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| Aufgabe | 1) Sei [mm] N:=<\vektor{4 \\ 5 \\ 6}, \vektor{9 \\ 8 \\ 7}> [/mm] Untermodul von [mm] \IZ^{3}.
[/mm]
Sei [mm] M=\IZ^{3}/N [/mm]
Bestimmen Sie den [mm] \IZ-Rang [/mm] von [mm] M/M_{tor} [/mm] sowie die Ordnung von [mm] M_{tor}
[/mm]
2) Seien [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n}\in\IZ^{n}, [/mm] sei [mm] A:=\vektor{v_{1}^{T} \\ ... \\ v_{n}^{T}} [/mm] und sei [mm] N:=\sum_{k=1}^{n}\IZ*v_{k}
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] \IZ^{n}/N [/mm] endlich [mm] \gdw det(A)\not=0 [/mm] und in diesem Fall [mm] |\IZ^{n}/N|=|det(A)| [/mm] |
Hallo!
Also mein Tutor meinte ja, dass die beiden Aufgaben ganz einfach wären. Doch ich hab dieses ganze Modulzeugs mit Torsion und so überhaupt noch nicht verstanden. :-(
Von daher hab ich auch nicht wirklich eine Ahnung, wie ich daran gehen soll.
Kann man bei 1) ne Basis angeben und nachzählen und alle Elemente aus [mm] M_{tor} [/mm] ebenso?
Bei 2) Bedeutet das nicht einfach, dass sie linear unabhängig sind, wenn [mm] det(A)\not=0? [/mm] Ist das dann nicht ganz [mm] \IZ^{n}? [/mm] Wäre das nicht dann einelementig? Aber die Determinante kann doch auch was ganz anderes sein? Mmmh?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Fr 29.10.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen,
diese einfache Aufgabe soll ja nicht völlig ohne Antwort bleiben.
Also zu 1):
> 1) Sei [mm]N:=<\vektor{4 \\ 5 \\ 6}, \vektor{9 \\ 8 \\ 7}>[/mm]
> Untermodul von [mm]\IZ^{3}.[/mm]
> Sei [mm]M=\IZ^{3}/N[/mm]
> Bestimmen Sie den [mm]\IZ-Rang[/mm] von [mm]M/M_{tor}[/mm] sowie die Ordnung
> von [mm]M_{tor}[/mm]
Du kannst dich z. B. an einem Beweis des Elementarteilersatzes entlanghangeln (v. d. Waerden, Algebra II) und findest, daß [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] eine Basis des [mm] \IZ^3 [/mm] ist und [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm] und [mm] \vektor{13 \\ 13 \\ 13} [/mm] eine von N. Damit hat der Quotient Rang 1 und die Torsion die Ordnung 13.
> 2) Seien [mm]v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{n}\in\IZ^{n},[/mm] sei
> [mm]A:=\vektor{v_{1}^{T} \\ ... \\ v_{n}^{T}}[/mm] und sei
> [mm]N:=\sum_{k=1}^{n}\IZ*v_{k}[/mm]
> Zeigen Sie: [mm]\IZ^{n}/N[/mm] endlich [mm]\gdw det(A)\not=0[/mm] und in
> diesem Fall [mm]|\IZ^{n}/N|=|det(A)|[/mm]
Das ist eine direkte Folge des Elementarteilersatzes.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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