Wurzelgleichung lösen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich versuche total verzweifelt folgende (eigentlich einfache) Aufgabe zu lösen, komme aber einfach nicht auf das Ergebnis, welches als Lösung angegeben ist:
Aufgabe:
[mm] \wurzel{2000} [/mm] - x + [mm] \wurzel{x + 42} [/mm] = 1
Lösung: x = 319
Ich weiß, dass ich die Gleichung folgendermaßen umstellen kann und sich dann auf der rechten Seite der Gleichung eine binomische Formel ergibt:
[mm] \wurzel{x + 42} [/mm] = 1 - 20 * [mm] \wurzel{5} [/mm] + x
Jedoch komm ich damit ganz sicher nicht auf eine "schöne" Lösung wie 319!?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo hello_world,
frohe Weihnachten und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der Geadanke, die Wurzel* zu isolieren, ist genau der richtige. Aber was du dann gemacht hast, sehe ich irgendwie nicht so ganz. Bei mir sieht das so aus:
[mm] \wurzel{2000}-x+\wurzel{x+42}=1 \gdw
[/mm]
[mm] \wurzel{x+42}=1-\wurzel{2000}+x
[/mm]
Hier solltest du jetzt quadrieren. In diesem Fall führt das auf eine quadratische Gleichung, welche leicht lösbar ist. Dabei ist jedoch zu bedenken, dass es sich beim Potenzeiren (also auch beim Quadreren und beim Radizieren) nicht um Äquivalenzumformungen handelt. Durch den Vorgang des Quadrierens kommen also i.d.R. Lösungen hinzu, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Im Falle von Wurzelgleichungen muss man dies durch Einsetzen jeder gefundenen Lösung verifizieren.
Gruß, Diophant
*die, unter der das x steht.
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort, ich wünsche dir auch frohe Weihnachten!
Ich habe die [mm] \wurzel{2000} [/mm] einfach ersetzt durch [mm] \wurzel{4*5*100} [/mm] = [mm] 2*\wurzel{5}*10 [/mm] = [mm] 20\wurzel{5}, [/mm] der Rest ist identisch mit deiner Antwort.
Quadriere ich nun aber diese Gleichung und wende die pq-Formel an, so kommt wieder was anderes als 319 raus:
x + 42 = 1 - 2000 + [mm] x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2} [/mm] - x - 2041 = 0
[mm] x_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} + 2041}
[/mm]
...und das ergibt nicht 319.
Jedoch ist mir aufgefallen, dass die Gleichung gar nicht stimmt, wenn ich 319 in die Ausgangsgleichung einsetze, d.h. wohl, dass die gegebene Lösung 319 so nicht stimmen kann, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
da steckt auch ein kapitaler Fehler drin:
[mm] \left(1-\wurzel{2000}+x\right)^2
[/mm]
[mm] =\left(1-20\wurzel{5}+x\right)^2
[/mm]
[mm] =\left(1-20\wurzel{5}\right)^2+2*\left(1-20\wurzel{5}\right)+x^2
[/mm]
Das kannst du jetzt selbst weiterrechnen. Ist halt ein wenig viel Schreibarbeit (könnten die Aufgabensteller an Weihnachten ja auch mal berücksichtigen  ).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Danke, werde es nachher nochmals probieren, vielleicht habe ich mich beim ersten Versuch ja ganz einfach irgendwo verrechnet da die Gleichung so lang wurde.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 So 25.12.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
wie gesagt: die Länge war hier wohl eher ein gutes Zeichen...
Du hast den Fehler
[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] a^n+b^n
[/mm]
begangen, was aber i.A. nicht gilt. Darauf wollte ich dich oben aufmerksam machen.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
