Wurzelkriterium < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
kann mir jemand Aufgaben geben, in denen das Wurzelkriterium
angewendet werden muss.
und kann mir jemand dann an hand dieser Aufgabe zeigen,
wie man das macht?
Vielen Dank
Gruß
Doreen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mi 25.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
wie wär's denn hiermit:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} e^{\bruch{n}{x}}
[/mm]
Für welche x konvergiert diese Reihe?
Anwendung des Wurzelkriteriums liefert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\vmat{a_{n}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{a_{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{e^{\bruch{n}{x}}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{x}} [/mm] < 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{x} [/mm] < 0 [mm] \gdw [/mm] x < 0
wobei das erste Gleichheitszeichen gilt, weil alle Koeffizienten größer als 0 sind. Mit lim sup ist der Limes Superior gemeint.
Also konvergiert die Reihe für alle x < 0 absolut und divergiert für x [mm] \ge [/mm] 0. Du kannst hier aber noch keine Aussage darüber treffen, ob die Reihe für x =1 konvergiert oder divergiert. Dieser Fall muss gesondert untersucht werden.
Liebe Grüße,
Matthias.
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