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Wurzelfunktion Grenzwerte...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Sa 16.09.2017
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gegeben ist  f(x) = [mm] \wurzel{3x+5} [/mm] -2


a) Berechnen und vereinfachen Sie den Diffrenzenquotienten.

b) bestimmen Sie den Grenzwert !

Es ist keine bestimmte Stelle vorgegeben!


Zur vereinfachung betrachten wir nur den reellen Zahlenbereich.

Moin, moin!


zu a)

Wie kann man den Diffrenzenquotienten weiter umformen; komme da nicht auf den "Trick" !???


[mm] m_s [/mm] = [mm] \bruch{f(x+h) - f(x)}{x+h - x} [/mm]

[mm] m_s [/mm] = [mm] \bruch{ \wurzel{3(x+h)+5} -2 - ( \wurzel{3x+5} -2)}{h} [/mm]

[mm] m_s [/mm] =  [mm] \bruch{\wurzel{3(x+h)+5} - \wurzel{3x+5}}{h} [/mm]


Wie kann man da weiter vereinfachen?

Erweitern mithilfe binomischer Formel führt zu nichts.
Kann man eventuell etwas substituieren??
Oder gibt es andere Umformungskniffe??



b)

[mm] \limes_{n\rightarrow 0} m_s [/mm]


Dies scheitert an der fehlenden Umformung!



Danke & Gruß




        
Bezug
Wurzelfunktion Grenzwerte...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Sa 16.09.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

Leider scheint die LaTeX-Darstellung im Moment nicht korrekt zu funktionieren.

$ [mm] \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} [/mm] = [mm] \frac{\left(\sqrt{3x_1-5}-2\right) - \left(\sqrt{3x_0-5}-2\right)}{x_1-x_0} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{3x_1-5}- \sqrt{3x_0-5}}{x_1-x_0} [/mm] = [mm] \frac{(3x_1-5)- (3x_0-5)}{(x_1-x_0)\left(\sqrt{3x_1-5}+ \sqrt{3x_0-5}\right)} [/mm] = [mm] \frac{3(x_1-x_0)}{(x_1-x_0)\left(\sqrt{3x_1-5}+ \sqrt{3x_0-5}\right)} [/mm] = [mm] \frac{3}{\left(\sqrt{3x_1-5}+ \sqrt{3x_0-5}\right)} $\\ \\ [/mm]

Grenzübergang $ [mm] x_1 \to x_0$ [/mm] liefert [mm] \\ \\ [/mm]

$ [mm] \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} [/mm] = [mm] \frac{d f(x_0)}{d x} [/mm] = [mm] \frac{3}{\left(\sqrt{3x_0-5}+ \sqrt{3x_0-5}\right)} [/mm] = [mm] \frac{3}{2\sqrt{3x_0-5}} $\\ \\ [/mm]

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Wurzelfunktion Grenzwerte...: 2. Versuch Datei zu uppen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:52 Sa 16.09.2017
Autor: ChopSuey

[a][Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]

Bezug
                        
Bezug
Wurzelfunktion Grenzwerte...: 3. Versuch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Sa 16.09.2017
Autor: ChopSuey

Bild

Bezug
                
Bezug
Wurzelfunktion Grenzwerte...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:06 Sa 16.09.2017
Autor: hase-hh

Moin Moin,

also bis auf, dass die Funktion f(x) =  [mm] \wurzel{3x + 5} [/mm] -2, lautet... kann ich deine Lösung nachvollziehen.

Also führt die Erweiterung zur dritten binomischen Formel doch zu einer Vereinfachung / Lösung !!


Danke und Gruß!

Bezug
                        
Bezug
Wurzelfunktion Grenzwerte...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:00 Sa 16.09.2017
Autor: HJKweseleit


> Moin Moin,
>  
> also bis auf, dass die Funktion f(x) =  [mm]\wurzel{3x + 5}[/mm] -2,
> lautet... kann ich deine Lösung nachvollziehen.


Du wunderst dich offenbar, wo die -2 im Zähler geblieben ist. Die taucht dort ja zwei mal auf und hebt sich durch die Subtraktion weg.

Das Minuszeichen unter der Wurzel ist allerdings ein Schreibfehler. Du musst es durch + ersetzen.


Bezug
                                
Bezug
Wurzelfunktion Grenzwerte...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Sa 16.09.2017
Autor: ChopSuey

Hallo nochmal,


> Du wunderst dich offenbar, wo die -2 im Nenner geblieben
> ist. Die taucht dort ja zwei mal auf und hebt sich durch
> die Subtraktion weg.  

Ich habe versehentlich die Funktion $ f(x) = [mm] \sqrt{3x-5}-2$ [/mm] untersucht, und nicht wie vorgesehen $ f(x) = [mm] \sqrt{3x+5}-2$ [/mm]

Das war mein Fehler. Ich hab' sie bloß falsch abgeschrieben. Die Lösung funktioniert natürlich analog.

LG,
ChopSuey

Bezug
        
Bezug
Wurzelfunktion Grenzwerte...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Sa 16.09.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

hier die Antwort als Bildausschnitt extern:

https://imgur.com/5z7JEBW

LG,
ChopSuey

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