Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{\wurzel[3]{n+1}^{n}} [/mm] |
bin gerade dabei das Wurzelkriterium etwas zu üben. Da ich oft in der übungsgruppe wegen irgendwelchen sachen abzug bekommen hatte, mit denen ich nicht gerechnet hatte, wäre es nett, wenn mal jemand drüber schauen könnte ob man das so aufschreiben kann oder ob ein ganz elementarer fehler drin ist.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{\bruch{1}{n}}}{\wurzel[3]{n+1}^{\bruch{n}{n}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{\bruch{1}{n}}}{n+1^{\bruch{1}{3}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{\bruch{ln n}{n}}}{e^{\bruch{ln (n+1)}{3}}}
[/mm]
Wegen [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] im Zähler kann ich hier L'hopital anwenden
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{\bruch{1}{n}}}{e^{\bruch{ln(n+1)}{3}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{\bruch{ln(n+1)}{3}}}
[/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(n+1)}{3} [/mm] > 0 ist der ganze Bruch < 1 [mm] \Rightarrow [/mm] die Reihe konvergiert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{\wurzel[3]{n+1}^{n}}[/mm]
> bin gerade dabei das Wurzelkriterium etwas zu üben. Da ich
> oft in der übungsgruppe wegen irgendwelchen sachen abzug
> bekommen hatte, mit denen ich nicht gerechnet hatte, wäre
> es nett, wenn mal jemand drüber schauen könnte ob man das
> so aufschreiben kann oder ob ein ganz elementarer fehler
> drin ist.
>
>
Ich würde zunächst erwähnen, dass für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $\sqrt[n]{\vmat{\frac{n}{\wurzel[3]{n+1}^{n}}}}=\sqrt[n]{\frac{n}{\sqrt[3]{n+1}^n}}=\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{\sqrt[3]{n+1}^n}}$
[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{\bruch{1}{n}}}{\wurzel[3]{n+1}^{\bruch{n}{n}}}}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{\bruch{1}{n}}}{n+1^{\bruch{1}{3}}}[/mm]
Im Nenner eine Klammer um das $n+1$ setzen!
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{\bruch{ln n}{n}}}{e^{\bruch{ln (n+1)}{3}}}[/mm]
Bis hierhin ist das okay!
> Wegen [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] im Zähler kann ich hier
> L'hopital anwenden
Naja, so nicht direkt. Ich würde hier auch eher auf das Wissen [mm] $n^{\frac{1}{n}} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] verweisen, was normalerweise in Anfängervorlesungen bewiesen wird.
Man kann natürlich schon so wie Du argumentieren:
Um die Existenz von [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{\bruch{ln n}{n}}}{e^{\bruch{ln (n+1)}{3}}}$ [/mm] einzusehen, beachten wir zunächst, dass die Exponentialfunktion $x [mm] \mapsto \exp(x):=e^{x}$ [/mm] stetig ist, also:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{\bruch{ln n}{n}}}{e^{\bruch{ln (n+1)}{3}}}=\frac{\exp\left(\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n)}{n}\right)}{\exp\left(\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n+1)}{3}\right)}$
[/mm]
(Das letzte darf ich nur "mit Einschränkung" so schreiben, wenn ich den Grenzwert [mm] $\infty \notin \IR$ [/mm] zulasse, der ja im Nenner auftritt, und dann [mm] $\frac{r}{\infty}=0$ [/mm] identifiziere für $r [mm] \in \IR$.)
[/mm]
Und jetzt kannst Du mit Hospital durch Betrachten der Funktion $g: [mm] \IR_{>0} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=\frac{\ln(x)}{x}$ [/mm] dann argumentieren, dass [mm] $\lim_{x \to \infty}g(x)=0$ [/mm] und damit wegen der Stetigkeit von [mm] $\exp(.)$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] dann folgt, dass [mm] $\exp\left(\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n)}{n}\right)=e^0=1$.
[/mm]
Weiterhin:
[mm] $\exp\left(\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n+1)}{3}\right)=\infty$ [/mm] ist klar!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{\bruch{1}{n}}}{e^{\bruch{ln(n+1)}{3}}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{e^{\bruch{ln(n+1)}{3}}}[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(n+1)}{3}[/mm] > 0 ist
> der ganze Bruch < 1 [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die Reihe konvergiert
Der letzte Satz ist missverständlich, was Du dort einfach sagen willst, ist, dass ab einem genügend großen $n$ dann
$\bruch{1}{e^{\bruch{ln(n+1)}{3}}} < 1$ und damit auch
$$ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{\bruch{1}{n}}}{e^{\bruch{ln(n+1)}{3}}} $ < 1$
ist.
Warum sagst Du nicht gleich das Offensichtliche:
Es ist $$ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{\bruch{1}{n}}}{e^{\bruch{ln(n+1)}{3}}} $=0$.
Naja, schreiben wir das ganze mal sauber(er) auf:
Wir haben
$\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\vmat{\frac{n}{\wurzel[3]{n+1}^{n}}}}=\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{n}{\sqrt[3]{n+1}^n}}$
zu berechnen.
Bekannt (oder mittels des Umweges mit Hospital und der Stetigkeit von $\exp(.)$) ist, dass (stets $n \to \infty$ im folgenden)
$\sqrt[n]{n} \to 1$
(Insbesondere existiert wegen der Konvergenz der Folge $(\sqrt[n]{n})_{n \in \IN}$ dann ein $\infty > M > 0$ mit
$\vmat{\sqrt[n]{n}}=\sqrt[n]{n} \le M$ für alle $n$.
(Konvergente Folgen sind insbesondere beschränkt!). )
Weiterhin gilt:
$\sqrt[n]{\sqrt[3]{n+1}^n}}=\sqrt[3]{n+1} \to \infty$
Das liefert:
$\sqrt[n]{\frac{n}{\sqrt[3]{n+1}^n}} \le \frac{M}{\sqrt[3]{n+1}} \to 0$, also:
$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{n}{\sqrt[3]{n+1}^n}}=0$, was wiederum
$\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{n}{\sqrt[3]{n+1}^n}}=0$ und damit
$\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\vmat{\frac{n}{\wurzel[3]{n+1}^{n}}}}=0$
zur Folge hat.
(Beachte:
Falls $\lim...$ existiert, so existieren auch $\limsup...$ und $\liminf...$ und dann gilt $\limsup...=\liminf...=\lim...$.)
Also:
Deine Überlegungen sind an sich okay, aber da müssten noch Stetigkeitsargumente (und vll. noch kleine Zwischenüberlegungen) hinzugefügt werden, wenigstens die Stetigkeit von $\exp(.)$ an der Stelle $0$ sowie $\exp(y) \to \infty$ bei $y \to \infty$ sollte ergänzt werden.
Gruß,
Marcel
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