch [mm] \varphi=\red{-}0,896 [/mm] ) Du willst aber den grossen Winkel bis in den vierten Quadranten haben. Beide Zusammen ergaben aber den Vollkreis, also ist der mathematisch positive Winkel mit der Addition von [mm] 2\pi_{[RAD]}\hat=360°_{[DEG]} [/mm] zu bestimmen.
Mach dir mal ne Skizze dazu, dann solltest du es sehen.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Di 25.11.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo leduart,
> Hallo
> Dumeinst [mm]z=1-i*\wurzel{3}?[/mm]
> Dann ist [mm]-\pi/3[/mm] richtig, und deine Formel auch, besser
> waer vielleich statt [mm]-\pi/3 +5\pi/3[/mm] zu schreiben. Aber
Es muß hier richtig heißen:
[mm]-\bruch{\pi}{3} + \blue{2 \pi =}\bruch{5 \pi}{3}[/mm]
> richtig ists.
> Du musst noch z in die Form a+ib bringen, also sin und cos
> ausrechnen.
> Gruss leduart
Gruß
MathePower
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