Xu{inf}, Topologie zeigen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Es sei [mm] (X,\tau_X) [/mm] ein lokalkompakter Raum. [mm] X_p:=X\sqcup \{p\}, [/mm] wobei [mm] p\notin [/mm] X. [mm] U\subseteq X_p [/mm] ist offen wenn gilt:
[mm] (i).p\notin [/mm] U, so ist U offen in X
(ii) [mm] p\in [/mm] U, so ist [mm] X\setminus [/mm] U kompakt.
Ich soll zeigen, dass dies eine Topologie auf [mm] X_p [/mm] ist, ich nenne das Mengensystem mal [mm] \tau_{X_p}.
[/mm]
1. Zu zeigen: [mm] \emptyset \in \tau_{X_p}. [/mm] Dies gilt, weil [mm] \emptyset \in \tau_{X}\subset \tau_{X_p}.
[/mm]
2. Zu zeigen: [mm] X_p\in \tau_{X_p}. [/mm] Da bin ich mir unsicher. Ist es ausreichend wenn ich schreibe [mm] X\setminus X_p =\emptyset \subset [/mm] X kompakt?
3. Für [mm] U_i\subseteq X_p [/mm] mit [mm] U_i \in \tau_{X_p} [/mm] will ich zeigen, dass die beliebige Vereinigung [mm] \bigcup_{i\in I}U_i [/mm] wieder in [mm] \in \tau_{X_p} [/mm] liegt.
-Wenn [mm] p\notin \bigcup_{i\in I}U_i [/mm] ist das klar.
-Mir geht es um den Fall, wenn [mm] p\in \bigcup_{i\in I}U_i, [/mm] da weiss ich nicht so recht, wie ich das machen soll.
Man kann ja aufteilen [mm] \bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I, p\in U_i}U_i \cup \bigcup_{i\in I, p\notin U_i}U_i [/mm] und für jedes der [mm] U_i [/mm] mit [mm] p\in U_i [/mm] ist [mm] X\setminus U_i [/mm] kompakt. Aber wie kann ich weiter vorgehen? könnte ich die einzigen "Vereinigungensmengen" einzeln abhandeln? Also [mm] \bigcup_{i\in I, p\notin U_i}U_i [/mm] ist in [mm] \tau_X, [/mm] also in [mm] \tau_{X_p} [/mm] und [mm] X\setminus\bigcup_{i\in I, p\in U_i}U_i=\bigcap_{i\in I, p\in U_i}U_i [/mm] und für jedes der [mm] U_i [/mm] mit [mm] p\in U_i [/mm] ist [mm] X\setminus U_i [/mm] kompakt.
Aber wie kann man hier weitermachen? Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 16.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:44 Do 16.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Schachtel,
falls du noch an der Frage interessiert bist, kann ich dir zumindest einen Tipp geben 
Falls also Interesse besteht, formuliere doch eine weitere Frage in dieser Diskussion.
MfG
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Do 16.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Schachtel,
da ich wahrscheinlich in nächster Zeit nicht so viel Zeit habe, beantworte ich deine Frage jetzt, ob du willst oder nicht
Die Antwort habe ich gerade runtergeschrieben, also bitte kritsch lesen.
zu zeigen:
1.) [mm] \emptyset, X_p\in\tau_{X_p}
[/mm]
2.) Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen.
3.) Der Schnitt zweier offener Mengen ist offen.
Beweis:
1.) [mm] \emptyset\in\tau_{X_p}, [/mm] denn [mm] p\notin\emptyset. [/mm] Und [mm] X_p\in\tau_{X_p}, [/mm] denn [mm] X\setminus X_p:=\{x\in X|x\notin X_p\}=\emptyset\in\tau_{X_p}. [/mm] So wie du es sagtest 
2.) Seien [mm] $U_i\subseteq X_p$ [/mm] offen [mm] $\forall i\in [/mm] I$.
1. Fall: $ [mm] p\notin \bigcup_{i\in I}U_i [/mm] $ ist offensichtlich offen in $X$.
2. Fall: [mm] $p\in \bigcup_{i\in I}U_i$. [/mm] Es ist [mm] \bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I, p\in U_i}U_i \cup \bigcup_{i\in I, p\notin U_i}U_i [/mm] (eine gute Idee ). Es ist [mm] p\notin\bigcup_{i\in I, p\notin U_i}U_i [/mm] offen [mm] $\gdw X\setminus \bigcup_{i\in I, p\notin U_i}U_i=\bigcap_{i\in I, p\notin U_i}X\setminus U_i$ [/mm] ist abgeschlossen. Ferner ist [mm] \bigcup_{i\in I, p\in U_i}U_i [/mm] offen, denn [mm] X\setminus\bigcup_{i\in I, p\in U_i}U_i= \bigcap_{i\in I, p\in U_i}X\setminus U_i [/mm] und die [mm] X\setminus U_i [/mm] sind kompakt, da die [mm] U_i [/mm] offen sind und [mm] p\in U_i. [/mm]
Es gilt, dass in deinem lokalkompakten Raum der Schnitt kompakter Mengen kompakt ist, wenn ich den Link richtig überflogen habe.
[mm] $\Rightarrow$ $\bigcap_{i\in I, p\in U_i}X\setminus U_i$ [/mm] ist kompakt. Und damit ist [mm] \bigcup_{i\in I, p\in U_i}U_i [/mm] offen.
Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass [mm] $p\in \bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I, p\in U_i}U_i \cup \bigcup_{i\in I, p\notin U_i}U_i$ [/mm] offen ist, indem man [mm] $X\setminus\bigcup_{i\in I}U_i=\bigcap_{i\in I, p\in U_i}X\setminus U_i \cap \bigcap_{i\in I, p\notin U_i}X\setminus U_i$ [/mm] ist kompakt zeigt.
Wir wissen aber, dass [mm] $\bigcap_{i\in I, p\notin U_i}X\setminus U_i$ [/mm] abgeschlossen und [mm] \bigcap_{i\in I, p\in U_i}X\setminus U_i [/mm] kompakt ist. Offensichtlich ist der Schnitt per Definitionem [mm] \bigcap_{i\in I, p\in U_i}X\setminus U_i \cap \bigcap_{i\in I, p\notin U_i}X\setminus U_i\subseteq\bigcap_{i\in I, p\in U_i}X\setminus U_i [/mm] und [mm] \bigcap_{i\in I, p\in U_i}X\setminus U_i [/mm] ist kompakt. Man kann zeigen: Nicht nur für Hausdorff-Räume gilt:
![[]](/images/popup.gif) Der Schnitt einer kompakten mit einer abgeschlossenen Menge ist kompakt (vgl. Beitrag 3).
Also ist [mm] \bigcap_{i\in I, p\in U_i}X\setminus U_i \cap \bigcap_{i\in I, p\notin U_i}X\setminus U_i [/mm] als Schnitt einer kompakten mit einer abgeschlossenen Menge kompakt. Das impliziert, dass [mm] \bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I, p\in U_i}U_i \cup \bigcup_{i\in I, p\notin U_i}U_i [/mm] offen ist. Q.E.D.?
Das Fragezeichen steht dafür, dass du den Beweis noch mal durchdenken solltest, da ich ihn hier recht rasch formuliert habe.
Einen alternativen Beweis, statt über "Der Schnitt einer kompakten mit einer abgeschlossenen Menge ist kompakt.", kann man bestimmt über folgenden Satz formulieren:
Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist kompakt (vgl. S. 14).
Das habe ich allerdings noch nicht zuende gedacht...
3.) Seien [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] offen. Zeige, dass [mm] U_1\cap U_2 [/mm] offen ist. Nach obigen Ausführungen sollte das nun kein Problem mehr darstellen
1. Fall: [mm] p\notin U_1\cap U_2. [/mm] Sollte klar sein.
2. Fall: [mm] p\in U_1\cap U_2. [/mm] Es folgt [mm] p\in U_1 [/mm] und [mm] p\in U_2. [/mm] Nutze: "Endliche Vereinigung kompakter Mengen kompakt" (vgl. Bemerkung 4.2 (a)) nach der Komplementbildung. Fertig. Q.E.D.?
Ich hoffe, es war zumindest eine gute Anregung.
MfG
Ladon
PS: An die Moderatoren: Vielleicht kann man diesen Artikel noch in eine Antwort umwandeln.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Schachtel5 |
Hallo Ladon
zunächst einmal vielen vielen vielen Dank für deine Mühe und deine Antwort!
Ich bin heute das erste mal seit Tagen wieder zu Hause und Antworte immer nur in Ruhe, will mir dafür auch die Zeit nehmen.
Das sieht alles gut aus aus, ich hatte auch noch selbst weitergemacht aber es fehlten mir ein paar Facts wie
das Schnitte von abgeschlossenen Mengen in kompakten Hausdorffräumen kompakt sind und das wird auch öfters in Beweisen in der Vorlesung benutzt und hab ich auch im Inet jetzt inzwischen nochmal ein wenig nachrecherschiert. Dieser Fact war mir nicht klar und ist auch noch nicht so, dass werd ich aber nachholen. (ich hab auch für die Aufgaben noch etwas Zeit zum Glück)
Ich hab wirklich sorgfältig deine rasche Formulierung studiert und sehe nicht, dass man irgendwo meckern kann.
Zum letzten Teil und damit es hier vollständig ist:
Der 1.Fall: [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] sind offen in X und [mm] \tau_X [/mm] Topologie auf X, also ist [mm] U_1\cap U_2 [/mm] offen in X und da [mm] \tau_X\subset \tau_{X_{\infty}}, [/mm] ist [mm] U_1\cap U_2 \in \tau_{X_{\infty}}. [/mm] (also [mm] \infty [/mm] behalte ich von der Bezeichnung weiter bei anstatt p, ist aber egal)
der 2.Fall, also [mm] \infty\in U_1\cap U_2.
[/mm]
Dh. [mm] \infty\in U_1 [/mm] und [mm] \infty\in U_2. [/mm] Also sind [mm] X\setminus U_1 [/mm] und [mm] X\setminus U_2 [/mm] kompakt in X. Dh.
[mm] X\setminus (U_1\cap U_2)=X\setminus U_1\cup X\setminus U_2 [/mm] und endliche Vereinigung kompakter Mengen kompakt, also ist [mm] X\setminus (U_1\cap U_2) [/mm] kompakt in X und damit [mm] U_1\cap U_2\in \tau_{X_{\infty}}.
[/mm]
Einen weiteren Fall gibt es nicht, also wenn [mm] \infty [/mm] nur in [mm] U_1 [/mm] aber nicht in [mm] U_2 [/mm] bzw umgekehrt, liegt [mm] \infty [/mm] nicht im Schnitt.
Danke dir nochmal. Lg
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