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| Aufgabe | Berechnen Sie den Realteil und den Imaginärteil aller angegebenen komplexen Wurzeln:
a) [mm] \wurzel[2]{i}
[/mm]
b) [mm] \wurzel[3]{4\wurzel{2} + i4\wurzel{2}}
[/mm]
c) [mm] \wurzel[4]{-2 + 2\wurzel{3}i} [/mm] |
Hallo Leute,
ich bin grad ein bisschen neben der Spur.
a) Bei der ersten hab ich mir bisher gedacht: i hat ja die Definition (0, 1)
Im(z) = 1
Re(z) = 0
Aber ich glaub kaum dass das so stimmt.
Habt ihr einen kleinen Tipp wie ich da anfangen kann? Oder Ansätze in welche Richtung ich gehen muss bei der Aufgabe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo john_rambo,
> Berechnen Sie den Realteil und den Imaginärteil aller
> angegebenen komplexen Wurzeln:
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> a) [mm]\wurzel[2]{i}[/mm]
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> b) [mm]\wurzel[3]{4\wurzel{2} + i4\wurzel{2}}[/mm]
>
> c) [mm]\wurzel[4]{-2 + 2\wurzel{3}i}[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich bin grad ein bisschen neben der Spur.
>
> a) Bei der ersten hab ich mir bisher gedacht: i hat ja die
> Definition (0, 1)
> Im(z) = 1
> Re(z) = 0
>
> Aber ich glaub kaum dass das so stimmt.
Das stimmt schon, aber wie geht's weiter?
Schreibe um in Exponentialdarstellung (oder in trigonometr. Darstellung):
[mm] $i=|i|\cdot{}e^{i\cdot{}\operatorname{arg}(i)}=1\cdot{}e^{\frac{\pi}{2}i}=e^{\frac{\pi}{2}i}$
[/mm]
Damit hat [mm] $\sqrt{i}$ [/mm] die beiden Werte [mm] $e^{i\cdot{}\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}}=e^{i\cdot{}\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)}$ [/mm] mit $k=0,1$
Allg. sieh' dir mal die Moivre-Formel an, gem. der du die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl berechnen kannst.
Mit [mm] $z=r\cdot{}e^{i\varphi}$ [/mm] hat [mm] $\sqrt[n]{z}$ [/mm] die n Werte [mm] $\sqrt[n]{r}\cdot{}e^{i\cdot{}\frac{\varphi+2k\pi}{n}}$, [/mm] wobei [mm] $k=0,1,2,\ldots, [/mm] n-1$
Oder in trigonometr. Darstellung:
Für [mm] $z=r\cdot{}(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)$ [/mm] hat [mm] $\sqrt[n]{z}$ [/mm] die Werte [mm] $\sqrt[n]{r}\cdot{}\left(\cos\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)$, $k=0,1,2,\ldots, [/mm] n-1$
>
> Habt ihr einen kleinen Tipp wie ich da anfangen kann? Oder
> Ansätze in welche Richtung ich gehen muss bei der
> Aufgabe?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Wie forme ich denn jetzt Aufgabe b) und c) in trigonometrischer bzw. exponentielle Darstellung?
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Hallo nochmal,
> Wie forme ich denn jetzt Aufgabe b) und c) in
> trigonometrischer bzw. exponentielle Darstellung?
Gern geschehen!
Mensch, Mensch ...
Na, es gibt doch Formeln, nach denen man das Argument und den Betrag einer komplexen Zahl bestimmt.
Schlage das mal in deiner Vorlesungsmitschrift nach ...
Ein bisschen was sollst du ja auch tun.
Aber einen Tipp für b) habe ich noch:
[mm] $4\sqrt{2}+i4\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot{}(1+i)$
[/mm]
Und hier kannst du doch den Betrag schnell bestimmen, das Argument kannst du am Koordinatensystem ablesen, das musst du nichtmal berechnen ...
Bei c) benutze die stadtbekannten Formeln, das lässt sich nicht so einfach ablesen am Koordinatensystem
Gruß
schachuziupus
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OK. Ich nehm mal Aufgabe a) damit ich das erstmal so kapiere:
Ich habe [mm] \wurzel[2]{i} [/mm] oder so geschrieben
z = 0 + [mm] \wurzel[2]{i}
[/mm]
Re(z) = 0
Im(z) = 1
Um das in eine trigonometrische bzw. exponentielle Darstellung hinschreiben zu können, brauche ich [mm] \phi.
[/mm]
Also berechne ich [mm] \phi:
[/mm]
[mm] \phi [/mm] = [mm] arctan(\bruch{Im(z)}{Re(z)})
[/mm]
Ich füge das ein und ich sehe, das geht gar nicht, weil man ja nicht durch 0 teilen darf. Oder?
Bei b) wusste ich nicht, dass man den Teil unter der Wurzel einfach so nehmen kann, mich irritert das, weil es ja unter einer Wurzel ist ... ich versuchs aber mal.
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Hallo nochmal,
> OK. Ich nehm mal Aufgabe a) damit ich das erstmal so
> kapiere:
>
> Ich habe [mm]\wurzel[2]{i}[/mm] oder so geschrieben
>
> z = 0 + [mm]\wurzel[2]{i}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du willst doch [mm] $\sqrt{i}$ [/mm] berechnen, also [mm] $\sqrt{z}$ [/mm] mit $z=i$
Und $z=i$ hat Länge 1 und liegt auf der "oberen" imaginären Achse, schließt also mit der reellen Achse im positiven Sinne einen Winkel von [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] ein.
Also $|z|=|i|=1$ und [mm] $\operatorname{arg}(z)=\operatorname{arg}(i)=\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Damit hast du alles beisammen um [mm] $\sqrt[2]{z}=\sqrt[2]{i}$ [/mm] zu berechnen...
>
> Re(z) = 0
> Im(z) = 1
>
> Um das in eine trigonometrische bzw. exponentielle
> Darstellung hinschreiben zu können, brauche ich [mm]\phi.[/mm]
> Also berechne ich [mm]\phi:[/mm]
>
> [mm]\phi[/mm] = [mm]arctan(\bruch{Im(z)}{Re(z)})[/mm]
>
> Ich füge das ein und ich sehe, das geht gar nicht, weil
> man ja nicht durch 0 teilen darf. Oder?
>
> Bei b) wusste ich nicht, dass man den Teil unter der Wurzel
> einfach so nehmen kann, mich irritert das, weil es ja unter
> einer Wurzel ist ... ich versuchs aber mal.
Auch hier wieder:
Die komplexe Zahl z, deren (dritte) Wurzel du berechnen sollst, ist [mm] $z=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}i$
[/mm]
Selbes Spiel wie oben (du bekommst entsprechend 3 Werte) ...
Gruß
schachuzipus
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Danke bisher für die Geduld die mir entgegengebracht wird. Ich brauch bei dem Thema ein bisschen.
Ich hab jetzt für die a) die trigonometrische Formel genommen:
[mm] W_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r} [/mm] * [mm] (cos(\bruch{\phi + 2k\pi}{n}) [/mm] + i * [mm] sin(\bruch{\phi + 2k\pi}{n})), [/mm] für k = 0, 1, ..., n-1
Dann hab ich berechnet [mm] W_{0} [/mm] und [mm] W_{1} [/mm] und es kam folgendes dabei raus:
[mm] W_{0} [/mm] = cos(0,785) + i * sin(0,785)
[mm] W_{1} [/mm] = cos(3,93) + i * sin(3,93)
Stimmt das soweit? Und was mach ich jetzt mit den Ergebnissen?
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Hallo john_rambo,
> Danke bisher für die Geduld die mir entgegengebracht wird.
> Ich brauch bei dem Thema ein bisschen.
>
> Ich hab jetzt für die a) die trigonometrische Formel
> genommen:
>
> [mm]W_{k}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{r}[/mm] * [mm](cos(\bruch{\phi + 2k\pi}{n})[/mm] + i *
> [mm]sin(\bruch{\phi + 2k\pi}{n})),[/mm] für k = 0, 1, ..., n-1
>
> Dann hab ich berechnet [mm]W_{0}[/mm] und [mm]W_{1}[/mm] und es kam folgendes
> dabei raus:
>
> [mm]W_{0}[/mm] = cos(0,785) + i * sin(0,785)
> [mm]W_{1}[/mm] = cos(3,93) + i * sin(3,93)
>
> Stimmt das soweit? Und was mach ich jetzt mit den
> Ergebnissen?
Ja, das stimmt.
Die Lösungen kannst Du jetzt so stehen lassen bzw.
kannst sie in Form a+b*i angeben.
Gruss
MathePower
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Bei b) hab ich folgende Lösung:
[mm] W_{0} [/mm] = 2 * (cos(0,263) + i * sin(0,263))
[mm] W_{1} [/mm] = 2 * (cos(2,36) + i * sin(2,36))
[mm] W_{2} [/mm] = 2 * (cos(4,45) + i * sin(4,45))
Stimmt das ?
Bei c) hab ich aber ein Problem:
Ich fang an:
z = -2 + [mm] 2\wurzel{3} [/mm] * i
|z| = [mm] \wurzel{Re(z)^{2} + Im(z)^{2}} [/mm] = 4
[mm] cos(\phi) [/mm] = [mm] \bruch{Re(z)}{|z|} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] => [mm] \phi [/mm] = 2,09
[mm] sin(\phi) [/mm] = [mm] \bruch{Im(z)}{|z|} [/mm] = [mm] -\bruch{2\wurzel{3}}{4} [/mm] = 0,87 => [mm] \phi [/mm] = 1,05
Das darf doch nicht sein oder? Bzw. was mach ich jetzt in diesem Fall?
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Hallo john_rambo,
> Bei b) hab ich folgende Lösung:
>
> [mm]W_{0}[/mm] = 2 * (cos(0,263) + i * sin(0,263))
> [mm]W_{1}[/mm] = 2 * (cos(2,36) + i * sin(2,36))
> [mm]W_{2}[/mm] = 2 * (cos(4,45) + i * sin(4,45))
>
> Stimmt das ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei c) hab ich aber ein Problem:
> Ich fang an:
>
> z = -2 + [mm]2\wurzel{3}[/mm] * i
>
> |z| = [mm]\wurzel{Re(z)^{2} + Im(z)^{2}}[/mm] = 4
>
> [mm]cos(\phi)[/mm] = [mm]\bruch{Re(z)}{|z|}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] => [mm]\phi[/mm] =
> 2,09
>
> [mm]sin(\phi)[/mm] = [mm]\bruch{Im(z)}{|z|}[/mm] = [mm]-\bruch{2\wurzel{3}}{4}[/mm] =
> 0,87 => [mm]\phi[/mm] = 1,05
Bedenke, daß im Intervall [mm]\left[0,\pi\right][/mm] auch [mm]\pi-\phi[/mm] eine Lösung ist.
>
> Das darf doch nicht sein oder? Bzw. was mach ich jetzt in
> diesem Fall?
Nun, da der Realteil kleiner Null
und der Imaginärteil größer Null ist,
muß der Winkel [mm]\phi[/mm] zwischen
[mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]\pi[/mm] liegen.
Demnach ist der Winkel, den Du bei
[mm]cos(\phi)[/mm] = [mm]\bruch{Re(z)}{|z|}[/mm]
erhalten hast, der Richtige.
Gruss
MathePower
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D.h. wenn sowohl Re(z) einen positiven Wert hat und Im(z) einen positiven, dann sollte ich den Wert zwischen 0 und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] sein?
Und wenn beide negativ sind, dann sollte es der Wert zwischen [mm] \pi [/mm] und [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] sein?
Und wenn Re(z) positiv und Im(z) negativ, dann sollte der Wert zwischen [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] und [mm] 2\pi [/mm] gesucht werden?
Hab ich in den Punkten recht? Ich hab mich jetzt nur gefragt warum gerade zwischen [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und da hab ich mir einen Kreis auf dem Koordinatensystem der komplexen Zahlen gedacht (also x = Realteil und y = Imaginärteil). Und in Aufgabe c) schaut der Pfeil von z nach links oben (vom Mittelpunkt aus gesehen) und vom Kreis her gesehen ist das ja der Bereich zwischen [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] \pi.
[/mm]
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> D.h. wenn sowohl Re(z) einen positiven Wert hat und Im(z)
> einen positiven, dann sollte ich den Wert zwischen 0 und
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] sein?
>
> Und wenn beide negativ sind, dann sollte es der Wert
> zwischen [mm]\pi[/mm] und [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] sein?
>
> Und wenn Re(z) positiv und Im(z) negativ, dann sollte der
> Wert zwischen [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] und [mm]2\pi[/mm] gesucht werden?
>
> Hab ich in den Punkten recht?
Hallo,
es geht um z=re(z) + i*Im(z), und den Winkel, der dazu gehört?
Wenn ja, dann hast Du recht.
Gruß v. Angela
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