Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Di 15.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3 + (-1)^k}{2^k} [/mm] |
Nun ist meine Frage, wenn ich hier das Wurzelkriterium anwende, schreib ich dies folgendermaßen oder?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\wurzel[k]{ 3 + (-1)^k}}{{\wurzel[k]2^k }}
[/mm]
würde ja stehen bleiben:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\wurzel[k]{ 3} + (-1)}{2}
[/mm]
Ist diese Vorgehensweise richtig?
Danke, dass Quotientenkriterium klappt recht gut mittlerweile aber beim Wurzelkrit. fehlt mir noch das Verständnis wie ich die Wurzeln setze..
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3 + (-1)^k}{2^k}[/mm]
> Nun ist
> meine Frage, wenn ich hier das Wurzelkriterium anwende,
> schreib ich dies folgendermaßen oder?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\wurzel[k]{ 3 + (-1)^k}}{{\wurzel[k]2^k }}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was macht denn die Summe da noch??
Nein, wenn du ne Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] hast, untersuchst du mit dem WK den [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}$
[/mm]
Hier untersuche also [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\bruch{3 + (-1)^k}{2^k}\right|}$
[/mm]
Betrachte dazu mal $k$ gerade bzw. $k$ ungerade ...
>
> würde ja stehen bleiben:
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\wurzel[k]{ 3} + (-1)}{2}[/mm]
>
> Ist diese Vorgehensweise richtig?
>
> Danke, dass Quotientenkriterium klappt recht gut
Ich hoffe, du wendest es nicht so an wie das WK ...
> mittlerweile aber beim Wurzelkrit. fehlt mir noch das
> Verständnis wie ich die Wurzeln setze..
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Di 15.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
Okay
also:
[mm] \limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\bruch{3 + (-1)^k}{2^k}\right|}
[/mm]
gerade k:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{2+1}{2^k}}
[/mm]
ungerade k:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{2-1}{2^k}}
[/mm]
Wenn das richtig sein sollte, weiß ich nun nicht wie ich weitervorgehen kann...da ich ja nur noch im Nenner ein hoch k habe..wie verfahre ich mit dem Zähler..
Danke, hab hier noch einiges nachzuholen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Di 15.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay
>
> also:
>
> [mm]\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\bruch{3 + (-1)^k}{2^k}\right|}[/mm]
>
> gerade k:
>
> [mm]\wurzel[k]{\bruch{2+1}{2^k}}[/mm]
>
> ungerade k:
>
> [mm]\wurzel[k]{\bruch{2-1}{2^k}}[/mm]
>
> Wenn das richtig sein sollte, weiß ich nun nicht wie ich
> weitervorgehen kann...da ich ja nur noch im Nenner ein hoch
> k habe..wie verfahre ich mit dem Zähler..
Du hast aus der [mm] $3\,$ [/mm] im Zähler eine [mm] $2\,$ [/mm] gemacht. Überlege Dir doch nun mal, was Dir hier die Zerspaltung [mm] $(a_k)_k$ [/mm] in [mm] $(a_{k})_{k\text{ gerade}}$ [/mm] (d.h. [mm] $(a_{2n})_{n}$) [/mm] und [mm] $(a_k)_k$ [/mm] in [mm] $(a_{k})_{k\text{ ungerade}}$ [/mm] (d.h. [mm] $(a_{2n-1})_{n}$) [/mm] bei der Suche nach dem Limsup hilft, wobei
[mm] $$a_k:=\sqrt[k]{\left|\bruch{3 + (-1)^k}{2^k}\right|}\,.$$
[/mm]
Ich finde diese Zerspaltung aber auch ein wenig überflüssig, denn:
Wendet man das WK auf
$$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3 + (-1)^k}{2^k} [/mm] $$
an, so ist
[mm] $$\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left|\bruch{3 + (-1)^k}{2^k}\right|}$$
[/mm]
zu berechnen. Mit dem Wissen, dass [mm] $\lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a|}=1$ [/mm] ($a [mm] \not=0$) [/mm] ist, kann man aber aus
[mm] $$\sqrt[k]{\left|\bruch{2}{2^k}\right|} \le \sqrt[k]{\left|\bruch{3 + (-1)^k}{2^k}\right|} \le \sqrt[k]{\left|\bruch{4}{2^k}\right|}$$
[/mm]
(beachte dabei: für festes [mm] $k\,$ [/mm] ist [mm] $\sqrt[k]{\cdot}$ [/mm] monoton wachsend) und dem Einschließkriterium folgern, was (sogar)
[mm] $$\lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left|\bruch{3 + (-1)^k}{2^k}\right|}$$
[/mm]
ist. Und falls [mm] $\lim$ [/mm] exisitiert, so stimmt er mit dem [mm] $\limsup$ [/mm] (und auch dem [mm] $\liminf$, [/mm] was uns hier nicht interessieren möge) überein.
P.S.:
Beachte auch [mm] $\sqrt[k]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[k]{a}}{\sqrt[k]{b}}\,,$ [/mm] für alle $a,b [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo zocca!
Zerlege hier in zwei Teilreihen und untersuche diese separat:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3 + (-1)^k}{2^k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3 }{2^k}+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{2^k} [/mm] \ = \ [mm] 3*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^k+\summe_{k=1}^{\infty}\left(-\bruch{1}{2}\right)^k$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
