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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mo 26.12.2011 | | Autor: | HelpMan |
| Aufgabe | Berechnen sie den Umfang der Schlinge. Die Schlinge wird durch folgende Funktion beschrieben:
f(x) = -x * [mm] \wurzel{\bruch{x+1}{3}}
[/mm]
im Bereich [-1,0] |
Der Umfang U wird durch folgende Formel berechnet:
U = [mm] \integral_{-1}^{0}{\sqrt{1+(f'(x))^{2}} dx}
[/mm]
Nun habe ich die Funktion abgeleitet:
f'(x) = - [mm] \wurzel{\bruch{x+1}{3}} [/mm] + [mm] \bruch{ \bruch{-x}{2}}{ \wurzel{\bruch{x+1}{3}}}
[/mm]
Jetzt kommt mein Problem, denn ich weiss nicht, wie ich die Funktion integrieren kann:
U = [mm] \integral_{-1}^{0}{\sqrt{1+- \bruch{x+1}{3} + \bruch{ \bruch{-x}{2}}{ \bruch{x+1}{3}}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}\sqrt{{x - 13/6 + 3/2 * \bruch{1}{x+1}}} [/mm] dx
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Hallo HelpMan,
> Berechnen sie den Umfang der Schlinge. Die Schlinge wird
> durch folgende Funktion beschrieben:
> f(x) = -x * [mm]\wurzel{\bruch{x+1}{3}}[/mm]
>
> im Bereich [-1,0]
> Der Umfang U wird durch folgende Formel berechnet:
>
> U = [mm]\integral_{-1}^{0}{\sqrt{1+(f'(x))^{2}} dx}[/mm]
>
> Nun habe ich die Funktion abgeleitet:
>
> f'(x) = - [mm]\wurzel{\bruch{x+1}{3}}[/mm] + [mm]\bruch{ \bruch{-x}{2}}{ \wurzel{\bruch{x+1}{3}}}[/mm]
>
Das stimmt nicht ganz:
[mm]f'(x) = - \wurzel{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{ \bruch{-x}{2}}{\red{3}* \wurzel{\bruch{x+1}{3}}}[/mm]
> Jetzt kommt mein Problem, denn ich weiss nicht, wie ich die
> Funktion integrieren kann:
>
> U = [mm]\integral_{-1}^{0}{\sqrt{1+- \bruch{x+1}{3} + \bruch{ \bruch{-x}{2}}{ \bruch{x+1}{3}}} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{-1}^{0}\sqrt{{x - 13/6 + 3/2 * \bruch{1}{x+1}}}[/mm]
> dx
Hier muss doch stehen:
[mm]\integral_{-1}^{0}{\sqrt{1+\left(\wurzel{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{ \bruch{-x}{2}}{3* \wurzel{\bruch{x+1}{3}}}\right)^{2}} \ dx}[/mm]
Das Quadrat einer Summe ist nicht
die Summe der Quadrate der einzelnen Summanden:
[mm]\left( \ \wurzel{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{ \bruch{-x}{2}}{3* \wurzel{\bruch{x+1}{3}}} \ \right)^{2} \not=\left( \ \wurzel{\bruch{x+1}{3}} \right)^{2} +\left( \ \bruch{ \bruch{-x}{2}}{3* \wurzel{\bruch{x+1}{3}}} \ \right)^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 26.12.2011 | | Autor: | HelpMan |
Da habe ich wohl ein paar Fluechtigkeitsfehler gemacht, aber das Grundproblem bleibt bestehen
hab nochmal nachgerechnet und die Binomische Formel richtig aufgeloest, aber das Grundproblem bleibt bestehen. Habe
2x + 4/3 - 4/(3x+3) unter der Wurzel raus
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Hallo HelpMan,
> Da habe ich wohl ein paar Fluechtigkeitsfehler gemacht,
> aber das Grundproblem bleibt bestehen
>
> hab nochmal nachgerechnet und die Binomische Formel richtig
> aufgeloest, aber das Grundproblem bleibt bestehen. Habe
>
> 2x + 4/3 - 4/(3x+3) unter der Wurzel raus
Das stimmt nicht ganz.
[mm]\bruch{2x+4}{3}\red{-\bruch{4}{3x+3}}[/mm]
Den rot markierten Ausdruck musst Du nochmal nachrechnen.
Den Ausdruck unter der Wurzel bringst Du dann auf den Hauptnenner.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Di 27.12.2011 | | Autor: | HelpMan |
hab mich jetzt mal in Ruhe hingesetzt...
hoffe, dass es jetzt endlich Richtig ist.
[mm] \int{}{}{\sqrt{\bruch{x^3+x^2+16x+16}{12}}}
[/mm]
wie geht es nun weiter?
Substitution funktioniert ja nicht...
partiell wuesste ich auch nicht wie ich es angehen kann.
koennte es noch faktorisieren, bekomme aber eine Reelle Nullstelle und zwei komplexe. Das wird mich wohl auch nicht weiter bringen.
Vielleicht kannst du einen Tipp geben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Di 27.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hab mich jetzt mal in Ruhe hingesetzt...
>
> hoffe, dass es jetzt endlich Richtig ist.
>
> [mm]\int{}{}{\sqrt{\bruch{x^3+x^2+16x+16}{12}}}[/mm]
was hast Du denn gerechnet?
Du hattest doch, soweit ich das sehe
$$ [mm] \integral_{-1}^{0}{\sqrt{1+\left(\wurzel{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{ \bruch{-x}{2}}{3\cdot{} \wurzel{\bruch{x+1}{3}}}\right)^{2}} \ dx} [/mm] $$
zu berechnen.
Nun gilt (für alle $x > [mm] -1\,$)
[/mm]
[mm] $$1+\left(\wurzel{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{ \bruch{-x}{2}}{3\cdot{} \wurzel{\bruch{x+1}{3}}}\right)^{2}=1+\frac{x+1}{3}-\frac{x}{3}+\frac{x^2}{12(x+1)}=\frac{x^2+16x+16}{12(x+1)}$$
[/mm]
Daher
[mm] $$\integral_{-1}^{0}{\sqrt{1+\left(\wurzel{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{ \bruch{-x}{2}}{3\cdot{} \wurzel{\bruch{x+1}{3}}}\right)^{2}} \ dx} =\integral_{-1}^{0}\sqrt{\frac{x^2+16x+16}{12(x+1)}}dx$$
[/mm]
EDIT:
Wenn ich das richtig sehe, hatte Mathepower da wohl einen "Copy&Paste"-Fehler eingebaut:
Es ist eigentlich
$$ [mm] \integral_{-1}^{0}{\sqrt{1+\left(\red{-}\wurzel{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{ \bruch{-x}{2}}{3\cdot{} \wurzel{\bruch{x+1}{3}}}\right)^{2}} \ dx}= \integral_{-1}^{0}{\sqrt{1+\left(\wurzel{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{ \bruch{\red{+}x}{2}}{3\cdot{} \wurzel{\bruch{x+1}{3}}}\right)^{2}} \ dx} [/mm] $$
zu berechnen. Aber das geht dann analog.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 27.12.2011 | | Autor: | HelpMan |
Die Ableitung und zusammenfassung war wohl nicht ganz korrekt:
Die Funktion unter der Wurzel heisst:
[mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 16x + 16
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Hallo HelpMan,
mir scheint da ein Faktor in der Ableitung nicht zu stimmen.
Ich denke, Mathepower hat in der Eile eine Wurzel unterschlagen, der fehlende Faktor ist [mm]\frac{1}{\sqrt{3}}[/mm] ..
> Die Ableitung und zusammenfassung war wohl nicht ganz
> korrekt:
>
> Die Funktion unter der Wurzel heisst:
>
> [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 16x + 16
Ne, da kommt was quadratisches raus:
[mm]\sqrt{\frac{9x^2+24x+16}{12(x+1)}}=\sqrt{\frac{(3x+4)^2}{12(x+1)}}[/mm] erhalte ich.
Da kannst du [mm]\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}[/mm] rausziehen und vor das Integral packen.
Das gibt: [mm]\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot{}\int{\sqrt{\frac{(3x+4)^2}{x+1}} \ dx}[/mm]
Hier kannst du mal [mm]u=u(x):=\sqrt{x+1}[/mm] substituieren.
Aber ohne Gewähr, rechne das unbedingt nach.
Ich würde VOR dem Quadrieren von [mm]f'(x)[/mm] den Term erstmal vereinfachen.
Es lässt sich [mm]f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot{}\frac{3x+2}{\sqrt{x+1}}[/mm] schreiben.
Das ist doch bedeutend weniger "gefährlich" zu quadrieren ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 27.12.2011 | | Autor: | HelpMan |
Also mein x-ter Versuch... dies mal etwas ausfuehrlicher:
f(x) = -x * [mm] \sqrt{\bruch{x+1}{3}}
[/mm]
f'(x) = - [mm] \sqrt{\bruch{x+1}{3}} [/mm] + -x * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\sqrt{\bruch{x+1}{3}}} [/mm]
= - [mm] \bruch{\sqrt{\bruch{x+1}{3}} * \sqrt{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{x}{6}}{\sqrt{\bruch{x+1}{3}}} [/mm] (Nenner Gleichnamig gemacht)
ich komme dann auf die Gleiche Ableitung...
Die Zusammenfassung unter der Klammer hab ich auch...
dann habe ich substituiert wie vorgeschlagen,
als Endergebnis hab ich nun
[mm] \bruch{1}{\sqrt{12}} [/mm] * (3/2 * [mm] x^2 [/mm] + 4x) stimmt das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Di 27.12.2011 | | Autor: | HelpMan |
Sehe gerade, dass ich total falsch integriert habe...
u = [mm] \sqrt{x+1} [/mm] => dx= [mm] \bruch{du * \sqrt{x+1}}{2}
[/mm]
einsetzen:
=> [mm] \bruch{1}{2*\sqrt{12}} [/mm] * [mm] \int{}{}{3x+4 du}
[/mm]
irgendwie bringt es nichts... hab ich den eindruck
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Hallo nochmal,
> Sehe gerade, dass ich total falsch integriert habe...
>
> u = [mm]\sqrt{x+1}[/mm] => dx= [mm]\bruch{du * \sqrt{x+1}}{2}[/mm]
Nana, es ist [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$, [/mm] also [mm] $dx=2\sqrt{x+1} [/mm] \ du$
Das Wurzelbiest kürzt sich gegen das Biest im Nenner des Integranden weg.
Im Zähler ersetze $x$ durch einen entsprechenden Ausdruck in $u$
[mm] $u=\sqrt{x+1}\Rightarrow [/mm] x=...$
>
> einsetzen:
>
> => [mm]\bruch{1}{2*\sqrt{12}}[/mm] * [mm]\int{}{}{3x+4 du}[/mm]
>
> irgendwie bringt es nichts... hab ich den eindruck
Ersetze noch $x$ durch einen passenden Ausdruck in $u$, dann ist das elementar integrierbar.
Edit: der Faktor 2 aus dem Vorfaktor [mm] $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ [/mm] (vor dem Integral) kürzt sich gegen die 2 vom substituierten Differential weg, es bleibt also korrekterweise noch
[mm] $\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot{}\int{(3x+4) \ du}$
[/mm]
zu verarzten.
Edit Ende
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 27.12.2011 | | Autor: | HelpMan |
3x + 4 = 3 * [mm] (\sqrt{x+1})^2 [/mm] + 1 = 3 * [mm] u^2 [/mm] + 1
wenn das jetzt richtig ist sind all meine Fragen beantwortet
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Di 27.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 3x + 4 = 3 * [mm](\sqrt{x+1})^2[/mm] + 1 = 3 * [mm]u^2[/mm] + 1
>
> wenn das jetzt richtig ist sind all meine Fragen
> beantwortet
ja, das stimmt. Alternativer Rechenweg:
[mm] $$u=\sqrt{x+1} \Rightarrow x=u^2-1$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow 3x+4=3*(u^2-1)+4=3u^2-3+4=3u^2+1\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Di 27.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also mein x-ter Versuch... dies mal etwas ausfuehrlicher:
>
> f(x) = -x * [mm]\sqrt{\bruch{x+1}{3}}[/mm]
>
> f'(x) = - [mm]\sqrt{\bruch{x+1}{3}}[/mm] + -x * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{\sqrt{\bruch{x+1}{3}}}[/mm]
>
> = - [mm]\bruch{\sqrt{\bruch{x+1}{3}} * \sqrt{\bruch{x+1}{3}} + \bruch{x}{6}}{\sqrt{\bruch{x+1}{3}}}[/mm]
> (Nenner Gleichnamig gemacht)
>
> ich komme dann auf die Gleiche Ableitung...
>
> Die Zusammenfassung unter der Klammer hab ich auch...
>
> dann habe ich substituiert wie vorgeschlagen,
>
> als Endergebnis hab ich nun
>
> [mm]\bruch{1}{\sqrt{12}}[/mm] * (3/2 * [mm]x^2[/mm] + 4x) stimmt das?
Deine Ableitung scheint zu stimmen. Ich erhalte dann
[mm] $$\int_{-1}^0 \sqrt{1+(f'(x))^2}dx=\int_{-1}^0 \sqrt{\frac{9x^2+24*x+16}{12(x+1)}}dx=\int_{-1}^0 \sqrt{\frac{(3x+4)^2}{12(x+1)}}dx$$
[/mm]
Berechne nun mit [mm] $u=u(x)=\sqrt{x+1}$ [/mm] (daraus folgt [mm] $x=u^2-1$) [/mm] (also die Substitution wie von Schachuzipus vorgeschlagen)
$$u(-1) [mm] \text{ und }u(0)$$
[/mm]
und beachte/berechne
[mm] $$du=\frac{1}{2u}dx\,.$$
[/mm]
Dann sollte alles auf die Berechnung von
[mm] $$\int_{u(-1)}^{u(0)} \frac{1}{\sqrt{3}}*(3u^2+1)du$$
[/mm]
führen.
Gruß,
Marcel
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