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Forum "Analysis des R1" - Wurzelungleichung
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Wurzelungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Fr 08.02.2019
Autor: Valkyrion

Aufgabe
Lösen Sie die Ungleichung:
[mm] \wurzel{|x|}-x<\wurzel{{2}-2x-3}; [/mm]  x [mm] \in \IR [/mm]


für den Fall [mm] x\le-1 [/mm] komm ich auf:

[mm] -x-2x\wurzel{-x}+x^{2}
bzw.:

[mm] x+3<2x\wurzel{-x} [/mm]

nach erneutem Quadrieren komm ich (für den Fall [mm] x\le-3) [/mm] auf:
[mm] 4x^{3}+x^2+6x+9<0 [/mm]

und nach Polynomdivision auf:

[mm] (x+1)(4x^{2}-3x+9)<0 [/mm]

und das dachte ich müsste doch für alle x<-3 erfüllt sein (da ja dann die erste Klammer negativ wird und die zweite positiv; minus mal plus ergibt minus)

Das soll aber nicht stimmen. Wo ist mein Denkfehler?


        
Bezug
Wurzelungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:13 Fr 08.02.2019
Autor: chrisno

Ich vermute einen Tippfehler bei der Ausgangsgleichung. Beginnt es rechts unter der Wurzel mit [mm] $x^2$? [/mm]

Bezug
        
Bezug
Wurzelungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Fr 08.02.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Lösen Sie die Ungleichung:
>  [mm]\wurzel{|x|}-x<\wurzel{{2}-2x-3};[/mm]  x [mm]\in \IR[/mm]

Also erst mal vermute ich hier (wie chrisno), dass es eigentlich heißt:
[mm]\wurzel{|x|}-x<\wurzel{x^{2}-2x-3};[/mm]  x [mm]\in \IR[/mm]

Dann macht auch die Fallunterscheidung Sinn:

> für den Fall [mm]x\le-1[/mm]

Aber nun schreibst du:

> komm ich auf
> [mm]-x-2x\wurzel{-x}+x^{2}

Leider verrätst du nicht im geringsten, wie du "darauf" kommst.
Ich gehe stark davon aus (Glaskugel, Orakel und ein geübter Blick), dass du beide Seiten quadriert hast.
Seit wann ist quadrieren eine zulässige äquivalente Umformung?
Das ist es nur, wenn beide Seiten größer Null sind.
Das müsstest du hier also begründen, warum das der Fall ist.

Für die zur Info: Das ist es in diesem Fall, aber Begründe es sauber!

Aber schon in deinem nächsten Schritt, ist das nicht mehr der Fall.
Du hast:

> $ [mm] x+3<2x\wurzel{-x} [/mm] $

und schreibst:

> nach erneutem Quadrieren komm ich (für den Fall $ [mm] x\le-3) [/mm] $

Für deinen Fall steht aber sowohl rechts, als auch links etwas negatives, da ist das quadrieren schon keine äquivalente Operation mehr... und schwups erhält man eine größere Lösungsmenge, wie es bei dir der Fall ist.

Um es dir klar zu machen: Da kann faktisch sowas stehen wie:

$-3 < -4$

Diese Gleichung hat offensichtlich keine Lösung, die Lösungesmenge ist also leer.
Quadrieren wir das nun, erhalten wir:

$9 < 16$
Diese Gleichung ist eine wahre Aussage, die Lösungsmenge ist also ganz [mm] $\IR$. [/mm]
Wie konnte das nur passieren?

Darum: Um eine Lösungsmenge zu bestimmen, immer und ausschließlich äquivalent umformen.
Und merke: Quadrieren ist im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung!

Bspw. hat die Gleichung $x=1$ genau eine offensichtliche Lösung. Quadrieren wir sie, erhalten wir [mm] $x^2 [/mm] = 1$ und diese Gleichung hat plötzlich zwei Lösungen!

Gruß,
Gono



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