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Forum "Folgen und Reihen" - Wurzelkriterium
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Wurzelkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Fr 02.03.2012
Autor: Ciotic

Aufgabe
Untersuchen Sie die Folgen mit dem Wurzelkriterium auf Konvergenz.
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch {k^{2k}}{100^k}$ [/mm]

Ich habe folgendermaßen umgeformt:

[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch {k^{2k}}{100^k}} [/mm] = [mm] \bruch {\wurzel[k]{k^{2k}}}{\wurzel{100^k}}= \bruch {k^{\bruch{2k}{k}}}{100} [/mm] = [mm] \bruch {k^2}{100} [/mm] $

Ist das soweit richtig?

Wenn ja, würde die Folge gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben, allerdings beginnt die Reihe bei Null und für für k=0 gegen Null streben.

Wer kann mir helfen?

        
Bezug
Wurzelkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Fr 02.03.2012
Autor: Hans80

Hallo!

> Untersuchen Sie die Folgen mit dem Wurzelkriterium auf
> Konvergenz.
>  [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch {k^{2k}}{100^k}[/mm]
>  Ich habe
> folgendermaßen umgeformt:
>  
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch {k^{2k}}{100^k}} = \bruch {\wurzel[k]{k^{2k}}}{\wurzel{100^k}}= \bruch {k^{\bruch{2k}{k}}}{100} = \bruch {k^2}{100}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig?

Ja. Betrachte nur den Grenzwert der Folge.

Das Wurzelkriterium hat die Form: [mm] \sigma:=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\red{|}a\red{|}} [/mm]

Die Betragstriche würde ich am Anfang auf jeden Fall hinschreiben. (Auch wenn klar ist, dass es immer größer Null ist.)

Das Wurzelkriterium liefert doch folgende Aussagen:

1. Wenn der Grenzwert [mm] \sigma:=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\red{|}a\red{|}} [/mm] existiert und kleiner als eins ist, so ist die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n}a_n [/mm] absolut konvergent.

2. Ist [mm] \sigma [/mm] größer 1, so divergiert die Reihe.

3. Fall [mm] \sigma [/mm] gleich eins, so kann man keine Aussage treffen.

Was liegt denn nun hier vor?

Gruß Hans


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Wurzelkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Fr 02.03.2012
Autor: Ciotic

Danke schonmal!

Meiner Meinung ist die Folge absolut konvergent, da der Wert 0 ist.

Ich habe so umgeformt:

[mm] $\bruch {k^2}{100} [/mm] = [mm] \bruch {k^2}{k^2} [/mm] * [mm] \bruch {1}{\bruch {100}{k^2}} [/mm] = 0$

/EDIT:

Das ist Quatsch, was ich geschrieben habe. Ich kann mit dem Kriterium ja nur absolute Konvergenz nachweisen, nicht aber den Wert, gegen den die Folge konvergiert. Ich weiß aber nicht, was ich mit meinem [mm] $\bruch {k^2}{100}$ [/mm]


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Wurzelkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Fr 02.03.2012
Autor: meely

Hallo,

>  
> Meiner Meinung ist die Folge absolut konvergent, da der
> Wert 0 ist.
>  

Wie kommst du auf das ?

Du lässt doch [mm] k->\infty [/mm] gehen ...

LG Meely

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Wurzelkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Fr 02.03.2012
Autor: Ciotic

Das war Unsinn, was ich da geschrieben hatte.

Wenn ich k gegen unendlich laufen lasse komme ich auf [mm] $\infty$ [/mm] .Gilt dann:
[mm] \infty>0 [/mm] und die Folge divergiert?

Bezug
                                        
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Wurzelkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Fr 02.03.2012
Autor: scherzkrapferl


> Das war Unsinn, was ich da geschrieben hatte.
>
> Wenn ich k gegen unendlich laufen lasse komme ich auf
> [mm]\infty[/mm] .Gilt dann:
>  [mm]\infty>0[/mm] und die Folge divergiert?

Genau ;)

Gruß


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Wurzelkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Fr 02.03.2012
Autor: Ciotic

Alles klar, vielen Dank für die Helfer ;)

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Bezug
Wurzelkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Fr 02.03.2012
Autor: scherzkrapferl

Kein Problem, dafür gibts ja solche Foren ;)

PS: Das nächste mal reicht ne Mitteilung für die Danksagungen :-P

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Wurzelkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Fr 02.03.2012
Autor: scherzkrapferl

Da hat wohl vorher jemand vergessen auf "Abbrechen" zu klicken.

Problem sollte nun gelöst sein ?!

LG

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